var textForPages = ["m÷–µ~ë~¼¨ņù~³éņ                              ԓņÔ͓‰¦¦‰³ó»¦ņ                               ÍÂÐà‰£}»¦ņà‹“¼¨ņķ                              »}ۓ»}Û¦³}                               Séù“¼}ņ µ}ù³Âë~","","Vzdělávání žáků se specifickými                                        poruchami učení – matematika                                                    Metodická příručka                                                      Růžena Blažková                                          Klíčová aktivita 6: Výuka žáků se SVP v inkluzivní třídě ZŠ                                                          Modul 9                                                                     Masarykova univerzita                                                         Brno 2020","Publikace je vydána v rámci řešení projektu Kvalitní inkluzivní vzdělávání žáků se speciálními                        vzdělávacími potřebami na základní a střední škole (registrační číslo projektu                              CZ.02.3.62/0.0/0.0/16_037/0004872) a s jeho finanční podporou.                                                             Kniha je šířená pod licencí                CC BY-NC-ND 4.0 Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0                   © 2020 Masarykova univerzita                   ISBN 978-80-210-9930-2","Obsah                   O PROJEKTU .......................................................................................................................... 5                 Úvod ........................................................................................................................................... 9                  1  Teoretická východiska Didaktika matematiky pro učitelství prvního stupně ZŠ .... 10                     1.1  Didaktika matematiky se zaměřením na vzdělávání dětí se specifickými                          poruchami učení ....................................................................................................... 10                          1.1.1 Co rozumíme pod pojem „didaktika matematiky“ ......................................... 10                           1.1.2 Specifika didaktiky matematiky ..................................................................... 11                          1.1.3 Vztah matematiky a didaktiky matematiky .................................................... 13                           1.1.4 Vztah obecné didaktiky a didaktiky matematiky ........................................... 13                    1.2  Zaměření didaktiky matematiky .............................................................................. 14                          1.2.1 Didaktika matematiky zaměřená na obsah učiva ........................................... 14                           1.2.2 Didaktika matematiky zaměřená na poznávací procesy žáka ........................ 15                           1.2.3 Didaktika matematiky zaměřená na metody práce ........................................ 15                          1.2.4 Didaktika matematiky zaměřená na aplikace učiva v reálném životě............ 17                    1.3  Proces chápání přirozeného čísla ............................................................................. 17                           1.3.1 Abstrakce při vytváření pojmu přirozené číslo .............................................. 17                          1.3.2 Porovnávání přirozených čísel ....................................................................... 19                           1.3.3 Zaokrouhlování přirozených čísel .................................................................. 20                          1.3.4 Rozklady čísel ................................................................................................ 21                     1.4  Operace s přirozenými čísly .................................................................................... 21                    1.5  Jednotky měr ............................................................................................................ 23                     1.6  Slovní a aplikační úlohy .......................................................................................... 24                    1.7  Zlomky a desetinná čísla ......................................................................................... 28                     1.8  Závislosti, vztahy, práce s daty ................................................................................ 29                     1.9  Geometrie v rovině a prostoru ................................................................................. 29                          1.9.1 Základní problémy žáků v oblasti základních pojmů..................................... 30                           1.9.2 Základní problémy žáků s poruchami učení v oblasti početní geometrie ...... 30                          1.9.3 Základní problémy žáků v oblasti konstrukční geometrie ............................. 30                           1.9.4 Základní metody práce v geometrii ................................................................ 31                  2  Teoretická východiska – vymezení pojmů v rámci specifických poruch učení se                    zaměřením na matematiku ............................................................................................. 32                    2.1  Specifické poruchy učení (zejména dyslexie, dysgrafie, dysortografie) a jejich                           vliv na úspěšnost žáků v matematice ....................................................................... 32                                                               3","2.2  Dyskalkulie – definice, klasifikace .......................................................................... 35                           2.2.1 Klasifikace dyskalkulie .................................................................................. 36                    2.3  Symptomy dyskalkulie u žáků ................................................................................. 39                    2.4  Typologie žáků vzhledem ke speciálním vzdělávacím potřebám souvisejícím                          s matematickým vzděláváním .................................................................................. 41                     2.5  Analýza příčin problémů žáků, deficity dílčích funkcí matematických schopností 42                     2.6  Další příčiny problémů v matematice ...................................................................... 48                    2.7  Sekvenční přístup, multisenzoriální přístup, konstruktivistický přístup,                          posilování paměti, komunikace, budování sebedůvěry a samostatnosti.................. 50                     2.8  Rozvíjení matematické gramotnosti u žáků se specifickými poruchami učení ....... 56                    2.9  Vzdělávání žáků v rámci běžné základní školy, současný stav inkluze v ČR,                           pozitiva, problémy, perspektiva ............................................................................... 58                    2.10  Zkušenosti ze zahraničí, přístupy k inkluzivnímu vzdělávání v zahraničí .............. 59                  3  Dílčí projekt KA6 – modul 9: Žáci se specifickými poruchami učení – matematika 62                     3.1  Cíl projektu, metodologie ........................................................................................ 62                     3.2  Výuka matematiky se zřetelem k cílové skupině .................................................... 64                          3.2.1 Výukové strategie vhodné k uvedení základních matematických pojmů                                a porozumění matematickým operacím ......................................................... 64                          3.2.2 Předpoklady žáků ke zvládnutí matematické symboliky a jazyka                                matematiky, rozvoj komunikativních dovedností .......................................... 65                          3.2.4 Kompenzační a reedukační přístupy, individuální přístupy k žákům ............ 67                           3.2.5 Multisenzorický přístup, vhodné metody práce, aktivity, pomůcky,                                prostředky ICT ............................................................................................... 71                          3.2.6 Vyhodnocení .................................................................................................. 72                     3.3  Analýza dat SDQ-Cze .............................................................................................. 73                  4  Didaktické postupy.......................................................................................................... 75                     4.1  Metody práce, metodické postupy ........................................................................... 75                    4.2  Didaktické pomůcky a metodické materiály ........................................................... 79                 Závěrečná část ........................................................................................................................ 81                Summary ................................................................................................................................. 82                 Literatura ................................................................................................................................ 83                Seznam tabulek, grafů, obrázků, zkratek ............................................................................ 86                 Jmenný rejstřík ...................................................................................................................... 87                 Věcný rejstřík ......................................................................................................................... 89                Přílohy ..................................................................................................................................... 95                                                                4","O PROJEKTU                     Cílem projektu Kvalitní inkluzivní vzdělávání žáků se speciálními vzdělávacími potřebami na                základní  a střední  škole  je  realizovat  kvalitní  inkluzivní  vzdělávání  žáků  se  speciálními                 vzdělávacími  potřebami  (SVP)  ve  škole  hlavního  vzdělávacího  proudu.  Naučit  pedagogy                zacházet  s diverzitou  v inkluzivní  třídě.  Vypracovat  koncept  pro  inkluzivní  vyučování                 s podporou  zahraničních  zkušeností.  Zasíťovat  školy,  podpořit  zkušenosti  dobré  praxe.                Zaměřit se na podporu žáků s SVP při vstupu na trh práce, zpřístupnit vzdělávání s využitím                pohybových  volnočasových  aktivit.  Podpořit  inkluzivní  vzdělávání  osvětovými  aktivitami                 určenými pro veřejnost.                 Projekt je realizován prostřednictvím šesti klíčových aktivit. Jednotlivé klíčové aktivity jsou                komplexně zaměřené na inkluzivní vzdělávání žáků se speciálními vzdělávacími potřebami ve                 školách  hlavního  vzdělávacího  proudu.  Byly  vybrány  a definovány  tak,  aby  naplňovaly  cíl                projektu, kterým je realizovat kvalitní inkluzivní zdělávání žáků s SVP na základní a střední                 škole a maximálně podpořit zapojené školy a školská zařízení do realizace a výstupů projektu.                   Jednotlivé klíčové aktivity jsou:                     -  Povinné aktivity                              Aktivita č. 1: Řízení projektu                    -  Povinně volitelné aktivity                              Aktivita č. 2: Škola jako centrum kolegiální podpory                             Aktivita č. 3: Podpora žáků s SVP při vstupu na trh práce                              Aktivita č. 6: Výuka žáků s SVP v inkluzivní třídě ZŠ                    -  Volitelné aktivity                              Aktivita č. 2: Pohybové inkluzivní volnočasové aktivity                             Aktivita č. 3: Zahraniční stáž pro pracovníky s cílovou skupinou                              Aktivita č. 4: Osvětové aktivity na podporu inkluzivního vzdělávání                 Klíčová aktivita 6 Výuka žáků s SVP v inkluzivní třídě ZŠ řeší problém kvalitního vyučování                žáků s SVP v inkluzivní třídě ZŠ. K faktorům vedoucích k úspěšnému vzdělávání žáků s SVP                 patří erudovaný a zkušený učitel. Způsob zacházení s diverzitou žáků je považován za stimul                pro  učitele,  jak  učit  kreativně.  Cílovou  skupinou  budou  žáci  s SVP  se  zřetelem  na  žáky                s Aspergerovým syndromem, s narušenou komunikační schopností, se sluchovým a zrakovým                 postižením,  s mozkovou  obrnou,  s epilepsií,  se  zrakovým  postižením  a se  specifickými                                                               5","poruchami učení (SPU). Inkluzivní vyučování pro žáky s SVP bude organizováno po dobu                jednoho školního roku min. tři vyučovací hodiny týdně. Vyučovací jednotky budou vycházet                 z RVP ZV a školního vzdělávacího programu, s přihlédnutím k individuálnímu vzdělávacímu                plánu žáka s SVP. Vyučování u žáků s Aspergerovým syndromem bude zaměřeno na podporu                a rozvoj  sociálních,  emocionálních  a komunikačních  kompetencí.  U žáků  s narušenou                 komunikační  schopností  budou  ve  vyučování  využity  specifické  techniky  rozvoje  jejich                komunikačních  schopností.  U žáků  se  sluchovým  postižením  bude  výuka  zaměřena  na                 posilování  sociálně-emočních  kompetencí.  Při  inkluzi  žáků  se  zrakovým  postižením  bude                využito  zážitkové  vyučování  s cílem  posilovat  specifické  kompetence  potřebné  pro  jejich                 samostatný  život.  U žáků  s mozkovou  obrnou  a epilepsií  budou  zařazeny  do  vyučování                aktivity  zaměřené  na  posilování  resilienčních  faktorů,  jak  zvládat  zátěžové  situace.  U žáků                s SPU bude výuka českého jazyka zaměřena na individuální čtenářské zážitky, reflektovanou                 tvorbu vlastního textu. V cizím jazyce bude vyučování zaměřené na poslech, zpěv a recitaci                cizojazyčných  písní,  říkadel  a básní  s cílem  rozvoje  a prohloubení  receptivní,  produktivní                 a interaktivní  řečové dovednosti.  Vyučování  v matematice bude využívat hry na odstranění                strachu z matematiky.                 Výstupem klíčové aktivity 6 je zpracování devíti modulů, obsahujících metodiku a vzdělávací                 program pro žáky se SVP, podle vybraných druhů postižení.                  -    Modul 1: Žáci s Aspergerovým syndromem (metodická příručka) (Bazalová)                   -    Modul 2: Žáci     s narušenou   komunikační     schopností   (metodická    příručka)                                 (Chleboradová, Kopečný)                  -    Modul 3: Žáci  se  sluchovým  postižením  (metodická  příručka)  (Doležalová,                                  Bytešníková, Horáková)                  -    Modul 4: Žáci s tělesným postižením se zaměřením na mozkovou obrnu (metodická                                  příručka) (Opatřilová, Zámečníková)                  -    Modul 5: Žáci se zdravotním znevýhodněním se zaměřením na epilepsii (metodická                                 příručka) (Fialová)                   -    Modul 6: Žáci se zrakovým postižením (metodická příručka) (Röderová, Pavlovská,                                 Vrubel)                   -    Modul 7: Žáci  se  speciálními  vzdělávacími  potřebami  se  zaměřením  na  SPU                                 a zdravotní  postižení  –  český  jazyk  a literatura  (metodická  příručka)                                 (Klímová, Zítková)                   -    Modul 8: Žáci  s SPU  –  cizí  jazyk  se  zaměřením  na  francouzský  jazyk  (metodická                                 příručka) (Schejbalová)                   -    Modul 9: Žáci s SPU – matematika (metodická příručka) (Blažková)                                                                6","V současné době je realizován Akční plán pro inkluzivní vzdělávání pro léta 2019-2020,                který  navazuje  na  APIV  2016–2018,  v jehož  rámci  bylo  identifikováno  několik  kritických                 míst, kterým je třeba věnovat pozornost i nadále:                     -  uplatnit větší důraz na rozvoj potenciálu každého žáka;                    -  zajistit hlubší mezioborovou spolupráci a cílenou práci s veřejností;                     -  doplnit chybějící zajištění vyhodnocování strategií (monitoring, reportování, iniciace                       nápravných opatření).                 Cílem  APIV  pro  léta  2019–2020  je  zlepšovat  podmínky  pro  realizaci  změn  a přispívat  ke                 kladnému přijetí myšlenky inkluze u odborné a širší veřejnosti v rámci tří strategických cest:                     -  Strategická cesta 1 – Informace, data a otevřená komunikace                    -  Strategická cesta 2 – Škola, pedagog a žák                     -  Strategická cesta 3 – Mezioborová spolupráce                 Ze strategické cesty 2 – Škola, pedagog a žák – považujeme v souvislosti s naším projektem                za důležité:                       podpořit  rozvoj  potenciálu  každého  žáka  při  jeho  individuální  vzdělávací  cestě,                        podpořit jeho otevřenost a pozitivní postoje k druhým;                       dbát,  aby  sami  pedagogičtí  pracovníci  byli  otevření  odlišnosti  a uměli  vhodně                       individualizovat výuku;                      dbát, aby specifické cíle vedly k podpoře rozvoje kompetencí nezbytných pro naplnění                        principů inkluzivního vzdělávání;                      vytvořit snadno dostupné metodické materiály jako podporu profesního rozvoje                        pedagogických pracovníků v oblasti inkluzivního vzdělávání;                      posílit  kompetence  školního  poradenského  pracoviště  v oblasti  práce  s jednotlivými                        skupinami žáků s potřebou podpůrných opatření.                 Pro rozvoj potenciálu každého žáka je nezbytná jak podpora v jeho individuální vzdělávací                cestě,  tak  podpora  jeho  otevřenosti  a pozitivních  postojů  k druhým.  Aby  mohli  být                 pedagogičtí  pracovníci  svým  žákům  dobrými  průvodci,  je  třeba,  aby  sami  byli  otevření                odlišnosti a uměli vhodně individualizovat výuku.                 Prostřednictvím dalšího vzdělávání je nezbytné zvýšit kompetence pedagogických pracovníků                 zejména v oblasti pedagogické diagnostiky, individualizace vzdělávání, výuky heterogenních                kolektivů, formativního hodnocení a hodnocení výstupů v kontextu individualizovaných cílů                 vzdělávání.                                                                  7","Předpokládá se vznik  metodických materiálů,  jako jsou  videonahrávky,  virtuální hospitace,                animovaná  videa,  audionahrávky  kazuistik  apod.,  které  budou  prezentovat  příklady  dobré                 praxe jako doplněk katalogů podpůrných opatření. Kvalitu a přínos materiálů je třeba sledovat                již při jejich vzniku, například v rámci vybraných spolupracujících škol, kde by se materiály                testovaly v praxi.                                                                             prof. PhDr. Marie Vítková, CSc.                                                                           Řešitel projektu OP VVV                                                                       Kvalitní inkluzivní vzdělávání žáků                                                                    se speciálními vzdělávacími potřebami                                                                          na základní a střední škole                   V Brně 24. srpna 2020                                                                                                                 8","Úvod                     Vzdělávání  žáků  se  specifickými  poruchami  učení  je  středem  pozornosti  pedagogů,  rodičů                i celé  veřejnosti.  Žáci,  kteří  mají  problémy  v matematice  a přitom  v ostatních  výukových                 předmětech  dosahují  dobrých,  až  výborných  výsledků,  vyžadují  ve  výuce  matematiky                specifický  přístup  Při  řešení  projektu  „Kvalitní  inkluzivní  vzdělávání  žáků  se  speciálními                 vzdělávacími potřebami na základní a střední škole“ byly ověřeny postupy výuky matematiky                v rámci inkluzívního zařazení žáka do běžné základní školy, které mohou žákům s problémy                v matematice napomoci.                  Metodický  text  je  rozčleněn  do  čtyř  základních  kapitol.  V první  kapitole  jsou  uvedena                teoretická východiska didaktiky matematiky s akcentem na vzdělávání žáků se specifickými                poruchami  učení.  Jsou  uvedena  specifika  matematiky,  jako  výukového  předmětu,  která  je                 třeba  respektovat  zejména  při  vzdělávání  žáků se  specifickými  poruchami  učení.  Současná                didaktika matematiky se zaměřuje na žáka a jeho poznávací procesy.                 Druhá část se zabývá vymezením specifických poruch učení se zaměřením na matematiku,                 vlivem  jednotlivých  poruch  učení  na  úspěšnost  žáka  v matematice  a zaměřuje  se  na                dyskalkulii,  její  projevy  a možnosti  reedukace.  Individualita  každého  žáka  je  při  vnímání                 matematických  pojmů  dominantní  a vyžaduje  promyšlené  přístupy  pedagogů  i rodičů                zohledňující vnímání každého žáka.                 Ve třetí části je pojednáno o výuce matematiky se zřetelem k cílové skupině, s kterou bylo                 v projektu  pracováno.  Při  řešení  části  projektu  KA6,  modul  9,  bylo  cílem  zaměřit  se  na                vzdělávání  žáků  se  specifickými  poruchami  učení,  zejména  v matematice.  Klíčové  aktivity                byly směrovány tak, aby byly zavedeny nové přístupy do vzdělávání žáků se specifickými                 poruchami učení v heterogenní třídě,  a to  se zaměřením na rozvoj  a posilování  kompetencí                žáků.  Pozitivním  výsledkem  řešení  projektu  bylo  jednak  to,  že  došlo  ke  změně  postojů                 inkludovaného žáka k matematice, jednak i to, že strukturovaná výuka matematiky přispěla                k pochopení učiva většiny žáků ve třídě, kteří mají s matematikou problémy a přitom nejsou                 diagnostikováni vzhledem k SPU.                 Čtvrtá  část  uvádí  některé  didaktické  postupy,  metodické  materiály  a pomůcky,  které  byly                využívány  při  konkrétní  práci  se  žákem.  Takto  pojatá  výuka  může  přispívat  k rozvoji                 matematické gramotnosti žáků s SPU a jejich zařazení do běžného života. Přílohy obsahují                ukázky používaných didaktických materiálů.                                                                   9","1  Teoretická východiska                       Didaktika matematiky pro učitelství prvního                      stupně ZŠ                       1.1  Didaktika matematiky se zaměřením na vzdělávání                         dětí se specifickými poruchami učení                     1.1.1  Co rozumíme pod pojem „didaktika matematiky“                    Při vzdělávání žáků se speciálními vzdělávacími potřebami, a zejména žáků se specifickými                poruchami učení v oblasti rozvoje matematické gramotnosti, je třeba zamyslet se nad tím, co                je  didaktika  matematiky,  jaké  je  její  postavení  v systému  věd  i  v systému  vzdělávacích                 předmětů a jaké  funkce  plní. Jen tak můžeme využít jejího  potenciálu ke vzdělávání  žáků,                kteří mají s matematikou problémy.                 Při zkoumání významu didaktiky matematiky nelze použít výstižnějšího vyjádření než toho,                 které uvedl J. A. Komenský ve své Didaktice analytické (Komenský, 1947): „Didaktika jest                umění jak dobře učiti. Učiti značí působiti, aby tomu, kdo něco zná, se naučil také někdo jiný                 a znal to.“                 Vymezení  pojmu  „didaktika  matematiky“  (metodika  matematiky,  teorie  vyučování                matematiky se objevuje v různých publikacích a jeho součástí je většinou vyjádření postavení                 didaktiky  matematik  mezi  vědními  obory,  kterými  jsou  matematika,  pedagogika  a obecná                didaktika. Uveďme některé příklady těchto vymezení                 Slovník  školské  matematiky  (1981)  pod  heslem  „didaktika  matematiky“  uvádí:  „Didaktika                 matematiky  –  mezní  vědní  disciplína  mezi  matematikou  a pedagogikou,  která  se  zabývá                různými otázkami školské matematiky na všech typech škol, tj. jejím obsahem i metodami jak                 vyučovat a jak se učit matematice.“                 P.  Květoň  (1982)  chápe  didaktiku  matematiky  takto:  „Didaktika  matematiky  je  vědecká                disciplína zkoumající zákonitost vyučování matematiky v souladu s cíli vyučování určenými                 společností.“                                                              10","B. Novák (2003) uvádí: „Didaktika matematiky se považuje obvykle za speciální didaktiku                (předmětovou, příp. oborovou didaktiku) ve smyslu teorie vzdělávání v matematice. Je vědou                 se  svou  vlastní  strukturou,  logikou  a způsobem  myšlení.  Lze  v ní  rozlišit  čtyři  dimenze:                obsahovou, pedagogickou, psychologickou a konstruktivní.“                 Didaktika matematiky je vědecká disciplína, která řeší speciální otázky výuky matematiky na                 jednotlivých  stupních  a typech  škol.  Vymezuje  cíle  a obsah  učiva  matematiky,  doporučuje                vhodné metody a postupy vyučování, organizační formy vyučování, respektuje psychologické                zákonitosti učení a zajišťuje technologii vyučování.  Didaktika matematiky  v současné době                 studuje  roli  žáka  a učitele  ve  vzdělávání,  studuje  procesy,  které  probíhají  ve  vědomí  žáků                i učitelů  při  výuce  matematiky,  při  řešení  problémových  úloh  i při  využívání  matematiky                 v praxi.                 Úvahu o vztahu matematiky a didaktiky uvádí M. Hejný (1990):                 „Termín – vyučovanie matematiky – sa skladá z dvoch slov. Prve vyjadruje obsah toho, čo sa                učí, druhé činnosť, ktorů učitel´ vykonáva. Matematika, rovnako jako vyučovanie, má svoju                 štrutúru,  logiku,  sposob  myslenia.  Medzi  oboma  oblasťami  je  značný  rozdiel.  Matematika                pracuje s idealizovanými objektmi, axiomaticky presne, s úplnou argumenáciou. Vyučovanie                 sa týka ludí a každá snaha o axiomatizaciu štruktúry metodiky matematiky vedie nevyhnutne                k znásilneniu skutočnosti. V metodike matematiky, jako konečne v každej „reálnej“ vedeckej                 disciplíne, existujú javy, objekty, situácie, príklady, ktoré sú typické, kryštalické, ale existujú                aj  také,  ktoré  sú  hmlisté,  hraničné,  nejasné.  Nie  je  to  nedostatkom  našich  vedomostí,  ale                podstatou vecí.“                     1.1.2  Specifika didaktiky matematiky                    Didaktika matematiky a matematika, jako vyučovací předmět na různých typech a stupních                škol, mají svá výrazná specifika, která je poněkud odlišují od ostatních oborových didaktik                a vyučovacích předmětů. Jde zejména o tato specifika:                      1.  Vysoká  abstraktnost  matematiky.  Matematické  pojmy  vznikly  na  základě  abstrakcí                       z reálných  situací  (nikdo  nikdy  nemůže  vidět  přímku,  rovinu  či  číslo,  ale  jejich                       představy  v mozku  téměř  každého  člověka  existují).  Pojmy  se  nejprve  budují  na                        základě  intuice  a teprve  mnohem  později  je  možné  budovat  systém  vycházející                       z deduktivních přístupů.                                                                  11","2.  Matematika je předmět, který má přesnou logickou výstavbu a návaznosti a ve kterém                       jsou znalost a pochopení prvků vyšší úrovně podmíněny pochopením a znalostí prvků                        nižší úrovně.                    3.  V některých případech je problematická motivace matematického učiva, neboť je buď                       obtížné nalézt reálný model v praxi (např. pro násobení dvou záporných čísel), nebo je                        praktické využití poměrně vzdálené (např. úpravy lomených algebraických výrazů).                    4.  Výuku matematiky nelze opírat jen o formulování vztahů, pouček a vzorců, které si                        mají žáci zapamatovat, všechny pojmy by měly být budovány na základě porozumění.                    5.  Je třeba zvážit míru procedurálních a kontextuálních znalostí. Mnoho žáků (zejména                        žáků s SPU) potřebuje postupy a doporučení, jak provádět příslušné úkony a jak řešit                        úlohy,  aby  dosáhli  plánovaného  cíle.  Osvojení  procedurálních  znalostí (znalosti                       týkající  se  postupů,  doporučení,  předpisů)  může  přispět  k osvojení  znalostí                         konceptuálních (vztahy a souvislosti, kategorie a klasifikace, principy a generalizace,                       teorie,  modely,  struktury).  Lze  akceptovat  i opačný  postup,  kdy  porozumění                        matematickým  konceptům  podporuje  procedurální  dovednosti.  Je  však  třeba  si                       uvědomit, že u mnoha žáků dochází k chápání vztahů a souvislostí, až tehdy, kdy mají                        v mozku  určitou  sumu  znalostí  získaných  procedurálně.  Aby  mohli  o něčem                       přemýšlet, musí mít o čem.                    6.  Pedagogické přístupy typu: „já jim to řeknu“ (rozuměj: učitel dětem) nebo „já jim to                        ukážu“  nepřinášejí  potřebný  výukový  efekt.  Poznatky  jsou  nepřenosné.                       K matematickým  poznatkům by se žák měl dobrat  vlastní konkrétní  a myšlenkovou                        činností.                 Didaktika  matematiky  zaměřená  na  žáky  se  specifickými  poruchami  učení  se  zaměřuje  na                metody  práce  a schopnost  jejich  vnímání  tak,  aby  byli  žáci  vedeni  na  cestě  poznání.                 Doporučuje některé postupy, které se v praxi osvědčily, avšak ponechává učitelům i žákům                dostatek  prostoru  pro  jejich  vlastní  tvořivou  práci.  Je  třeba  vyvarovat  se  dvou  extrémů:                přístupů,  které vycházejí jen z  matematiky, předkládají krásu  její  logické výstavby  a jejích                 výsledků, avšak předpokládají žáka, který se chce matematiku učit a má zájem řešit problémy                a přemýšlet  (zdůrazňování  teorie,  přílišná  odbornost),  anebo  přístupů,  které  vycházejí                 z podrobných návodů, silně prakticistických, ovlivněných třeba jen jedinou zkušeností,  bez                opory  o zákonitosti  vytváření  matematických  pojmů  v mozku  žáků  a bez  opory                o psychologické zákonitosti učení – a někdy i s ami (tzv. prakticismus, metodikaření).                                                                      12","1.1.3  Vztah matematiky a didaktiky matematiky                    Matematika  jako  vědní  disciplína  nashromáždila  v průběhu  svého  historického  vývoje                obrovské  množství  poznatků  a dále  se  neustále  rozvíjí.  Poznatky  jsou  uspořádány                 do logických  celků.  Jednotlivé  části  matematiky  jsou  budovány  deduktivním  způsobem  ze                systému  axiomů.  Používané  pojmy  jsou  přesně  vymezovány,  hledají  se  souvislosti  mezi                zavedenými  pojmy,  v rámci  zobecňování  se  hledají  pojmy  obecnější,  vznikají  nové  teorie,                 rozvíjí se jazyk kterým se teorie mohou popisovat apod.                 V didaktice  matematiky  jde  o to,  stanovit,  co  z matematické  teorie  bude  obsahem  učiva                základní školy, jak budou poznatky prezentovány, aby byly srozumitelné a přiměřené věku                 a schopnostem  žáků.  Hledá  se  cesta,  jak  poznatky  žákům  přiblížit,  v jakém  sledu,  jakou                formou, při respektování vědecké správnosti příslušného učiva. Vybraná témata by měla patřit                 k základům  současné  matematiky,  měla  by  tvořit  ucelený  systém,  na  který  by  bylo  možné                navazovat  v dalším  studiu  i  v praktickém  životě.  Je  třeba  provést  didaktickou  transformaci                učiva,  tj.  výběr  poznatků  z matematiky  jako  vědecké  disciplíny  a jejich  zpracování  do                 systému  učiva  matematiky  základní  školy.  Je  třeba  vytvořit  systém,  který  zajistí  rozvoj                vědomostí,  dovedností,  návyků,  hodnot  i osobnostních  vlastností  žáků.  V aktuálně  platném                 Rámcově vzdělávacím programu jsou tyto požadavky formulovány jako klíčové kompetence.                    1.1.4  Vztah obecné didaktiky a didaktiky matematiky                    Didaktika je teorie vyučování (řec. didakstein – učit, vyučovat). Obecná didaktika se zaměřuje                na obecné otázky výuky: jednak na vzdělávací obsah, jednak na proces, který charakterizuje                 činnosti  učitele  a žáka,  ve  kterém  si  žáci  obsah  osvojují.  Předmětem  obecné  didaktiky  je                obecné řešení cílů, obsahu, metod a organizačních forem ve vyučování.                 Didaktika  matematiky  řeší  speciální  otázky  výuky  matematiky  na  jednotlivých  stupních                 a typech  škol.  Vymezuje  obsah  učiva  matematiky,  doporučuje  vhodné  metody  a postupy                vyučování,  respektuje  psychologické  zákonitosti  učení,  zajišťuje  technologii  vyučování.                 Didaktika  matematiky  plní  mnoho  různých  úkolů,  z nichž  nejdůležitější  jsou  transformace                vědního  oboru  do  systému  školské  matematiky,  zkoumání  procesu  komunikace  v rámci                vyučovacího procesu a rozvoj klíčových kompetencí žáků.                                                                     13","1.2  Zaměření didaktiky matematiky                   V otázce  zaměření  didaktiky  matematiky  nelze  dávat  přednost  pouze  jednomu  z níže                 uvedených požadavků:  je potřeba usilovat  o naplnění všech těchto  požadavků „a zároveň“.                Důvody pro tento přístup jsou ověřené dlouholetými zkušenostmi. Pokud má učitel vysoké                 odborné znalosti, avšak nedostatek emocionální inteligence a pedagogických schopností, je to                stejně problematické, jako když má učitel  velké nadšení, vztah  k dětem, ale nedostatečnou                odbornost.                  Při vytváření vhodných postupů ve výuce matematiky na prvním stupni ZŠ je třeba chápat                didaktiku matematiky v několika kontextech.                     a)  Didaktika matematiky zaměřená na obsah učiva.                     b)  Didaktika matematiky zaměřená na poznávací procesy žáka.                    c)  Didaktika matematiky zaměřená na metody práce.                    d)  Didaktika matematiky zaměřená na aplikace učiva v reálném životě.                     1.2.1  Didaktika matematiky zaměřená na obsah učiva                   Matematika jako vědní disciplína obsahuje obrovské množství poznatků, z nichž jen malá část                 tvoří  obsah  učiva  matematiky  jako  vyučovacího  předmětu  na  základních  školách.  Avšak                vědecké matematické poznatky nemohou  být ve  většině případů zprostředkovávány ve své                 abstraktní a teoretické podobě ani v axiomatickém systému, jak jsou v matematice budovány.                Pro  výuku  matematiky  je  nezbytné  provést  tzv. didaktickou  transformaci  teoretického                matematického  základu  do  učiva  matematiky  tak,  aby  učivo  bylo  přiměřené  žákům                 příslušného  věku,  bylo  podáno  jazykem  jim  srozumitelným  a  s využitím  matematického                aparátu,  který  mají  žáci  právě  k dispozici,  a zároveň  aby  nebylo  v rozporu  s matematickou                 správností. To, co se žák naučí na nižším stupni,  by se měl naučit tak, aby se v budoucnu                nemusel jisté poznatky učit jinak (tzv. „přeučovat“). Např. vysvětlení skutečnosti, že „nelze                dělit  nulou“  je  možné  zdůvodnit  určitým  způsobem  ve  2.  nebo  3.  ročníku  základní  školy,                 jiným  způsobem  v 7.  ročníku  ZŠ,  dalším  na  gymnáziu  a ještě  jiným  na  škole  vysoké                s využitím pojmu limita, ve všech případech však matematicky správně.                 Učitelé matematiky by měli mít jasno v matematických pojmech a vztazích, měli by si ujasnit,                 co  o pojmech  vědí  sami  z odborné  přípravy,  co  z toho  je  v učivu  matematiky  příslušného                stupně školy a jakým způsobem jsou pojmy a vztahy mezi nimi zavedeny. Neměli by vidět                 propast mezi svou teoretickou přípravou a učivem školské matematiky Jako příklad lze uvést                                                             14","„funkce a funkce inverzní“, které jsou základními pojmy v matematické analýze již v prvním                ročníku na vysoké škole, a učivo „druhá mocnina a odmocnina“ v 8. ročníku základní školy.                 Při probírání druhé odmocniny ji studenti správně zavedou, uvedou příklad  64 = 8, ale na                 otázku  žáka  základní  školy,  proč  neplatí   64 =  (−8),  když  (−8)  .  (−8)  =  64,  odpovědět                 uspokojivě nedovedou. Přitom umí vcelku dobře formulovat pojem funkce a funkce inverzní.                    1.2.2  Didaktika matematiky zaměřená na poznávací procesy žáka                    Hlavním  kritériem  pro  úspěšnou  práci  učitele  matematiky  je  jeho  vztah  k dětem.  Student,                který má zájem pracovat s žáky na základní škole, je velmi cennou devizou. Pokud se chce                skutečně stát učitelem matematiky, zpravidla vyvine hodně úsilí, aby se jím stal. Pro úspěšnou                 výuku matematiky je nezbytné sledovat, jak žáci vnímají to, co je jim předkládáno, jak se umí                vyrovnat s abstraktními matematickými pojmy, jaké postupy jsou pro žáky optimální, zda žáci                 vidí v poznávacím procesu to, co vidí jejich učitel. Každý žák je výrazná individualita, má                svůj vlastní matematický model, který je třeba odhalit a rozvíjet. Přitom je nutné respektovat                skutečnost,  že  vytváření  matematických  poznatků  je  nepřenosné  (přenosné  jsou  pouze                 informace). Při konkrétní práci při výuce matematiky si vnímavý učitel všímá myšlenkových                pochodů žáků a vhodně je využívá, eventuálně citlivě usměrňuje. Zaměřuje se také na žáky se                 speciálními  vzdělávacími  potřebami,  tj.  žáky  s poruchami  učení  v matematice,  žáky                matematicky  nadané,  i žáky  tzv. „dvojí  výjimečnosti“,  tj.  nadané  žáky  se  souběžnou                specifickou poruchou učení. Také zvládnutí problematiky komunikace se žáky v matematice                 vyžaduje  mnoho  znalostí  a hlavně  mnoho  přemýšlení.  Učitel  by  tedy  měl  respektovat                osobnost  žáka,  zajistit  pozitivní  klima  při  výuce,  zajistit  dostatek  prožitků  při  poznávání                 nových  vědomostí,  a podporovat  touhu  po  vzdělávání.  Cílem  je  nejen  žáky  vzdělávat                v matematice,  ale  také  formovat  jejich  osobnost  v celém  komplexu,  vytvářet  jejich  citový                 vztah k matematice i k práci. Učitel by měl láskyplně přijmout žáky s problémy v matematice,                žáky se specifickými poruchami učení a hledat cesty k jejich matematickému vzdělávání. Při                 hodnocení  vztahu  k matematice  a retrospektivnímu  pohledu  na  vzdělávání  v matematice                většina osob přikládá největší význam právě osobnosti učitele matematiky.                    1.2.3  Didaktika matematiky zaměřená na metody práce                    Učitel matematiky ve své práci využívá jednak metod práce v matematice (analýza, syntéza,                indukce,  dedukce,  zobecňování,  abstrakce  apod.),  jednak  samozřejmě  výukových  metod                                                             15","práce, a to včetně všech moderních informačních a sdělovacích technologií. Volba metod by                měla  být  adekvátní  danému  učivu  i věku  dětí  a jejich  chápání.  Přehled  výukových  metod                 podává  např.  publikace  Maňáka  a Švece  (2003).  V posledních  letech  se  stále  více  využívá                metod  podporovaných  informačními  technologiemi.  Jedná  se  o počítačové  programy                nabízející procvičování učiva, e-učebnice apod., např. programy Geogebra, Cabri Geometrie,                Maple,  Mathematica  aj.  Využití  informačních  a komunikačních  technologií  přináší  nové                 možnosti, přístupy a výzvy do vyučování matematiky, avšak samo o sobě nemusí být zárukou                kvalitní ani moderní výuky matematiky.                 Mezi  učiteli  z praxe  i studenty  často  převládá  názor,  že  transmisivní  přístup  k vyučování                 matematiky kdy učitel předvede potřebné postupy a žáci je reprodukují, je časově optimální                a nejspolehlivější. Předávání hotových poznatků se jim jeví jako nejlepší. Snaha přesvědčit je                o možnostech jiných přístupů se setkává s nedůvěrou. Avšak až sami na sobě (např. v kurzech                 dalšího  vzdělávání  pedagogických  pracovníků)  poznají  postupy  některých  jiných  přístupů,                např. konstruktivistických, uznají jejich přednosti. Uvědomí si, že žáci si nejvíce zapamatují                zážitky při vlastním objevování poznatků. Existuje jistá propast mezi teoretickým zvládnutím                 výukových metod a jejich uplatňováním ve vyučovacím procesu.                 Zásady konstruktivních přístupů k vyučování matematiky jsou formulovány např. v publikaci                Hejného  a Kuřiny  Dítě  škola  a matematika  (2009,  s.  194)  či  Stehlíkové  (2004,  s.  13).  Jde                o tyto zásady (uvedeno zkráceně):                     I.    Matematika je chápána jako specifická lidská aktivita, nejen její výsledek.                     II.   Podstatnou  složkou  matematické  aktivity  je  hledání  souvislostí,  řešení  úloh                          a problémů, tvorba pojmů, zobecňování tvrzení, jejich prověřování a zdůvodňování.                    III.  Konstrukce  poznatků.  Poznatky  jsou  nepřenosné,  vznikají  v mysli  poznávajícího                           člověka.                    IV.  Tvorba poznatků se opírá o zkušenosti poznávajícího.                    V.    Základem  matematického  vzdělávání  je  vytváření  podnětného  prostředí  pro                           tvořivost.                    VI.  K rozvoji konstrukce poznatků přispívá sociální interakce ve třídě.                    VII.  Důležité je použití různých druhů reprezentace a strukturování poznatků.                     VIII.  Značný význam má komunikace.                    IX.  Vzdělávací  proces  je  nutné  hodnotit  minimálně  ze  tří  hledisek:  porozumění                          matematice, zvládnutí matematického řemesla, aplikace matematiky.                     X.    K formálnímu poznání vede poznání založené na reprodukci informací.                Z hlediska  vzdělávání  žáků  se  speciálními  vzdělávacími  potřebami  jsou  důležité  všechny                 body, avšak nejvíce je třeba respektovat body III, IV, VIII, IX.                 Konstruktivismu ve vyučování matematiky se věnuje také Molnár a kol. (2007).                                                             16","1.2.4  Didaktika matematiky zaměřená na aplikace učiva v reálném                         životě                   Poznatky získané studiem  matematiky jako vyučovacího  předmětu jsou využívány  k řešení                 praktických  situací  a problémů  z běžného  života.  Pokud  jsou  vědomosti  získávány                s porozuměním,  pak  je  využití  snadné.  Příkladem  může  být  např.  využití  matematických                 znalostí  v rámci  rozvoje  finanční  gramotnosti.  Jednou  z oblastí  finanční  gramotnosti  je                např. úrokování, které vyžaduje znalost učiva o procentech. Avšak aby žáci zvládli procenta,                je  třeba,  aby  se  orientovali  dobře  v učivu  o zlomcích,  desetinných  číslech.  K tomu  však                 potřebují dobrou znalost učiva o číslech přirozených.                 V různých  obdobích  lze  sledovat  různá  zaměření  výuky  matematiky.  Například                v některých učebnicích matematiky z let před druhou světovou válkou je výrazně preferována                 aplikace  matematiky,  názvy  jednotlivých  kapitol  vycházejí  z využití  matematiky  v běžném                životě, např. „Drobné příjmy a úspory“, „V obchodě“, „Mezi skauty“ aj. – viz Pátek a Trajer                 (1934). Po druhé světové válce se názvy kapitol mění na matematické, např. „Počítání s čísly                celými,  desetinnými  i vícejmennými“  (viz  Matolín,  1950),  nebo  „Čtyři  základní  početní                 výkony  s čísly  celými“  (viz  Trajer  at  al.  1951).  V 70.  a 80.  letech  20.  století  v období                tzv. množinové  matematiky  byla  výuka  zaměřena  více  na  obsah  matematického  učiva,                v 90. letech se zaměřovala spíše na metody (např. skupinové vyučování, didaktické hry aj.).                 V současnosti  se  didaktika  zaměřuje  na  žáka,  hledají  se  vhodné  aplikace,  jak  žákům                matematiku přiblížit při řešení reálných problémů, v rámci diferencované a individualizované                 výuky.                    1.3  Proces chápání přirozeného čísla                      1.3.1  Abstrakce při vytváření pojmu přirozené číslo                   Než  děti  pochopí  pojem  „přirozené  číslo“  v jeho  abstraktní  podobě  (číslo  bez  vazby  na                 konkrétní předměty – např. číslo 3 - bez kuliček), je třeba, aby zvládly to, co vytvoření pojmu                předchází.  V rámci  tzv. předčíselných  představ  se  jedná  o charakterizování  a identifikaci                 předmětů, porovnávání vlastností předmětů, poznávání shod a rozdílů, třídění předmětů podle                určité charakteristické vlastnosti, uspořádání, přiřazování, chápání negace, chápání závislostí,                apod. Postupně se oprošťují  od viditelných vlastností  předmětů  a přecházejí  k určení  jejich                                                             17","počtu,  kolik  jich  je.  Tento  proces  je  velmi  složitý,  neboť  nejprve  dítě  chápe  rozdíl  mezi                jedním prvkem a více prvky (tam jsou dva, tam také jsou dva, tam je hodně). Později se snaží                 konkrétní předměty nahrazovat symboly (prsty, kuličky na počítadle, tyčinky apod.). Po určité                době dochází k tomu, že dítě nepotřebuje konkrétní předměty, aby určilo, kolik je např. dvě,                pět apod., vytvoří se u něj abstraktní představa čísla. Avšak proces abstrakce nelze urychlit, je                 velmi individuální, u každého dítěte probíhá jinak a každé dítě by mělo mít dostatek podnětů                při  práci  s konkrétními  předměty,  -  tolik,  kolik  potřebuje  (včetně  počítání  na  prstech).                 Zároveň  s tímto  procesem  se  rozvíjí  vyjadřování,  kdy  dítě  užívá  číslovky,  aby  dokázalo                slovně určit počet. Přitom vyjmenování řady číslovek v přirozeném uspořádání by mělo být                 vždy založeno na pochopení pojmu – za každým slovem by si dítě mělo umět představit počet                prvků. Rozvíjí se i složka grafická, kdy se dítě naučí počet zapsat číslicí. Od samého počátku                by  dítě  mělo  rozlišovat  znak,  tedy  číslici  a číslo,  které  vyjadřuje  počet  prvků.                 U jednociferných  čísel  je  to  pro  děti  složitější,  protože  číslo  3  zapíše  symbolem  3.                U víceciferných  čísel  je  to  již  snazší,  neboť  k zápisu  víceciferného  čísla  je  zapotřebí  více                 znaků.                 Velmi  důležitá  je  v této  oblasti  práce  s dětmi  v předškolním  věku.  Podrobně  se  této                problematice věnují Kaslová (2010) či Nováková a Novák (2019). Rozvoj předmatematických                 představ  dětí  v předškolním  věku  v širším  kontextu  uvádí  např.  publikace  Fuchse,  Liškové                a Zelendové  (2015).  Základní  matematické  představy  (vnímání  prostoru,  vnímání  času,                 vnímání  kvantity  aj.)  z hlediska  diagnostiky  dítěte  předškolního  věku  jsou  uvedeny                v publikaci Bednářové a Šmardové (2011).                 Při  postupném  rozšiřování  číselného  oboru  do  deseti,  dvaceti,  sta,  tisíce,  milionu  je  třeba                 sledovat, s jakými problémy se dítě setkává jak při pochopení čísla, tak při jeho zápisu                 Tento proces je možné přehledně znázornit:                 Tab. 1: Proces při vytváření pojmu přirozené číslo                 Aktivity s konkrétními předměty                 Práce se symboly – 1. stupeň abstrakce                Pochopení čísla – 2. stupeň abstrakce                 Vyslovení čísla                Zápis čísla – pochopení symbolu k zápisu čísla                 Psaní číslic                Čtení čísel                 Zápis čísel                 Číselná řada                                                             18","Jaké problémy se vyskytují u žáků se specifickými poruchami učení:                        Neumí vytvořit skupinu předmětů o daném počtu prvků.                      Neumí určit počet prvků dané skupiny.                       Nejsou schopni oprostit se od konkrétních představ, nevytvoří se pojem číslo.                      Neumí  vyjmenovat  řadu  čísel  v přirozeném  uspořádání,  některá  čísla  vynechávají,                        některá opakují, nedodrží pořadí.                      Nepochopí podstatu poziční desítkové soustavy.                       Mají problémy s rozlišováním číslic, záměnou tvarově podobných číslic.                      Mají  problémy  s pravolevou  orientací  u číslic  jednostranně  orientovaných  (neví,  na                        kterou stranu se píše trojka, sedmička aj.), problémy se zápisem víceciferných čísel,                       např. nerozlišují 26, 62.                      Mají problémy se zápisem čísel, ve kterých se vyskytují nuly.                       Nečitelné nebo nedbalé psaní číslic, chyba může pramenit ze špatných zápisů, nikoliv                       z neznalosti matematiky.                       Neumí přečíst víceciferná čísla.                      Neumí skloňovat číslovky.                     1.3.2  Porovnávání přirozených čísel                   Porovnávání  přirozených  čísel  je  velmi  potřebné  v běžném  životě,  neboť  neustále  něco                 porovnáváme,  např.  ceny  zboží,  sportovní  výkony,  vzdálenosti,  hmotnosti,  časové  údaje,                počty obyvatel, rozlohy států apod. Proces výuky tohoto učiva má své zákonitosti.                     a)  Nejprve  se  děti  učí  chápat  vztahy  „více“,  „méně“,  „stejně“  bez  čísel.  K tomu  se                        využívá  nejrůznějších  obrázků  a tvoření  dvojic  (kytičky,  motýli,  dvojice  chlapec                       a děvče).  Při  přiřazování  obrázků  do  dvojic  zjistí,  že  některé  obrázky  nejsou  ve                        dvojici, je jich tedy více.                    b)  Teprve ve druhé fázi se ke skupinám prvků přiřadí čísla a porovnávají se přirozená                        čísla pomocí vztahů „větší“, „menší“, „rovná se.“                       Učí se technika používání znaků  „>“,  „<“,  „=“.                 K porovnávání přirozených čísel se využívá nejprve zobrazení, později číselné osy, u větších                 čísel se využívá porovnávání pomocí zápisu čísla v desítkové soustavě.                 Specifickým náročným učivem jsou slovní úlohy, ve kterých se vyskytuje porovnávání čísel                 pomocí vztahů o n více (méně), n-krát více (méně). Podrobněji viz kapitola Slovní úlohy.                                                            19","Problémy dětí při porovnávání přirozených čísel:                        Nepochopení znaků „<“ a „>“ pro porovnávání a nezvládnutí jejich umisťování mezi                       čísla. Žák ví, nebo tuší, které číslo je větší, ale umístění znaku pro porovnávání mu                       činí problémy.                       Nerozlišování porovnávání velikosti předmětů a jejich počtu.                      Nepochopení rozdílu mezi rovností množin a ekvivalencí množin.                       Nesprávné zdůvodňování při používání číselné osy (pomocí vzdálenosti od nuly).                      Problémy při porovnávání velkých čísel.                       Problémy při řešení  slovních úloh,  ve kterých se vyskytují  vztahy  o n více (méně),                       n-krát více (méně).                     1.3.3  Zaokrouhlování přirozených čísel                    Zaokrouhlování  přirozených  čísel  se  řídí  přesnými  pravidly  stanovenými  českou  státní                normou.  Využívá  se  v běžném  životě  k určení  přibližných  čísel,  k odhadům  výsledků                početních  operací,  k uvádění  výsledků  měření  apod.  Při  zaokrouhlování  čísel  se  děti  musí                 zaměřit na dva řády – řád, na který se zaokrouhluje, a řád, který je o jedna nižší. Je výhodné,                když si je nějak zvýrazní, např. barevně.                                  Problémy žáků při zaokrouhlování přirozených čísel:                       Pracují  pouze  se  dvěma  aktuálními  číslicemi,  ostatní  číslice  opíší,  např.  výsledek                        úkolu: „číslo 42 654 zaokrouhlete na tisíce“ – zapíší 43 654.                      Víceciferná čísla zapíší jen do řádu, na který zaokrouhlují, například výsledek úkolu:                        „číslo 54 175 zaokrouhlete na stovky“ zapíší 200.                      Používají  nesprávné analogie  –  při  zaokrouhlování  nahoru číslici zaokrouhlovaného                        řádu zvýší o jedna, při zaokrouhlování dolů ji o jedna sníží.                      Zaokrouhlují již zaokrouhlené číslo (postupné zaokrouhlování – což není přípustné).                                                                           20","1.3.4  Rozklady čísel                    Při rozkladech čísel jde o vytvoření dvou nebo více částí z celku. Při vytváření čísel větších                než 5 si někteří žáci čísla strukturují podle svého vidění, např. 7 vidí jako 2, 2, 2, 1, – jiný žák                 vidí 5, 2, další 3, 4 apod. K hlubšímu pochopení čísla i k provádění operací s čísly (zejména                sčítání a odčítání s přechodem přes základ deset) mohou žákům napomoci rozklady čísel na                dvě části. Například číslo 7 má rozklady:                        0, 7;  1, 6;  2, 5;  3, 4;  4, 3;  5, 2;  6, 1;  7, 0.                 V dalším učivu pak žáci rozkládají dvojciferná čísla na desítky a jednotky, víceciferná čísla                postupně na stovky, desítky, jednotky,  atd.  Tyto rozklady také slouží k lepšímu pochopení                 rozvinutého zápisu čísla v desítkové soustavě.                       například:  26 803 = 2 · 10 000 + 6 · 1 000 + 8 · 100 + 0 · 10 + 3 · 1                 Je to vhodná příprava do budoucna, kdy žáci budou zapisovat rozklady čísel pomocí mocnin                 deseti:                                                                  1                                                                          0                                      4                                               3                                                        2                      26 803 = 2 · 10  + 6 · 10  + 8 · 10  + 0 · 10  + 3 · 10                                                                                       6                Později budou vyjadřovat velká čísla pomocí mocnin deseti, např. 7,5 ·10 .                 1.4  Operace s přirozenými čísly                  Základní operace s přirozenými čísly – sčítání, odčítání, násobení a dělení – jsou u žáků se                 specifickými poruchami učení  zdrojem  největšího množství problémů, a to  jak při  počítání                pamětném, tak při počítání písemném. Je třeba si uvědomit, že k úspěšnému zvládnutí operací                 a jejich využívání v dalším učivu i v dalších předmětech je vhodné respektovat tyto nezbytné                faktory:                        Žáci by měli pochopit význam každé z operací, tj. co se s čísly děje, když se sčítají,                       odčítají,  násobí,  dělí.  K tomu  je  potřeba,  aby  každá  z operací  byla  řádně  vyvozena                       a aby žáci dokázali uvést příběh k danému spoji, například:                            o  3 + 5 nebo 3 · 5.                       Metodický  postup  při  vyvozování  operací  by  měl  respektovat  dva  stupně  potřebné                       abstrakce,  aby  docházelo  k zobecnění,  například  že  vždy  platí,  3  +  5  =  8.  Při                        vyvozování  každé  z operací  by  se  mělo  vycházet  z práce  s konkrétními  předměty,                       z dramatizace  nebo  z volby  vhodné  motivační  situace.  Učitel  by  ji  měl  graficky                                                              21","znázornit pomocí symbolů a potom zapsat příklad. Podrobné postupy a ilustrace pro                       jednotlivé operace jsou uvedeny např. v publikaci Blažkové (2017).                        Výpočty při písemných operacích jsou snazší, pokud žáci chápou význam základních                       spojů a znají je zpaměti. Pamětné memorování spojů bez pochopení jejich významu je                       škodlivé. V praxi se setkáváme se žáky, kteří jsou učeni základní spoje násobení bez                        pochopení, co vlastně násobení je, žáky to nebaví a hned spoje zapomenou. Učí se tak                       neustále dokola něco, co je naprosto neefektivní. Avšak pokud žák umí násobilku a ví,                        co  dělá,  když  čísla  násobí,  má  usnadněno  mnoho  dalšího  učiva  (písemné  násobení,                       dělení,  sčítání,  odčítání,  násobení,  dělení  zlomků,  učivo  o dělitelnosti  přirozených                        čísel, úpravy algebraických výrazů, řešení rovnic, početní geometrické úlohy apod.).                       Nácvik  jednotlivých  spojů  by  měl  respektovat  individuálnost  poznávacích  procesů                       každého žáka.                       Některým žákům vyhovuje analogie, např.                            o  3 + 5 = 8;      13 + 5 = 18;        73 + 5 = 78;                           o  30 + 50 = 80;  300 + 500 = 800;     43 + 25 = 68; atd.                        Některým  žákům  vyhovují  rozklady  čísel,  avšak  podle  jejich  „vlastního  vidění“.                       Najdou se žáci, kteří rozkládají k číslu 5, například                           o  8 + 7 počítají tak, že číslo 8 rozloží na 5 a 3, číslo 7 rozloží na 5 a 2 a počítají                                5 + 5 = 10, 3 + 2 = 5, 10 + 5 = 15, tedy 8 + 7 = 15.                        Při počítání součtu 47 + 29 rozloží číslo 29 na 3 a 26 a počítají:                            o  47 + 3 = 50, 50 + 26 = 76.                            o  Nebo číslo 47 rozloží na 46 a 1 a počítají 29 + 1 = 30, 46 + 30 = 76.                       Je třeba respektovat osobní strategie žáka. Pokud si vytvoří svůj vlastní postup a ten je                       matematicky správný a lze jej využít obecněji, pak se žáku ponechá a nevnucuje se mu                        přístup, který používají rodiče či učitel. Jestliže žák např. počítá 64 − 37 tak, že 37                       rozloží na 4 a 33 a dále 33 rozkládají na 30 a 3 a při výpočtu postupuje:                            o  64 − 4 = 60, 60 − 30 = 30, 30 − 3 = 27,                        tento  přístup  je  mu  bližší,  než  rozklad  menšitele  na  desítky  a jednotky.  Není  však                       možné  respektovat  chybný  postup,  kdy  rozkládá  menšence  i menšitele  na  desítky                        a jednotky a počítá:                            o  60 − 30 = 30, 4 − 7 nejde, tak 7 − 4 = 3, 30 + 3 = 33, jako by počítal 67 − 33.                                                                  22","  Není vhodné, když žáci přičítají nebo odečítají po jedné, například 4 + 3 počítají: 5, 6,                        7. Příklad 8 − 5 počítají:                           o  7, 6, 5, 4, 3.                       Častokrát  žáci  začnou  počítat  s číslem  4  (4,  5,  6)  a vždy  jim  vyjde  součet  o jednu                        menší, než je skutečný součet.                       Podobně  při  odčítání  počítají  8,  7,  6,  5,  4  a rozdíl  vždy  vyjde  o jedna  větší,  než  je                        správný rozdíl.                               Problémy žáků při provádění operací s přirozenými čísly:                        Nepochopení významu některé z operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení).                      Nepochopení podstaty poziční desítkové soustavy, počítání s čísly různých řádů, např.                            o  2 + 50 = 70; 62 − 4 = 22.                      Počítání po jedné při sčítání a odčítání.                       Uplatňování nesprávných analogií, používání vlastních, nesprávných postupů.                      Učení se základním spojům operací zpaměti, bez porozumění.                       Zafixování chybných spojů, např.                           o  8 + 7 = 13;  7 · 8 = 54.                       Záměna operací, např. 5 + 2 = 10, kdy zamění sčítání za násobení.                      Při písemných algoritmech nezvládnutí schématu algoritmu.                       Problémy při sčítání a odčítání s přechodem přes základ deset.                      Při odčítání odčítají menší číslo od většího, i když je v menšiteli.                       Při dělení zaměňují dělence a dělitele.                  Poznámka:  Podrobné  postupy  k vyvození  jednotlivých operací  a reedukační postupy  jsou  uvedeny  v publikaci                Blažkové (2017).                    1.5  Jednotky měr                   V rámci  mnoha  činností  se žáky  s poruchami  učení  v matematice  se  jako  jeden  ze                závažných problémů  jeví  počítání  s jednotkami  měr.  Chápání  jednotek  měr  –  tj.  jednotek                 délky, obsahu, objemu, hmotnosti, času a měny i vztahů mezi nimi a převodů jednotek je pro                žáky svízelné. Úkolem je najít komunikační cestu, která žáky osloví, a volit takové metody                práce, které žákům usnadní pochopení tohoto učiva. Úspěšné zvládnutí základních jednotek je                 předpokladem pro to, aby žáci mohli dále pracovat s jednotkami složenými, jako jsou např.                                                              23","jednotky  rychlosti,  hustoty,  síly,  astronomické  jednotky  a další,  a úspěšně  je  používali                v ostatních předmětech.                       Počítání s fyzikálními veličinami a s pojmenovanými čísly přináší žákům                                          řadu potíží, z nichž nejčastější jsou:                        Nemají správnou představu o veličině ani o jednotce.                      Neumí odhadnout ani přibližně velikost míry určité veličiny.                       Mají problémy s převody jednotek příslušných veličin.                      Nechápou souvislost mezi násobením mocninami deseti – chápou násobení ve smyslu                        5 m ·10 = 50 m, když se úsečka zvětší desetkrát, ale již ne ve smyslu 5 m = (5 · 10)                       dm, kdy se jedná o tutéž délku úsečky vyjádřenou jinou jednotkou.                      Nechápou  souvislost  převodů  jednotek  měr  a násobení  a dělení  přirozených  nebo                        desetinných čísel čísly 10, 100, 1000 atd.                       Obtížně chápou, že „menších“ jednotek je „více“, a naopak – např. 5 dm = 50 cm,                       500 cm = 5 m.                      Neumí samostatně využít poznatků z reálného života.                  Při  seznamování  žáků  s jednotkami  měr  je  nutné  dodržovat  vhodný  metodický  postup.                Některé kroky tohoto postupu jsou:                     a)  Vytváření správné představy o jednotce příslušné veličiny.                     b)  Měření předmětů (zejména délek, hmotností, času).                    c)  Procvičování odhadů.                    d)  Převody jednotek.                     e)  Využití pomůcek k převodům jednotek.                    f)  Schopnost pracovat v šedesátkové soustavě při práci s jednotkami času.                     g)  Respektování mezinárodní soustavy měr a vah SI.                    h)  Schopnost  pracovat  s jednotkami  měr  v aplikačních  úlohách  a dalších  výukových                       předmětech (zejména přírodovědných).                  Podrobně je téma zpracováno v publikaci Blažkové (2017).                    1.6  Slovní a aplikační úlohy                   Na řešení slovních úloh lze sledovat úroveň osvojení matematických poznatků, neboť žák má                 prokázat,  zda  umí  jednotlivé  operace  s čísly  využít  k řešení  konkrétních  úkolů  a problémů.                                                             24","Slovní úlohy lze třídit podle mnoha různých hledisek, avšak základní třídění je podle počtu                operací,  které  jsou  potřeba  k jejich  vyřešení.  Z tohoto  hlediska  rozlišujeme  slovní  úlohy                 jednoduché  a slovní  úlohy  složené.  K řešení  jednoduché  slovní  úlohy  je  třeba  pouze  jedné                operace  (dvě  čísla  známe,  třetí  počítáme),  složené  slovní  úlohy  vyžadují  k řešení  více  než                jednu operaci. Žáci s SPU jsou zpravidla schopni řešit jednoduché slovní úlohy, ve složených                 se orientují obtížně. Většinou vyhledají v zadání všechna čísla zadaná ciframi a ty sečtou, bez                ohledu na kontext.                         Proč mají žáci s řešením slovních úloh problémy, co je jejich příčinou:                        Délka  textu  zadání  slovní  úlohy.  Příliš  dlouhý  text  je  pro  žáky  obtížně                       zapamatovatelný, nestačí zachytit podmínky úlohy a otázku.                       Tematika slovní úlohy. Náměty úloh by měly vycházet z nejbližšího okolí žáků, měly                       by vycházet z jejich zájmů                      Znalost použitých pojmů v zadání. Často se stává, že některým slovům použitým ve                        slovních úlohách žáci nerozumí (jsou pro ně archaické nebo se s nimi nikdy nesetkali                       apod.).                      Čtení  s porozuměním.  Pokud  je  žák  dyslektik,  a má  problémy  se  čtením                        s porozuměním,  tuto  skutečnost  je  třeba  v matematice  zohlednit  a volit  jiný  způsob                       zadání,  např.  obrázkem.  K obrázku  pak  může  žák  vytvářet  slovní  úlohy  podle  své                       úrovně.                       Způsob formulace otázky. Na otázku se při řešení úlohy zaměřujeme jako na první,                       ptáme se, co máme vypočítat, a tomu pak přizpůsobujeme další postup řešení slovní                       úlohy.  Některé  slovní  úlohy  mohou  být  formulovány  bez  otázky,  a tu  si  pak  žáci                        samostatně vytvářejí.                      Způsob zadání číselných údajů (4 děti, čtyři děti). Pokud jsou číselné údaje zadány                       ciframi, žáci je registrují. Pokud jsou zadány číslovkami, zpravidla je nevidí.                       Přepis  jazyka  českého  do  jazyka  matematiky  (zápis  příkladu,  rovnice  aj.).  Toto  je                       nejobtížnější část řešení slovní úlohy. Analýza vztahu mezi zadanými údaji a otázkou                        a volba početní operace je obtížná, zejména u složených slovních úloh.                      Vyřešení matematické úlohy. Zde se může projevit některá z dyskalkulických chyb,                       které provázejí žáky při počítání s čísly. Tato chyba není podstatná, pokud byla slovní                        úloha jinak správně řešena.                      Ověření  výsledku.  Žáci  by  se  měli  přesvědčit  o správnosti  svého  řešení.  Jednak  by                        měli kontrolovat správnost provedených operací (např. na kalkulačce), jednak by měli                       kontrolovat  správnost řešení  slovní  úlohy. Velmi  často  se stává, že početní operace                       jsou provedeny správně, avšak řešení slovní úlohy je chybné.                                                             25","  Porovnání  s realitou.  Někdy  žáci  uvádějí  naprosto  nesmyslná  řešení  slovních  úloh,                       proto je potřeba zařazovat otázky typu: Je to možné?                 Specifickým náročným učivem jsou slovní úlohy, ve kterých se vyskytuje porovnávání čísel                 pomocí vztahů o n více (méně), n-krát více (méně). Pokud tyto úlohy žáci správně nepochopí                jako úlohy jednoduché, řešené v oboru čísel přirozených, nezvládnou řešení úloh složených                a úloh řešených v jiných číselných oborech (desetinná čísla, zlomky).                 Je třeba rozlišit slovní úlohy na pouhé sčítání (odčítání) od slovních úloh na porovnávání. Ve                 všech  případech  dětem  k řešení  napomůže  vhodné  grafické  znázornění.  Všimněme  si                podrobněji, jak se jeden příklad (5 + 3) může v různých slovních úlohách objevovat v různém                 kontextu.  Sledujme  zadání  tří  úloh,  které  se  řeší  stejným  matematickým  příkladem,  avšak                kontext je různý.                       Jirka měl 5 modelů autíček, 3 dostal od dědečka. Kolik modelů autíček má celkem?                        J  o o o o o   o o o          5 + 3 = 8    Jirka má 8 modelů autíček.                        Zkouška:  Buď  „krok  zpět“,  kdy  slovní  úlohu  projdeme  znovu,  nebo  formulací                        obrácené slovní úlohy (např. Jirka měl 5 modelů, několik dostal od dědečka, potom                       jich měl 8. Kolik modelů dostal od dědečka?).                       Jirka má 5 modelů autíček, Ondra má o 3 modely více než Jirka. Kolik modelů má                       Jirka?                        J  o o o o o                        O  o o o o o   o o o          5 + 3 = 8    Ondra má 8 modelů autíček.                        Zkouška:      O       J                                     8       5       8 > 5  o 3.                       Jirka má 5 modelů autíček, a to je o 3 modely méně, než má Ondra. Kolik modelů má                        Ondra?                        J  o o o o o                       O  o o o o o   o o o          5 + 3 = 8    Ondra má 8 modelů autíček.                        Zkouška:      J       O                                     5       8       5 < 8  o 3.                 Poslední úloha se označuje jako úloha s tzv. antisignálem, kdy se vztah „méně“ řeší pomocí                sčítání.  V rozboru  je  třeba  uvést  vzájemný  vztah  mezi  oběma  chlapci,  tj.  když  jeden  má                 o 3 méně než druhý, má ten druhý o 3 více než první.                                                                  26","Analogické slovní úlohy lze formulovat pro odčítání.                       Pavel měl 8 kuliček, 3 prohrál. Kolik kuliček měl po hře?                       Pavel měl 8 kuliček, Filip měl o 3 kuličky méně než Pavel. Kolik kuliček měl Filip?                      Pavel měl 8 kuliček, a to bylo o 3 kuličky více, než měl Filip. Kolik kuliček měl Filip?                       Pavel měl 8 kuliček, Filip měl 5 kuliček. O kolik kuliček měl Pavel více než Filip?                       (O kolik kuliček měl Filip méně než Pavel?)                 Zkouška  správnosti  řešení  úlohy  je  v každém  případě  jiná.  Pokud  děti  pořádně  nepochopí                 řešení těchto jednoduchých úloh, mají pak problémy s řešením složené úlohy:                       Jirka má 5 modelů autíček, Ondra má o 3 modely více než Jirka. Kolik modelů mají                       dohromady?                 Slovní úlohy se vztahy n krát více (méně), ve kterých se využívá operací násobení a dělení,                 jsou pro děti náročnější.                       Děti utvořily tři skupiny po pěti. Kolik bylo všech dětí?                        o o o o o     o o o o o      o o o o o     3 · 5 = 15    Všech dětí bylo 15.                         Zkouška:      5 + 5 + 5 = 15                       Na hřišti bylo 5 děvčat, chlapců tam bylo třikrát více než děvčat. Kolik bylo na hřišti                       chlapců?                        D  o o o o o                         Ch  o o o o o  o o o o o     o o o o o     3 · 5 = 15    Na hřišti bylo 15 chlapců.                        Zkouška:  CH       D                                    15     5       15 > 5  třikrát.                       Na  hřišti  bylo  5  děvčat,  a to  bylo  třikrát  méně  než  chlapců.  Kolik  bylo  na  hřišti                        chlapců?                       D  o o o o o                        Ch     o o o o o      o o o o o     o o o o o     3 · 5 = 15    Na  hřišti  bylo  15                       chlapců.                        Zkouška:  D        CH                                    5      15      5 < 15  třikrát.                 Rozbor – u úloh s antisignálem využíváme vzájemného vztahu: když děvčat bylo třikrát méně                 než chlapců, chlapců bylo třikrát více než děvčat.                                                               27","Poznámka: Při tomto grafickém znázornění je možné se setkat se žáky, kteří v obrázku nevidí „třikrát více“, ale                „o dvakrát více“. Někteří žáci potřebují slovní vyjádření „třikrát tolik“, jiní lépe chápou jiný obrázek, např.:                        D      o o o o o                       Ch     o o o o o                              o o o o o                              o o o o o                  Analogické slovní úlohy se formulují pro operaci dělení.                       Rozdělte 15 dětí do tří skupin. Kolik dětí bude v každé skupině?                       Na hřišti bylo 15 chlapců, děvčat tam bylo třikrát méně. Kolik bylo na hřišti děvčat?                      Na hřišti bylo15 chlapců, a to bylo třikrát více, než bylo děvčat. Kolik děvčat bylo na                       hřišti?                       Na hřišti bylo 15 chlapců a 5 děvčat. Kolikrát více bylo chlapců než děvčat? (Kolikrát                        méně bylo děvčat než chlapců?)                 Při řešení složených slovních úloh je vhodné (pokud to žáci nezvládají samostatně) rozdělit                složenou úlohu na několik jednoduchých pomocí doplnění návodných otázek. Důležitý je také                 číselný  obor,  ve  kterém  žáci  pracují.  Pokud  se  obtížně  orientují  ve  velkých  číslech  (řádu                stotisíců a výše), je vhodné, aby pracovali s čísly, která zvládají. Problematická může být také                orientace ve slovních úlohách, ve kterých se vyskytují zlomky a desetinná čísla.                  Metodické  pokyny  k řešení  slovních  úloh  jsou  uvedeny  např.  v publikaci  Blažkové,                Matouškové a Vaňurové (2011).                    1.7  Zlomky a desetinná čísla                   Pojem zlomku se vytváří dlouhodobě, již od předškolního věku. Děti v mateřské škole velmi                 dobře chápou, co je polovina rohlíku, polovina jablíčka apod. Cílem je, aby došlo k potřebné                abstrakci,  aby  se  žáci  ve  školním  období  od  chápání  zlomku  jako  části  celku  dostali                 k pochopení  zlomku  jako  čísla  (reprezentanta  čísla  racionálního).  Tento  proces  vyžaduje                mnoho činností, ve kterých se prostřednictvím kreslení, překládání papíru, modelování aj. žáci                 postupně oprošťují od konkrétních předmětů a začínají chápat význam zlomku jako čísla, tedy                např. jedna polovina nezáleží na tom, jaký objekt dělím, ale že dělím cokoliv na dvě části                (Podrobněji například Blažková, Matoušková a Vaňurová (2013); Budínová (2015); Blažková                 (2017).                 Postupně  se  pak  žáci  seznamují  s různými  druhy  zlomků  (zlomek  pravý,  nepravý),                porovnáváním  zlomků,  krácením  a rozšiřováním  zlomků,  s operacemi  sčítání,  odčítání,                                                             28","násobení a dělení zlomků, se složenými zlomky. Pro žáky s SPU volíme příklady s nižšími                čísly a pro operace zlomky v počtu dva, nejvýše tři.                 K vytvoření  pojmu  desetinné  číslo  je  vhodné  postupovat  přes  pojem  desetinný  zlomek                 a desetinné  číslo  vytvářet  jako  jiný  zápis  desetinného  zlomku.  Výhodou  je,  že  nalézt  pro                výuku desetinných čísel motivační  příklady  z běžného života je snadné  –  je možné počítat                 jednak  s příklady  z obchodního  styku,  jednak  s jednotkami  měr.  Početní  výkony                s desetinnými  čísly  využívají  zkušenosti  žáků  s počítáním  s přirozenými  čísly.  Všechny                problémy, které se vyskytují při počítání s čísly přirozenými, se objevují i při počítání s čísly                 desetinnými.  Metodické  postupy  k zvládnutí  tématu  desetinných  čísel  jsou  například                v publikaci Blažková, Matoušková, Vaňurová (2014).                     1.8  Závislosti, vztahy, práce s daty                   V tématu  závislosti  jde,  mimo  jiné,  o pochopení  pojmu  funkce.  Vývoj  pojmu  se  odvíjí  od                pochopení pojmu přímá úměrnost (kolikrát se zvětší jedna veličina, tolikrát se zvětší druhá                 veličina) a pojmu lineární funkce. Přímou úměrnost chápou žáci s SPU snáze, neboť navazuje                na násobky čísel (např. jeden jogurt stojí 8 Kč, kolik Kč stojí 2, 3, 4, 5, … jogurtů?). Složitější                je  pojem  nepřímá  úměrnost  (kolikrát  se  zvětší  jedna  veličina,  tolikrát  se  zmenší  druhá                 veličina), kdy žáci chápou lépe diskrétní situace (např. máš 20 rohlíků, kolik rohlíků dostane                každý skaut, když je jich 10, 5, 4, 2), než situace spojité.                 Práce s daty seznamuje žáky se základními pojmy popisné statistiky. U žáků se specifickými                 poruchami  učení  se  zaměřujeme  zejména  na  grafické  zpracování  statistických  údajů                prostřednictvím diagramů, čtení údajů z grafu či diagramu a zápis údajů do diagramu. Typy                 diagramů  (obrázkový,  sloupkový, úsečkový, kruhový, spojnicový) volíme podle schopností                žáků tyto diagramy vnímat. Tato činnost je pro žáky s SPU velmi prospěšná, protože obrázek                 je pro ně daleko instruktivnější, než např. tabulka, ve které jsou číselné údaje zapsány.                    1.9  Geometrie v rovině a prostoru                   Obsah učiva geometrie na druhém stupni ZŠ je v RVP pro ZV uveden v tematickém okruhu                Geometrie v rovině a v prostoru a je zaměřen zejména na rovinné útvary, polohové a metrické                 vlastnosti,  prostorové  útvary,  konstrukční  úlohy,  geometrická  zobrazení.  Pro  některé  žáky                s poruchami  učení  může  být  geometrie  příznivější  než  aritmetika  a algebra.  Školská                 matematika se však orientuje více na početní stránku (výpočty obvodů a obsahů rovinných                                                             29","geometrických útvarů a povrchů a objemů těles) než na rozvíjení geometrických představ. Pro                žáky s dysgrafií může být problémem rýsování geometrických útvarů a řešení konstrukčních                 úloh.                    1.9.1  Základní problémy žáků v oblasti základních pojmů                          Nerozlišování  některých  geometrických  útvarů,  např.  obdélníku,  čtverce,  kružnice,                       kruhu nebo přímky, úsečky apod.                       Nerozlišování geometrického útvaru a jeho hranice.                      Nerozlišování geometrických útvarů v různých polohách, různě otočených, v různém                        tvaru apod.                    1.9.2  Základní problémy žáků s poruchami učení v oblasti početní                         geometrie                          Správné  chápání  pojmů  obvod  a obsah  geometrického  útvaru  (pokud  nejsou  pojmy                       správně vyvozeny, nerozlišují je, pletou si je). Podstatné je, aby žáci vnímali obvody,                       obsahy  rovinných  geometrických  útvarů,  povrchy,  objemy  těles  jako  čísla  (s                        jednotkou), která jsou těmto geometrickým útvarům přiřazena.                      Nerozlišení  geometrického  útvaru  a jeho  míry  (velikosti).  Na  otázku  „co  je  obsah                        obdélníku“ odpovídají „to je ten obdélník“.                      Pouhé  pamětné  se  naučení  vzorců  a vztahů  snižuje  význam  geometrického  učiva                        a soustřeďuje se jen na dosazování a aritmetické operace.                      Práce  s jednotkami  měr.  Požadavek  pracovat  s velikostmi  útvarů  ve  stejných                        jednotkách vyžaduje zvládnutí převodů jednotek měr.                      Problémy v provádění operací s racionálními čísly.                     1.9.3  Základní problémy žáků v oblasti konstrukční geometrie                         Problémy  žáků  se  objevují  zejména  v analýze  problému,  kdy  má  žák  na  základě                        zadaných  údajů  sestavit  posloupnost  činností,  které  by  měl  realizovat,  aby  úlohu                       vyřešil  a geometrický  útvar  narýsoval.  Žáci  musí  uplatnit  určitou  míru  geometrické                                                              30","představivosti  a schopnosti  naplánovat  postup  řešení.  Uplatňují  zde  znalosti                       o geometrických útvarech a jejich vlastnostech, což je pro žáky s SPU problematické.                       Další  problémy  se  objevují  v souvislosti  s jemnou  motorikou  (práce  s rýsovacími                       potřebami) či problémy s dysgrafií (kreslení a rýsování).                       Určitou pomůckou mohou být počítačové programy, které řešení úloh vysvětlí. Avšak                       základní konstrukce by měli i žáci s SPU zvládnout.                     1.9.4 Základní metody práce v geometrii                         Rozvíjení geometrické a prostorové představivosti (kreslení, vytváření koláží, stavby                        z krychlí a dalších těles, vystřihování souměrných útvarů aj.).                      Samostatné manipulativní činnosti žáka.                       Rozvíjení konstrukčních dovedností žáků.                      Odvození vztahů pro výpočty na základě vlastní činnosti žáků.                       Upevnění geometrického učiva řešením aplikačních úloh.                      Vytváření  projektů  s geometrickým  obsahem  (zařízení  pokoje,  plánek  bytu,  domu,                        zahrady či sportovního areálu, model vesnice, města aj.).                 Vzhledem k tomu, že učitel by měl vytvářet matematické pojmy v duchu správných definic                těchto pojmů (i když je od žáků nevyžaduje), by měl vytvořit představu úsečky, polopřímky                 a přímky  jako  výchozích  pojmů.  V návaznosti  na  tyto  pojmy  se  postupně  vytvářejí  další                pojmy, jako jsou úhel, trojúhelník, čtyřúhelník, kružnice, kruh; vždy je nutné dbát na precizní                 vybudování  těchto  pojmů.  Pokud  žákům  není  jasné,  co  který  geometrický  útvar  je,  mají                problémy v dalších částech učiva (např. nevnímají celý útvar, ale jen jeho hranici). Výhodou                je  dostupná  motivace,  neboť  reprezentanti  geometrických  útvarů  nás  obklopují  v každém                 okamžiku.                 K ilustraci geometrických pojmů je vhodné nejprve využívat manipulativních činností, např.                sestavování  koláží,  skládání  tangramu,  tetrixu  a jiných  podobných  her.  V prostorové                 geometrii  jde  o stavby  z krychlí  a jiných  těles.  Při  realizování  těchto  činností  se  žáci                s geometrickými útvary seznamují přirozenou cestou.                                                                         31","2  Teoretická východiska – vymezení pojmů v rámci                       specifických poruch učení se zaměřením na                      matematiku                       2.1  Specifické poruchy učení (zejména dyslexie, dysgrafie,                         dysortografie) a jejich vliv na úspěšnost žáků                        v matematice                   Od dob počátků vzdělávání je známa zkušenost, že všichni žáci nemají stejné předpoklady                 k učení a k získávání nových poznatků. Někteří se učí snadno, jiní s problémy. Například již                ve starověku, při výuce trivia, se hledaly přístupy a metody, které by napomohly žákům, kteří                 měli  se  zvládáním  těchto  základů,  problémy.  V dalších  obdobích  řada  významných  vědců                a pedagogů  věnovala  pozornost  žákům,  kteří  měli  výukové  problémy,  a přitom  byli                 intelektově  na  dobré  úrovni.  Mezi  těmito  osobnostmi  můžeme  jmenovat  např.  Erasma                Rotterdamského  (1567–1636),  Jana  Ámose  Komenského  (1592–1670),  Johna  Locka                (1632–1704),  Johanna  Heinricha  Pestalozziho  (1746–1827),  Johana  Friedricha  Herbarta                 (1776–1841) a mnoho dalších. V 19. a 20. století se začínají problémy dětí s učením zkoumat                v praktické  i teoretické  rovině  jak  po  stránce  psychologické,  tak  po  stránce  pedagogické.                 Problematika specifických poruch učení se dostává do širšího povědomí jak mezi učiteli, tak                mezi  rodiči.  Mezi  význačné  české  osobnosti,  které  se  poruchám  učení  věnovaly,  můžeme                zařadit  např.  Antonína  Heverocha.  Otokara  Chlupa  či  Zdeňka  Matějčka.  V  současnosti  se                 vzdělávání  zaměřuje  na  rozvoj  celé  osobnosti  žáka  a preferují  se  speciálně  pedagogické                 přístupy.                Specifické poruchy učení jsou systematicky studovány psychology a speciálními pedagogy od                 druhé  poloviny  dvacátého  století.  V roce  1976  vydal  Úřad  pro  výchovu  v USA  definici                specifických  vývojových  poruch  učení  v tomto  znění:  „Specifické  poruchy  učení  jsou                 poruchami  v jednom  nebo  více  psychických  procesech,  které  se  účastní  porozumění  nebo                užívání  řeči,  a to  mluvené  i psané.  Tyto  poruchy  se  mohou  projevovat  v nedokonalé                schopnosti naslouchat, myslet, číst, psát nebo počítat. Zahrnují stavy, jako je např. narušené                 vnímání,  mozkové poškození,  lehká mozková dysfunkce, dyslexie, vývojová dysfázie atd.“                (Matějček 1987).                                                              32","Experti  Národního  ústavu  zdraví  ve  Washingtonu  spolu  s experty  Ortonovy  společnosti                a dalších  institucí  formulovali  v roce  1980  následující  definici:  „Poruchy  učení  jsou                 souhrnným označením různorodé skupiny poruch, které se projevují zřetelnými obtížemi při                nabývání  a užívání  takových  dovedností,  jako  je  mluvení,  porozumění mluvené  řeči,  čtení,                psaní, matematické usuzování nebo počítání. Tyto poruchy jsou vlastní postiženému jedinci                 a předpokládají  dysfunkci  centrálního  nervového  systému,  i když  se  porucha  učení  může                vyskytovat  souběžně  s jinými  formami  postižení  (např.  kulturní  zvláštnosti,  nedostatečná                 nebo  nevhodná  výuka,  psychogenní  činitele),  není  přímým  následkem  takových  postižení                nebo nepříznivých vlivů.“ (Matějček, 1987).                 Věra  Pokorná  (2010)  cituje  přístupy  některých  autorů  z USA.  Například  Spear-Swerling                 (1999)  uvádí  rozšířenou  definici  specifických  poruch  učení:  „Specifické  poruchy  učení                znamenají  poruchu  v jednom  nebo  více  základních  psychických  procesech,  zahrnujících                 porozumění  nebo  používání  jazyka,  mluveného  nebo  psaného,  která  se  může  projevit                v nedokonalé  schopnosti  naslouchat,  myslet,  mluvit,  číst,  psát  nebo  provádět  matematické                výpočty.  Termín  zahrnuje  takové  podmínky,  jako  jsou  percepční  nedostatky,  mozková                 poranění, lehké mozkové dysfunkce, dyslexie a vývojová afázie. Termín nezahrnuje jedince                s problémy v učení, které jsou primárně důsledkem zrakového, sluchového nebo motorického                 handicapu,  mentální  retardace,  emočního  vzrušení  nebo  kulturně  či  ekonomicky                znevýhodněného prostředí.“                 V roce 1992 byly v 10. revizi Mezinárodní klasifikace nemocí uvedeny v oddíle F 80 až F 89                 Poruchy psychického vývoje a v části F 81 Specifické vývojové poruchy školních dovedností:                 F 81.0 Specifické poruchy čtení;                 F 81.1 Specifické poruchy psaní;                 F 81.2 Specifické poruchy počítání;                 F 81.3 Smíšená porucha školních dovedností;                 F 81.8 Jiné vývojové poruchy školních dovedností;                  F 81.9 Vývojové poruchy školních dovedností nespecifikované.                 (Mezinárodní klasifikace nemocí. 2013).                 V odborné  literatuře  jsou  uváděny  specifické  poruchy  učení  –  dyslexie,  dysgrafie,                dysortografie, dyskalkulie, dysmúzie, dyspinxie, dyspraxie; všechny tyto poruchy mají vliv na                 úspěšnost žáků v matematice. Navzájem se ovlivňují a není možné je při výuce matematiky                nebrat  v úvahu.  Uvádíme  vliv  specifických  poruch  učení  na  výsledky  matematického                 vzdělávání:                                                             33","Dyslexie.  Problémy  žáků,  které  se  projevují  v oblasti  rozlišování  jednotlivých  písmen,                rychlosti čtení, správnosti čtení nebo porozumění čtenému textu, se objeví i v matematice. Pro                 dyslektika  je  obtížné  rozlišovat  jednotlivé  číslice,  číst  s porozuměním  slovní  zadání                matematických  úloh,  zejména  pak  slovních  úloh,  ve  kterých  je  třeba  provést  přepis  textu                uvedeného českou větou do matematického jazyka. Pro některé dyslektiky je náročné číst také                 symbolický matematický zápis. Mezi dyslektiky  však můžeme najít děti, které více rozumí                symbolickému  matematickému  zápisu  než  textu  v běžném  jazyce.  Z nepochopení  zadání                 úlohy pak vyplývají nesmyslné matematické zápisy.                 Dysgrafie. Porucha postihuje osvojování si jednotlivých písmen, spojení hláska – písmeno,                úpravu písemného projevu. V matematice má dysgrafik problémy s osvojením si jednotlivých                 číslic  a znaků,  spojením  „čísla“  a „zápisu  čísla  pomocí  číslic“,  rozlišením  pojmů  „číslo“                a „číslice“ a jejich zápisem, dále pak se zápisem čísel v řádcích (např. neudrží stejnou velikost                 všech číslic v zápisu víceciferného čísla) nebo se zápisem čísel v algoritmech, kde záleží na                přesnosti zápisu čísel podle jednotlivých řádů. Chyby v matematických operacích mohou být                častěji  způsobené  neupraveností  zápisu  než  neznalostí  matematického  učiva.  Výrazná                 pomalost vede k nedostatku času, například při testech.                 Dysortografie.  Porucha  pravopisu.  Nejde  o hrubé  chyby  způsobené  neznalostí,  ale                o specifické problémy související např. s nerozlišováním sykavek, délky samohlásek, měkčení                 apod.  Žáci  vynechávají,  přidávají  a přesmykují  písmena,  neudrží  hranice  slova.  Totéž  se                projevuje při zápisu čísel (časté vynechávání nuly). Dysortografie se také může projevit při                 tzv. diktovaných  pětiminutovkách,  kdy  dítě  musí  v mysli  bez  vizuální  podpory  zpracovat                příliš mnoho jevů najednou.                 Dyskalkulie.  Tato  porucha  postihuje  vytváření  matematických  představ;  projevuje  se                 problémy spojenými s číselnými operacemi, poruchami prostorových představ aj. Podrobně                bude uvedena v dalších částech textu.                 Dyspinxie.  Porucha  v oblasti  kresebných  dovedností,  neobratnost  při  zvládání  jemné                 motoriky  rukou  a prstů  –  projevuje  se  zejména  při  rýsování.  Dětem  rovněž  činí  obtíže                znázornění prostorové situace v rovině, na obrázku.                 Dysmúzie. Snížení nebo úplná ztráta smyslu pro hudbu – melodii a rytmus. Zejména ztráta                 smyslu pro rytmus je pro matematiku problémem.                 Dyspraxie. Porucha obratnosti, může mít vliv na úpravu matematických písemných prací, na                úpravě rýsovaných obrázků, nezvládnutí pořádku na pracovním místě. To vše může být také                 způsobeno nešikovností dětí.                                                                34","2.2  Dyskalkulie – definice, klasifikace                   Pojmem  dyskalkulie  je  označována  specifická  porucha  matematických  schopností                 a dovedností. Žáci s touto poruchou podávají v matematice podstatně horší výkony, než by se                dalo,  vzhledem  k jejich  inteligenci,  očekávat.  Tato  porucha  je  diagnostikována                 v pedagogicko-psychologických  poradnách  prostřednictvím  standardizovaných  testů.  Někdy                se  však  stává,  že  se  dyskalkulie  během  testů  nepotvrdí,  a přitom  mají  žáci  v matematice                analogické problémy jako žáci s dyskalkulií.                  V odborné literatuře jsou zveřejňovány různé definice dyskalkulie, uveďme alespoň některé.                Podle 10. revize Mezinárodní klasifikace nemocí (Duševní poruchy a poruchy chování) patří                dyskalkulie mezi „specifické vývojové poruchy školních dovedností“ pod kód F 81.2. (2013).                  „Tato  porucha  zahrnuje  specifické  postižení  dovednosti  počítat,  kterou  nelze  vysvětlit                mentální retardací ani nevhodným způsobem vyučování. Porucha se týká ovládání základních                početních  úkonů  (sčítání,  odčítání,  násobení  a dělení)  spíše  než  abstraktnějších  dovedností,                 jako je algebra, trigonometrie nebo diferenciální počet.“                 Poznamenejme  však,  že  pokud  má  dítě  problémy  v oblasti  zvládání  základních  početních                úkonů, tak se tyto  problémy projeví  i  v dalších oblastech matematiky, např.  v algebře, kde                 pracuje s koeficienty nebo exponenty u proměnných.                 Další definici dyskalkulie formuloval Ladislav Košč (1972):                 „Vývojová  dyskalkulie  je  strukturální  porucha  matematických  schopností,  která  má  svůj                 původ v genově nebo perinatálními vlivy podmíněném narušení těch částí mozku, které jsou                přímým  anatomicko-fyziologickým  substrátem  věku přiměřeného dozrávání  matematických                funkcí, které však zároveň nemají za následek snížení všeobecných rozumových schopností.“                 Na tuto definici navazuje J. Novák (2004) a podává rozšířenou definici dyskalkulie:                  „Vývojová  dyskalkulie  je  specifická  porucha  počítání  projevující  se  zřetelnými  obtížemi                v nabývání a užívání základních početních dovedností, při obvyklém sociokulturním zázemí                dítěte  a celkové  úrovni  všeobecných  rozumových  předpokladů  na  dolní  hranici  pásma                 průměru  nebo  výše  a  s příznačnou  vnitřní  strukturou,  v jejímž  rámci  je  výrazně  snížena                úroveň  matematických  schopností  a narušena  skladba  za  přítomnosti  projevů  dysfunkcí                 centrální nervové soustavy podmíněných vlivy dědičnými nebo vývojovými.“                 Na  základě  naší  zkušenosti  z konkrétní  práce  se  žáky,  kteří  mají  rozumové  předpoklady                v pásmu  průměru,  nebo  dokonce  nadprůměru,  a  u kterých  se  vyskytovaly  problémy                 v matematice, usuzujeme, že v přístupu k žákům není rozhodující, zda je či není dyskalkulie                                                              35","diagnostikována,  ale  že  je  důležité  pochopit  individualitu  žáků,  jejich  specifické  problémy                v matematice a hledat adekvátní reedukační postupy vhodné pro tyto žáky. Volba nápravných                 reedukačních  a kompenzačních  cvičení  je  u těchto  žáků  odlišná  v tom  smyslu,  že  někteří                z nich  mohou  matematické  učivo  zvládnout  vhodným  doučováním  běžnými  výukovými                postupy, avšak jiní potřebují zavedení takových mechanismů, které nahradí postižené funkce                 nebo je vhodným způsobem rozvíjejí. V mnoha případech si tyto mechanismy vypracují žáci                sami a je na dospělých (učitelích, rodičích), aby jim v tomto nebránili.                     2.2.1  Klasifikace dyskalkulie                     Klasifikace podle L. Košče                  Ladislav Košč (1978) uvedl klasifikaci dyskalkulie podle základních problémů, které se u dětí                vyskytují  v souvislosti  s vývojem  a budováním  matematických  pojmů  a vztahů,  se  čtením                 a psaním matematických výrazů; a dělí ji následovně.                 Dyskalkulie praktognostická:                       porucha manipulace s konkrétními předměty nebo symboly;                      porucha při tvoření skupin předmětů;                       nepochopení pojmu přirozené číslo neschopnost porovnat počet prvků;                       neschopnost diferenciace geometrických útvarů;                      porucha prostorové představivosti.                 Dyskalkulie verbální:                       problémy se slovním označováním počtu předmětů, operačních znaků;                       neschopnost vyjmenovat řadu čísel v určitém uspořádání;                       nepochopení vysloveného čísla;                      nepochopení slovního vyjádření matematických symbolů a znaků.                 Dyskalkulie lexická:                       neschopnost  číst  matematické  symboly  (číslice,  čísla,  znaky  pro  porovnávání  čísel,                        znaky operací s čísly);                      záměna tvarově podobných číslic;                       porucha orientace v prostoru;                      porucha pravolevé orientace.                                                               36","Dyskalkulie grafická:                       neschopnost psát matematické znaky (číslice, čísla a další);                       porucha při zápisu víceciferných čísel;                      neschopnost psát čísla podle diktátu;                       neschopnost zápisu čísel pod sebou (číslic téhož řádu);                      problémy při rýsování obrazců;                       porucha pravolevé a prostorové orientace.                 Dyskalkulie operační:                       narušená schopnost provádět matematické operace s přirozenými čísly (ale i s dalšími                        čísly);                      záměna jednotlivých operací;                       poruchy při osvojování si pamětných spojů;                      neschopnost respektovat prioritu při provádění více operací různé parity;                       problémy při písemných algoritmech jednotlivých operací.                 Dyskalkulie ideognostická:                       porucha v oblasti pojmové činnosti;                       porucha chápání matematických pojmů a vztahů mezi nimi;                      porucha při zobecňování;                       problémy při řešení slovních úloh.                    Klasifikace podle J. Nováka                  Narušení  matematických  schopností  má  mnoho  nejrůznějších  příčin  a projevů  a klasifikaci                v obecnějším náhledu uvádí J. Novák (2004):                 Kalkulastenie.  Mírné  narušení  matematických  vědomostí  a dovedností  způsobené  např.                    nedostatečnou  stimulací  ve  škole  nebo  v rodině,  přitom  rozumové  i matematické                   schopnosti jsou v pásmu průměru.                    Podrobněji Novák klasifikuje kalkulastenie na kalkulastenie emocionální (nevhodné reakce                    okolí  na  problémy  v matematice),  kalkulastenie  sociální  (vliv  sociálního  prostředí,                   nedostatečná příprava do školy) a kalkulastenie didaktogenní (nevhodné výukové styly).                 Hypokalkulie.  Porucha  základních  početních  dovedností,  jejíž  příčinou  může  být                    nerovnoměrná  skladba  matematických  schopností,  při  celkové  úrovni  rozumových                   schopností v pásmu průměru i nadprůměru.                                                             37","Oligokalkulie. Vyznačuje se narušenou strukturou matematických schopností a nízkou úrovní                   všeobecných rozumových schopností.                 Akalkulie.  Porucha  matematických  dovedností,  která  vznikla  na  základě  situací  pro  dítě                    nepříznivých, např. na základě prožitého traumatu. Přitom platí, že před danou nepříznivou                   situací  byly  dovednosti  dětí  přiměřeně  rozvinuté.  Většinou  se  po  odeznění  problémů                    matematické dovednosti znovu rozvinou.                 Vývojová dyskalkulie. Zde Novák v podstatě používá klasifikaci dyskalkulie podle L. Košče.                    Klasifikace podle matematického obsahu                  Tato  klasifikace  je  zaměřena  na  oblasti  učiva,  ve  kterých  se  projevují  problémy  dětí.                Pochopení  a zvládnutí  jedné  oblasti  je  nezbytným  předpokladem  k pochopení  a zvládnutí                 oblasti další. Jde zejména o tyto oblasti:                 Vytváření pojmu číslo – nejprve přirozené číslo, později desetinné číslo, zlomek, racionální                   číslo, obecně reálné číslo.                    Žáci se učí čísla číst a zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat.                  Operace s čísly, nejprve s čísly přirozenými, později s čísly v dalších číselných oborech.                 Slovní úlohy – žáci se učí vyjádřit slovní formulaci v jazyce českém pomocí symbolického                   matematického  jazyka,  tj.  zapsat  příklad,  rovnici,  soustavu  rovnice  apod.  Matematickou                    úlohu vyřeší a provádějí interpretaci výsledku matematické úlohy do reality.                 Geometrická  a prostorová  představivost,  chápání  rozmístění  a vztahů  předmětů  v prostoru                   a jejich  znázornění  v rovině.  Učí  se  počítat  velikosti  geometrických  útvarů  (obvody                    a obsahy rovinných útvarů,  povrchy  a objemy těles. Přitom využívají  příslušné jednotky                   a jejich převody.                 K tomuto  třídění  jsme  dospěli  po  dlouholeté  práci  s žáky,  kdy  se  ukázalo,  že  pokud  žák                 nepochopí podstatu matematického pojmu, neví, jak má postupovat a proč má tak postupovat,                kdy jsou výsledky operací vyvozovány pouze pamětně, bez opory o pochopení, bez zážitků, je                jeho učení neefektivní. Například problémy se čtením (dyskalkulie lexická) se projevují jak                 při čtení matematických číslic, čísel, symbolů a výrazů, tak při pochopení zadávacího textu,                textu slovních a aplikačních úloh apod.                                                                     38","Základní kritéria, podle kterých lze kvalifikovat dyskalkulii                 Základní  kritéria,  podle  kterých  lze  kvalifikovat  specifickou  vývojovou  poruchu                 v matematice, dyskalkulii, lze uvést takto:                       existuje  zřetelný  rozpor  mezi  zjištěnou  inteligencí  dítěte  a jeho  úspěšností                        v matematice;                      úroveň rozumových schopností není v pásmu podprůměru, problémy dítěte nevznikly                       na základě nemoci nebo na základě sociálním nebo emocionálním;                       dítě je obklopeno normálním rodinným zázemím, které poskytuje pozitivní motivaci;                       na  základě  odborného  vyšetření  lze  identifikovat  dysfunkci  centrální  nervové                       soustavy, dysfunkci kognitivních center mozku.                     2.3  Symptomy dyskalkulie u žáků                    Předškolní věk                  Jedním z nejsignifikantnějších symptomů je, že dítě nevnímá počet prvků do pěti a neumí říct,                 kolik jich je. Nechápe množství – neumí utvořit skupinu prvků v daném počtu do pěti, později                do  deseti,  neumí  určit  počet  prvků  dané  skupiny.  Neumí  přiřadit  prvky  ve  skupinách,  ve                 kterých je stejně prvků                       Nedokáže rozhodnout, ve které skupině je více a ve které méně prvků či zda jich není                       stejné množství.                       Nechá se ovlivnit i rozmístěním prvků, např.:                                        o o o o o              o   o   o   o                                         (vlevo je méně, vpravo je více).                       Nedokáže pracovat s pojmy malý, velký, krátký, dlouhý, úzký, široký, menší než aj.                       Nevidí na první pohled počet prvků tři, čtyři, pět.                      Naučí se vyjmenovat řadu čísel (od jedné do šesti, od jedné do deseti) bez pochopení,                       za  vysloveným  pojmem  nevidí  číslo  jako  počet  prvků.  Některá  čísla  vynechává,                        některá opakuje, říká je přeházeně. Řadu vyjmenovává jako básničku bez jakéhokoliv                       porozumění, nedokáže vyjmenovat řadu čísel ve správném uspořádání.                       Nerozlišuje geometrické útvary.                      Nevyhledává hry nebo činnosti s matematickým obsahem, přímo se jim vyhýbá.                                                               39","První stupeň základní školy                         Nemá  vytvořenou  představu  přirozeného  čísla.  Nedokáže  utvořit  skupinu  o daném                       počtu prvků, neumí určit počet prvků dané skupiny.                      Má  problémy  se  zápisem  číslic,  zapamatováním  si  jejich  tvaru.  Zaměňuje  číslice                        tvarově  podobné  (např.  6,  9),  má  problémy  se  zápisem  číslic  jednostranně                       orientovaných (např. 1, 3, 7 atd.).                       Nechápe operace sčítání a odčítání přirozených čísel, neumí pracovat se symboly plus                       (a) „+“ a mínus (bez) „−“.                       Místo odčítání čísla neustále sčítá.                      Nechápe  operace  násobení  a dělení  přirozených  čísel,  spoje  se  učí  zpaměti,  bez                        porozumění a ihned je zapomene.                      Má  problémy  se  zápisem  čísel,  nechápe  podstatu  desítkové  soustavy  a význam                       jednotlivých řádů v zápisu čísla.                       Problémy s porovnáváním čísel, používáním znaků pro zápis nerovnosti.                       Má problémy s písemnými operacemi.                      Nedokáže poznatky aplikovat v jiných situacích.                    Druhý stupeň základní školy                        Problémy, které má žák v oboru čísel přirozených, se přenášejí do dalších oborů (čísla                       desetinná,  zlomky,  mocniny,  odmocniny)  i do  dalšího  učiva  (úpravy  algebraických                        výrazů, rovnice apod.).                       Nedokáže  řešit  slovní  a aplikační  úlohy,  nedokáže  transformovat  text  úlohy  do                       matematického jazyka.                      Má problémy s řešením geometrických úloh (konstrukčních i početních), má problémy                        s rýsováním, s orientací v obrázku.                      Nedokáže zobecňovat, chápat závislosti, funkční vztahy, obecná vyjádření.                    Střední škola                        Problémy,  které  se  u žáka  vyskytovaly  v oblasti  čísel  přirozených,  se  přenášejí  do                        dalšího  učiva  při  práci  s koeficienty  v algebraických  výrazech,  používání  závorek,                       v rovnicích a jejich soustavách.                       Problémy se zápisy čísel v různých úrovních – exponenty, indexy, odmocniny.                                                              40","  Neschopnost využít znalosti v nových situacích.                       Problémy  v oblasti  abstrakce,  zobecňování,  rozvoje  finanční  gramotnosti,                       kombinačního myšlení aj.                      Izolované poznatky nedokáže zařadit do systému.                  Chinn  (2012)  uvádí  31  charakteristik,  které  vedou  k neúspěchům  žáků  v matematice.  Jeho                závěry jsou plně v souladu s našimi zkušenostmi se žáky s problémy v matematice. Týkají se                pochopení  pojmu  přirozené  číslo,  vytvoření  představ  o čísle,  zápisu  čísla,  problémů  při                 pochopení a provádění operací s přirozenými čísly, chápání zlomků, procent, algebraického                učiva aj.                     2.4  Typologie žáků vzhledem ke speciálním vzdělávacím                         potřebám souvisejícím s matematickým vzděláváním                   Rámcový  vzdělávací  program  pro  základní  vzdělávání  (2007)  v části  D  uvádí,  které  žáky                řadíme do skupiny „žáků se speciálními vzdělávacími potřebami“:                       Žáci  se  zdravotním  postižením  a zdravotním  znevýhodněním  (tělesným,  zrakovým,                        sluchovým, mentálním, autismem, vadami řeči, souběžným postižením více vadami,                       vývojovými poruchami učení nebo chování).                       Žáci se sociálním znevýhodněním.                      Žáci mimořádně nadaní.                 V současnosti se mezi žáky identifikují také nadaní žáci se souběžnou specifickou poruchou                 učení.  Portešová  a kol.  (2014)  je  uvádí  jako  žáky  dvojí  výjimečnosti.  Těmto  žákům  je                potřebné  zajistit  takové  vzdělávání,  při  kterém  jejich  handicapy  nezastíní  a neomezí  jejich                 nadání.                 Ve  školní  praxi  se  při  výuce  matematiky  setkáváme  s několika  typy  žáků,  uveďme  čtyři                nejčastější skupiny:                        Žáci,  kteří  mají  rozumové  schopnosti  na  průměrné  až  nadprůměrné  úrovni  a jejich                       problémy  v matematice  lze  odstranit  např.  motivací  k učení,  změnou  stylu  výuky,                       zlepšením přípravy na výuku, vhodným doučováním.                       Žáci,  u kterých  jsou  diagnostikovány  specifické  poruchy  učení,  úroveň  jejich                       rozumových  schopností  je  průměrná  až  nadprůměrná,  avšak  mají  narušeny  činnosti                        těch  částí  mozku,  které  mají  vliv  na  utváření  matematických  znalostí  a dovedností.                                                               41","Těmto žákům zpravidla nepomáhá běžné doučování, ale jsou schopni (vzhledem ke                       své inteligenci) si vypracovat náhradní mechanismy.                       Žáci, kteří mají nízké nadání pro matematiku nebo nízké nadání všeobecně.                      Žáci, kteří mají předpoklady k učení, ale odmítají jakoukoliv práci a námahu.                 Malý úspěch žáků v matematice může mít různé další příčiny, které souvisejí např. se stylem                 výuky,  volními  vlastnostmi  žáků,  jejich  psychickým  stavem,  vztahem  k práci  a vyučování,                vztahem k matematice apod. Na základě naší zkušenosti z konkrétní práce se žáky, kteří mají                rozumové  předpoklady  v pásmu  průměru  nebo  dokonce  nadprůměru  a  u kterých  se                vyskytovaly problémy v matematice, usuzujeme, že v přístupu k žákovi není rozhodující, zda                 je  či  není  dyskalkulie  diagnostikována  –  důležité  je  pochopit  individualitu  žáka  (jeho                specifické problémy v matematice) a hledat adekvátní reedukační postupy vhodné právě pro                 tohoto žáka.                K tomu,  abychom  mohli  účinně  žákům  pomáhat  v matematice,  je  třeba  hledat  příčiny                 neúspěchů a rozlišovat je alespoň podle tohoto schématu:                     1.  Příčiny, které jsou podmíněny vlivy tzv. částečně odstranitelnými, jako je např. styl                       učení, způsob výuky, vhodnost přípravy na výuku, motivace k učení apod.                     2.  Příčiny,  které  jsou  odstranitelné  obtížněji,  jako  jsou  dědičné  vlivy  nebo  narušení                       činností těch částí mozku, které mají vliv na utváření matematických schopností.                    3.  Příčiny, které jsou způsobeny nízkým nadáním pro matematiku nebo nízkým nadáním                        všeobecně.                 Při  práci  se  žáky  s problémy  v matematice  sledujeme,  zda  je  možné  jejich  nedostatky                odstraňovat  běžným  doučováním,  nebo  zda  je  třeba  hledat  jiné  postupy,  které  žáky  osloví                a kterým žáci porozumí. Mnoho žáků je schopno vypracovat si své vlastní postupy a je třeba,                 pokud jsou matematicky správné, aby jim byly ponechány.                    2.5  Analýza příčin problémů žáků, deficity dílčích funkcí                         matematických schopností                   Pavlíčková (2018, s. 11–16) poukázala na úzkou souvislost mezi nedostatečně rozvinutými                dílčími  funkcemi  matematických  schopností  dětí  a jejich  úspěšností  v matematice.  Ve                výzkumné  studii  analyzovala  případové  studie  15  respondentů  a prokázala,  jaké  problémy                 přinášejí dětem deficity dílčích funkcí matematických schopností a jak ovlivňují matematické                vědomosti  těchto  dětí.  Pokud  se  současně  s výukou  neodstraňují  deficity  dílčích  funkcí                matematických schopností, je obtížné učit děti matematice.                                                               42","Obr. 1: Deficity dílčích funkcí matematických schopností                   Tab. 2: Dílčí funkce matematických schopností                                                          orientace v prostoru                                                         pravolevá orientace                                                         zraková diferenciace                                    percepce vizuální                                                         zraková analýza                                                         zraková syntéza                Funkce percepční                         zraková paměť                                                         sluchová diferenciace                                                         sluchová analýza                                    percepce auditivní   sluchová syntéza                                                         sluchová paměť                                                         vnímání a reprodukce rytmu                                                         pozornost                                                         paměť                                                         myšlení                Funkce kognitivní                                                         řeč                                                         předčíselné představy                                                         číselné představy                                                         jemná motorika                                                         hrubá motorika                Funkce motorické                         senzomotorická koordinace                                                         vizuomotorická koordinace                                                         grafomotorika                                                              43","Níže  uvádíme,  jak  se  mohou  jednotlivé  deficity  dílčích  funkcí  matematických  schopností                projevovat v matematice:                                                       Funkce percepční                    Porucha orientace v prostoru a v rovině se projevuje obtížemi v orientaci:                        na stránce učebnice nebo pracovního sešitu;                       v zápisu čísla;                      v písemných algoritmech základních operací, zejména písemného dělení;                       v soustavě souřadnic;                      v čase;                       v odhadování vzdáleností, hmotností;                      v chápání znázornění prostorové situace v rovině (na obrázku) aj.                    Porucha pravolevé orientace se projevuje:                        obtížemi při zápisu jednostranně orientovaných písmen a číslic (1, 3, 6, 7, 9);                       záměnou znaků – cifer, např. 4, 7, v psané podobě;                       záměnou  cifer  v zápisu  čísla,  např.  nerozlišování  zápisu  čísel  63  a 36  nebo  637                       a 673 aj.;                      obtížemi při orientaci v osově souměrných obrázcích aj.                    Porucha zrakové diferenciace přináší problémy v rozlišování:                        figury a pozadí;                       tvarů, barev;                       shod a rozdílů;                      reverzních znaků;                      jednotlivých  matematických  znaků  (číslic,  např.  6,  9,  znaků  pro  porovnávání  čísel,                        operačních znaků, symbolů, mocnin, indexů, geometrických útvarů apod.).                                                                      44","Porucha zrakové analýzy a syntéza se projevuje problémy:                         při  analyzování  matematického  textu  ve  formě  zápisu  slovním  nebo  zápisu                       symbolickém pomocí znaků (číslice, čísla, písmena);                      čtení symbolických matematických zápisů a jejich interpretace v českém jazyce.                    Porucha zrakové paměti přináší obtíže:                        v zapamatování si jednotlivých znaků, zejména písmen a číslic;                       v zapamatování si textu – zadání úlohy, použitých čísel apod.;                      v zapamatování si čísla při diktátu, přepisu;                       při reprodukci čteného textu s pochopením.                    Porucha sluchového rozlišování projevuje potížemi:                        v rozlišování pojmů – např. dělení, dělenec, dělitel – žákovi tyto pojmy splývají;                      v rozlišování čísel – žák slyší vyslovené číslo, ale vnímá jiné, např. „třicet dva“ jako                        23;                      v zápisu slyšeného slova, čísla, matematického termínu.                    Porucha sluchové analýzy a syntézy se projevuje neschopností:                        zapsat slyšené slovo;                       správně zapsat číslo, např. číslo dva tisíce dvacet zapíše 200020;                      rozložit číslo podle řádů.                    Porucha sluchové paměti se projevuje:                        v neschopnosti zopakovat slyšené číslo, příklad aj.;                       poruchou vnímání časového sledu.                                                                         45","Poruch vnímání a reprodukce rytmu přináší tyto problémy:                         neschopnost reprodukovat jednoduchý rytmický celek;                      problémy s vyjmenování číselné řady vzestupně i sestupně;                      problémy s představou číselné řady, přechody mezi desítkami, stovkami atd.;                       problémy s chápáním závislostí a zákonitostí.                                                      Funkce kognitivní                     Pozornost                  Neúspěšnost žáků v matematice může být způsobena sníženou pozorností a malou schopností                koncentrace  na  řešení  dané  úlohy  či  problému.  Úspěšné  zvládání  matematického  učiva  je                 závislé  na  pozornosti  a schopnosti  koncentrace  žáka.  Při  provádění  výpočtů  se  žák  musí                zpravidla koncentrovat na jednu jedinou věc; pokud má kolem sebe rušivé podněty, není toho                 schopen. Žák se po krátké době unaví, odbíhá od problému, trvá mu dlouho, než je schopen                na  nedokončenou  práci  navázat.  Často  trpí  nedostatkem  času.  Není  dostatečně  pohotový,                rychlý, častou je neúspěšný v soutěžích zaměřených na rychlost.                    Paměť                  Proces  zapamatování  si  je  podmíněn  psychologickými  zákonitostmi.  Žák  zpracuje                 s pochopením  informace,  uloží  získané  informace  v mozku  a je  schopen  si  je  v případě                potřeby  vybavit  a použít  je  v nové  situaci.  V získávaných  informacích  si  postupně  buduje                systém.                  Problémy  se  objevují  při  pamětných  i písemných  výpočtech,  a to  při  používání  paměti                krátkodobé, dlouhodobé i pracovní. Učivo, které se naučí, zapomene a učí se neustále totéž                znovu. Vzhledem k tomu, že v matematice na sebe jednotlivé poznatky navazují a je třeba si                 je  zapamatovat,  je  nutné  změnit  přístupy  k získávání  poznatků.  Pamětné  učení  bez                porozumění  nemá  smysl,  je  proto  potřeba  hledat  metody  práce,  při  kterých  žák  dospěje                 k poznatkům na základě vlastní činnosti a s pochopením.                                                                       46","Myšlení                  Problémy  se  projevují  zejména  v úlohách,  kdy  je  třeba  převést  zápis  v jazyce  českém  do                 jazyka matematiky (z textu zapsat příklad, rovnici apod.), v úlohách náročnějších na logickou                úvahu a v procesu abstrakce a zobecňování, kdy se od konkrétních případů přechází k obecně                 platným závěrům. Důležité je všímat si, zda se žák zaměřuje na detaily, nebo je schopen vidět                systém, zda používá metody induktivní, nebo deduktivní.                    Řeč                  V souvislosti s řečí se objevují jednak logopedické problémy (koncentrace žáka na výslovnost                určité hlásky jej odvádí od řešení matematického problému), jednak problémy ve schopnosti                 vyjadřovat  se  v jazyce  matematiky  Formulace  myšlenky  vlastními  slovy  vyžaduje  určitou                přesnost myšlení.                 Žáci  mají  problémy  s vybavováním  si  matematických  pojmů,  nemají  představy  o pojmech,                 o kterých hovoří.                    Předčíselné představy                        Problémy s vnímáním množství a schopností vyjádřit počet.                      Problémy s přiřazováním, s chápáním vztahů „více“, „méně“, „stejně“.                       Problémy s chápáním číselné řady.                   Číselné představy                         Neschopnost určit počet prvků dané skupiny, vytvořit skupinu o daném počtu prvků.                      Problémy s porovnáváním čísel (rovnost, nerovnost).                       Problémy  s chápáním  a prováděním  operací  s přirozenými  čísly  (pamětnými                       i písemnými).                                                       Funkce motorické                    Jemná motorika                        Problémy při manipulaci s předměty, při psaní, rýsování aj.                                                             47","Hrubá motorika                         Nekoordinované  pohyby,  žáci  jsou  neobratní,  nedokážou  si  zorganizovat  pracovní                       místo, pomůcky aj.                    Senzomotorická koordinace                        Problémy při souhře smyslového vnímání a pohybu.                    Vizuomotorická koordinace                        Špatná koordinace ruky a oka při psaní a náčrtech.                    Grafomotorika                        Problémy se zápisem číslic a čísel.                      Problémy při zápisu čísel do schémat a algoritmů písemných operací.                       Problémy při kreslení, náčrtech, rýsování.                     2.6  Další příčiny problémů v matematice                  Na  úspěchy  žáků  v matematice  mohou  mít  vliv  další  faktory,  které  souvisejí  se  samotným                 žákem a jeho vlastnostmi a také s dospělými osobami, které jsou v jeho blízkosti.                   Osobnost žáka                   Výše uvedené deficity dílčích funkcí matematických schopností jsou jedním z nejvážnějších                problémů, neboť pokud u žáka nejsou tyto funkce rozvíjeny, není dost dobře možné budovat                 matematické  pojmy.  Současně  s výukou  matematiky  je  třeba  pracovat  i na  rozvoji  těchto                funkcí. Vliv mají také další specifické poruchy učení, které jsou u žáka diagnostikovány, jak                bylo uvedeno výše.                  Žáci se nerozvíjejí stejně rychle, vývoj některých myšlenkových operací mohou mít někteří                žáci  opožděný,  avšak  přitom  nemusí  mít  poruchu  učení  ani  snížený  intelekt.  Může  jít                                                                 48","o určitou nedozrálost právě pro dané učivo, které v daném okamžiku žák nechápe. Po určité                době (např. půl roku) však žák chápe toto učivo bez problémů.                 Dalšími příčinami neúspěchů v matematice mohou být osobnostní vlastnosti žáka, jeho volní                 vlastnosti,  nezájem,  nepozornost,  neschopnost  koncentrace,  neschopnost  přimět  se                k systematické  práci,  ztráta  naděje  na  úspěch,  nízké  sebevědomí,  postavení  se  do  role                 outsidera  aj.  Velmi  podstatné  jsou  tzv. psychické  bariéry  (např.  syndrom  „bílého  papíru“,                obavy  z některých  částí  učiva),  které  by  měly  být  pro  dospělé  varovným  signálem  před                vážnějšími problémy.                  Neustálý  neúspěch  v matematice  přispívá  ke  ztrátě  zájmu  o matematiku  a také  k dalším                psychickým problémům.                    Osobnost učitele                  Učitel  matematiky  je  zpravidla  nejdůležitější  osobností,  která  má  vliv  na  vztah  žáků                k matematice  a na oblibu  tohoto  předmětu.  Jeho  odborné  znalosti  v oblasti  matematiky,                 psychologie,  pedagogiky  a speciální  pedagogiky  jsou  předpokladem  úspěšné  práce  se  žáky                s problémy v matematice. Nelze opomenout ani schopnost motivovat žáky, vysvětlit učivo na                 úrovni  žákům  srozumitelné,  využívat  rozmanitých  metod  a forem  práce,  objektivně  žáky                hodnotit, mít pochopení pro jejich problémy atd. Velkou roli hrají jeho osobnostní vlastnosti                a schopnost žáka s problémy v matematice pochopit a přijmout.                    Příčiny problémů v matematice související s rodiči                  Postoj rodičů k problémům jejich dětí v matematice je různý. Někteří jsou ambiciózní a děti                 neustále  doučují,  někdy  mají  nepřiměřené  nároky.  Jiní  rezignují,  další  nabízejí  různé                mnemotechnické  pomůcky,  které  však  v dalším  učivu  uplatnitelné  nejsou.  Někteří  rodiče                 nejsou schopni smířit se s tím, že mají dítě s problémy, které buď nechápou, nebo zaujímají                trpitelské stanovisko. Dítě pak strádá, protože cítí, že nenaplňuje představy rodičů. Jen malá                skupina rodičů je schopna chápat problémy dětí s jistou dávkou odbornosti a s pochopením                 přistupují k výuce tak, aby dětem pomohli zvládat učivo matematiky na úrovni, které jsou děti                schopny. Někdy má vliv i socioekonomické zázemí žáka.                                                                        49","Příčiny problémů související s matematikou                  Matematika  má  ve  školním  vyučování  specifické  postavení  oproti  ostatním  předmětům.                 Matematika pracuje s abstraktními pojmy a vždy při budování každého pojmu musí u žáků                k abstrakci  dojít  (již  při  vytváření  pojmu  přirozené  číslo,  dále  u racionálních  čísel,                 geometrických  pojmů  atd.).  Matematika  je  pro  žáky  dalším  zvláštním  jazykem.  Má  svá                „slovíčka“ (čísla, symboly, pojmy), má svou „gramatiku“ (pravidla, věty, poučky). Zvládnutí                prvků  vyšší  úrovně  předpokládá  zvládnutí  prvků  nižší  úrovně,  žáci  využívají  zvládnutého                 učiva v nových, vyšších úrovních  a v nových situacích.  Žáci  by měli  mít  jasnou představu                o pojmech, které se učí, a snažit se přijít věcem „na kloub“. Bezmyšlenkové učení zpaměti                 bez  porozumění  nevede  k cíli.  Každý  předmět,  který  vyžaduje  porozumění,  je  náročný.                Matematika vyžaduje chápání souvislostí a postupné budování systému.                     2.7  Sekvenční přístup, multisenzoriální přístup,                         konstruktivistický přístup, posilování paměti,                        komunikace, budování sebedůvěry a samostatnosti                   Vzdělávání  žáků  se  specifickými  poruchami  učení  v matematice  vyžaduje  analýzu  zdroje                 problému, tj. zjištění, ve které části učiva žák přestal chápat matematickou podstatu problému.                Od tohoto místa je pak třeba začít provádět nápravu, ale po velmi malých krocích a s využití                 specifických  přístupů  ke  každému  žákovi.  Mezi  nabízenými  postupy  pro  práci  žáků                s problémy  v matematice  se  jako  nejefektivnější  jeví  sekvenční  přístup  a multisenzoriální                přístup. Další metody jsou závislé na individuálních schopnostech a potřebách žáka.                    Sekvenční přístup                  Pod pojmem sekvenční přístup rozumíme zpracování učiva matematiky v určeném pořadí, tj.                postup  po  malých  krocích  od  učiva  jednoduššího  k učivu náročnějšímu.  V matematice  je                 sekvenční  přístup  velmi  žádoucí,  neboť  zvládnutí  jednoduššího  učiva  je  předpokladem  ke                zvládnutí  učiva  náročnějšího.  Bez  zvládnutí  prvků  nižší  úrovně  nelze  budovat  prvky  vyšší                 úrovně.  Přitom  učivo  se  postupně  automatizuje,  žák  jej  může  zvládat  bez  dlouhého                přemýšlení  a využívat  ve  složitějších  úlohách.  Také  je  potřeba  respektovat  vlastní  postupy                žáka,  které  si  sám  vytvoří,  avšak  které  jsou  matematicky  správné  a je  možné  je  využít                obecněji.                                                               50","V matematice  nejsou  poznatky  budovány  izolovaně,  jedny  navazují  na  druhé,  vytvářejí                logickou strukturu.                    Ilustrace na příkladu pamětného sčítání dvojciferných čísel                  Úkol: Žák má sečíst 47 + 28.                 Postupné kroky:                     1.  Zvládnutí sčítání v oboru do dvaceti:                           sčítání v oboru do pěti, úlohy typu 1 + 4;                          sčítání v oboru do deseti, úlohy typu 3 + 5, 2 + 8;                           sčítání v oboru do dvaceti, přičítání k číslu 10, úlohy typu 10 + 6;                          rozklad čísla na desítku a jednotky;                           sčítání bez přechodu přes základ 10, úlohy typu 13 + 5;                          rozklad čísla na dvě části, rozklad k doplnění do deseti;                           sčítání s přechodem přes základ 10, úlohy typu 7 + 8.                     2.  Zvládnutí sčítání v oboru do sta:                           sčítání desítek, úlohy typu 20 + 50;                          sčítání čísel dvojciferných a jednociferných, úlohy typu 20 + 7, 23 + 5, 23 + 7,                            25 + 7;                          sčítání čísel dvojciferných, úlohy typu 20 + 50, 23 + 50, 23 + 54, 23 + 57, 27 +                           56.                  Při  sekvenčním  přístupu  je  nutné  také  sledovat  vlastní  strategie  žáka  –  zda  je  schopen                používat  rozklady,  které  nabízí  učitel  (např.  na  desítky  a jednotky),  nebo  zda  si  vypracuje                vlastní postupy, např. 27 + 56 může žák počítat tak, že 56 rozloží na 3 a 53 a počítá:                      o  27 + 3 = 30, 30 + 53 = 83.                    o  Nebo 27 rozloží na 4 a 23 a počítá: 56 + 4 = 60, 60 + 23 = 83.                 V tomto případě série úloh přizpůsobíme potřebám žáka. Takových vlastních strategií může                 být více.                 Sekvenční  přístup  lze  uplatnit  v kterémkoliv  matematickém  učivu.  Vytvářejí  se  tzv. jemné                metodické řady úloh, kdy v každé další úloze je pouze jeden nový jev.                                                                      51","Multisenzoriální přístup                  Tento  přístup  spočívá  ve  využití  tolika  smyslů,  kolik  je  jen  možno.  Zapojuje  zrak,  sluch,                 hmat, řeč, motoriku. Již J. A. Komenský zdůrazňoval nutnost využívání co nejvíce smyslů při                získávání poznatků.                 Mulitisenzioriální  přístup  umožňuje  využít  toho  smyslu,  který  žáka  nejvíce  oslovuje  (typ                vizuální, akustický, motorický atd.).                        Zrak                 Pro žáky  s poruchami učení  je důležitý obrázek, barva, systematické uspořádání  na papíře,                tabuli nebo obrazovce počítače. Grafické znázornění příkladů, slovních úloh, geometrických                úloh  velmi  napomáhá k nalezení  řešení.  Pro některé žáky  s poruchami učení  je vizualizace                 nezbytná. Nedokážou například při slovně diktovaných příkladech zadání příkladu zachytit,                příklad vypočítat a zapsat výsledek. Jsou tak znevýhodněni při diktovaných pětiminutovkách.                Pokud mají zadání stejných příkladů napsané na papíře, bývají úspěšnější.                        Sluch                 Správně zachytit mluvené slovo (např. vyslovené číslo), pochopit jeho význam a s právně je                zapsat je pro žáky s poruchami učení problém. V matematice je dále potřebné chápání rytmu                (číselná řada, závislosti), rozlišování významu pojmů apod.                        Motorika                 Pohyb,  krokování,  pohyb  po  číselné  ose  či  skákání  na  schodech  jsou  pro  některé  žáky                prostředkem,  jak  s využitím  vlastního  těla  zvládnout  některé  matematické  dovednosti.                Důležité je využívání manipulativních činností, činností s konkrétními předměty, překládání                 papíru aj. V matematice jsou tyto činnosti uplatňovány od nejranějšího věku. Podrobněji jsou                manipulativní  činnosti  popsány  například  v publikaci  Fuchse  a kol.  (2015).  Při  výběru                činností volíme takové, které žáka osloví nejvíce, nebo takové, které rozvíjí ty oblasti, které                 žák potřebuje. V matematice je třeba postupně přecházet od konkrétních činností k symbolům                a od  nich  pak  k abstrakci.  U  žáků  se  specifickými  poruchami  učení  bývá  přechod  od                manipulativních  činností  j  abstrakci  velmi  složitý  a dlouhodobý  proces,  který  trvá,  dokud                 u žáka nenastane tzv. AHA efekt.                   Konstruktivistický přístup                   Zásady  didaktického  konstruktivismu  jsou  známy  např.  z prací  J.  Piageta,  J.  Deweyho                a dalších myslitelů dvacátého století. Podle Pedagogického slovníku (Průcha, Walterová, \&                Mareš, 1998) je „konstruktivismus je založen na předpokladu, že poznávání se děje tak, že si                                                             52","poznávající  subjekt  spojuje  fragmenty  informací  z vnějšího  prostředí  do  smysluplných                struktur  a provádí  s nimi  mentální  operace  podmíněné  jeho  odpovídající  úrovni  jeho                 kognitivního  vývoje“.  Úkolem  je  motivovat  žáky  k aktivitě,  k přemýšlení  prostřednictvím                vhodných otázek, práce s předměty, řešení problémů, hlavolamů apod. Pro žáky s poruchami                učení  nejsou  příliš  vhodné  přístupy  transmisivní  a instruktivistické,  neboť  poznatky  pouze                 sdělené  jinou  osobou  nepřispívají  k rozvoji  jejich  myšlení  a tvořivosti.  Pro  matematické                vyučování formulovali Hejný a Kuřina (2009) desatero konstruktivismu.                        I.    Aktivita                                VI.    Interakce                        II.   Řešení úloh                             VII.  Reprezentace a strukturování                       III.   Konstrukce poznatků                    VIII.  Komunikace                        IV.   Zkušenosti                              IX.    Vzdělávací proces                       V.    Podnětné prostředí                      X.     Formální poznání                  I  když  jsou  konstruktivistické  přístupy  náročnější  a žákům  trvá  delší  dobu,  než  si  na  ně                zvyknou,  pro  žáky  s poruchami  učení  přinášejí  rozmanitost  činností, zbavení  se  stereotypu                 a radost z poznání, když mohou něco objevit.                    Posilování paměti                  Žáci  s poruchami  učení  mají  zpravidla  problémy  s pamětí,  velmi  často  zapomínají  již                zvládnutou učební látku, a dostávají se tak neustále do časové tísně, protože se učí totéž stále                dokola.  Dané  učivo  zpravidla  nechápou  a učí  se  jen  zpaměti  bez  porozumění.  Metody  pro                 posilování paměti jsou individuální a je třeba je neustále využívat. Vždy je třeba postupovat                po malých krocích, ale důsledně.                 Pro  zvládání  náročnějších  témat  matematiky  (např.  algebra)  je  nutné,  aby  měli  žáci  určité                 základní dovednosti v paměti (např. základní spoje sčítání, odčítání, násobení, dělení), aby ho                nemuseli neustále vyhledávat v různých tabulkách či s pomocí kalkulátoru.                 Ilustrujme význam paměti na ukázce písemného násobení. Jestliže má žák např. násobit čísla                                                       398                                                     ·   6                                                           ,                 musí si z dlouhodobé paměti vybavit spoj 6 · 8 = 48. Zapíše do součinu 8, číslo 4 ukládá do                krátkodobé  paměti  a  z dlouhodobé  paměti  si  vybaví  spoj  6  ·  9  =  54,  z krátkodobé  paměti                 vybírá  4,  přičte  je  (54  +  4  =  58),  8  zapíše  do  součinu  a do  krátkodobé  paměti  ukládá  5.                Z dlouhodobé  paměti  vybírá  6  ·  3  =  18,  přičítá  5  (18  +  5  =  23)  a do  součinu  zapíše  23.                                                              53","Výsledek celého procesu je 398 · 6 = 2388. Pokud žák neovládá násobilku a neustále hledá                spoje  v tabulce  součinů  nebo  na  kalkulátoru,  má  problémy  s přičítáním  čísel  z krátkodobé                 paměti, nedokáže se plně koncentrovat na výpočet a velmi často chybuje.                    Komunikace                  Při  vytváření  matematických  pojmů  i při  samotné  výuce  matematiky  se  jako  jeden  ze                zásadních problémů jeví problém dorozumění se jak v rámci běžné komunikace, tak v oblasti                matematiky a porozumění učivu v celé šíři matematického vyjadřování. V praxi se ukazuje, že                 devadesát procent problémů žáků v matematice je způsobeno problémy  v komunikaci mezi                žákem  a okolním  světem.  Přitom  předpoklady  pro  komunikaci  mohou  být  vrozené  nebo                 získané,  avšak  u žáků  s poruchami  učení  bývají  zpravidla  specifické.  Úkolem  je  odhalit                komunikační specifika každého žáka a pro výuku matematiky je maximálně využít. Při výuce                matematiky jde o tyto základní typy komunikace:                        Komunikace v oblasti čtení matematického textu.                      Komunikace verbální.                       Komunikace verbálně symbolická.                      Komunikace grafická.                       Komunikace graficky symbolická.                      Komunikace obrazově symbolická.                       Komunikace obrazově názorná.                 Předpokladem  pro  to,  aby  se  žák  mohl  v matematice  správně  vyjadřovat,  je  porozumění                matematickým  pojmům,  termínům  a vztahům.  To  však  vyžaduje  vytvoření  jasné  představy                 o každém pojmu v duchu jeho správné definice, i když se po žácích definice nevyžadují. Při                verbálním  vyjádření  by  bylo  třeba,  aby  se  učitel  i žák  zaměřili  na  podstatné  jevy,  na                 skutečnosti, které jsou pro daný pojem nebo dané učivo podstatné, omezili vlastnosti méně                podstatné  a charakterizovali  daný  pojem  naprosto  výstižně.  Vyjádřit  myšlenku  svými                vlastními  slovy  a přitom  zachovat  význam  pojmu  je  velkým  uměním.  Důležitá  je  volba                 otázek, slovní zásoba, schopnost vyjadřovat se graficky.                    Budování sebedůvěry a samostatnosti                  Velmi  častým  problémem  je  u žáků  s poruchami  učení  jejich  nejistota.  Neustále  potřebují                někoho, kdo je ujišťuje o správném postupu při výpočtech a řešení úloh. Nemají důvěru sami                 v sebe, projevuje se u nich strach, úzkost, mají velmi nízké sebehodnocení, často se staví do                                                             54","role outsidera. Žijí v neustálém stresu, mají strach udělat chybu, psychické bloky jim brání                udělat cokoliv.                 Péče  o žáky  je  realizována  jak  v oblasti  speciální  pedagogiky,  tak  v oblasti  matematiky.                 Zaměřuje se na rozvoj celé osobnosti žáka, rozvoj dílčích funkcí matematických schopností,                osobnostních schopností i na zvládání matematického učiva. Využívají se metody reedukační                 nebo  kompenzační.  Reedukace  spočívá  v rozvíjení  nevyvinutých  funkcí  nebo  napravování                funkcí poškozených či mobilizaci určitých analyzátorů. Kompenzací se rozumí vypracování                náhradních  mechanismů  místo  mechanismů  narušených.  Žáci  s dyskalkulií  jsou  schopni,                 vzhledem  ke své  inteligenci,  vypracovat  si  vlastní  náhradní  mechanismy.  Ty  by  měly  být                ponechány a neměly by jim být vnucovat mechanismy jiných dospělých (rodičů, učitelů).                 Obecné reedukační postupy se dají uvést v tzv. „desateru“, avšak je nutné mít na zřeteli, že                 každý  žák  je  výrazná  individualita  a potřebuje  svůj  vlastní  postup.  To,  co  se  osvědčí                u jednoho žáka, nemusí být přínosné u žáka jiného.                     1.  Stanovení  diagnózy.  Formulování  hlavních  problémů  dítěte  v matematice,  ve které                        části  učiva  má  dítě  problémy,  jaké  jsou  jejich  příčiny,  jaký  má  dítě  vztah                       k matematice.  Je  třeba  provést  diagnostiku  v pedagogicko-psychologické  poradně                        a pedagogickou diagnostiku učitelem matematiky.                     2.  Respektování  logické  výstavby  matematiky  a její  specifičnosti.  V matematice  je                       pochopení a zvládnutí každého prvku nižší úrovně nezbytným předpokladem zvládnutí                        prvků  vyšší  úrovně.  Reedukační  cvičení  musí  proto  začínat  u toho  učiva,  které  žák                       přestal chápat a zvládat. Postupy musí respektovat matematické zákonitosti a musí být                        použitelné i v dalším učivu.                     3.  Pochopení základních pojmů a operací. Veškeré základní pojmy je třeba generovat                       na  konkrétních  modelech  a všechny  pojmy  i operace  s čísly  je  třeba  vyvozovat  na                        základě vlastní manipulativní a myšlenkové činnosti dítěte. Přitom je třeba využívat                       nejrozmanitějších forem práce a stále nových situací.                     4.  Navození  „AHA  efektu“,  kdy  žáci  sami  objeví  poznatek  „já  už  vím“  a přijmou                        poznatek za svůj. Je nutné mít  neustále na zřeteli,  že poznatky jsou  nepřenosné, že                       přenosné jsou pouze informace.                     5.  Využití  všech  smyslů.  Zapojení  všech  smyslů,  kterých  je  možno  pro  získávání                        matematických  poznatků  –  zraku,  hmatu,  sluchu,  pohybu,  tak  aby  to  bylo  dítěti                       příjemné  a přispělo  to  k postupnému  odbourávání  problémů.  Velký  význam  má                       využití vhodných her.                                                                55","6.  Diskuse se žákem na téma „co vidíš“ – zjištění, zda žák vidí v dané situaci to, co jeho                       učitel.  Každý  žák  má  svoje  komunikační  cesty,  kterými  se  dobírá  poznatků,  a ty  je                        třeba diskusí s ním objevit. Neexistuje matematická slepota a každý se k matematice                       určitou cestou může dostat. Dyskalkulie neopravňuje žáka k nečinnosti a k rezignaci.                     7.  Pamětné  zvládnutí  učiva.  Zvládnutí  určitého  matematického  aparátu  je  nezbytné,                        avšak  matematické  učivo  nemůže  být  opřeno  o pouhou  paměť  bez  porozumění                       a správného vyvození. Je třeba hledat vyváženost mezi vyvozováním a drilem.                     8.  Zvyšování  nároků  na  samostatnost  a aktivitu  žáků.  Tvorba  vlastních  materiálů,                        příkladů a pomůcek samotnými žáky, nebo alespoň podíl na tvorbě – žáci si mohou                       uvědomovat  nedostatky  a podílet  se  aktivně  na  jejich  nápravě  zajímavou  formou.                       Využití projektového vyučování.                      9.  Neustálá  potřeba  úspěchu.  Žáci  potřebují  pozitivní  zážitky,  pohodu,  pochvalu,                       veselou,  legrační  cestu  při  nápravných  cvičeních,  terapii  hrou,  nepřetěžování,  ale                       neustálé mírné zatěžování, pochvalu při každém sebemenším úspěchu.                      10. Práce  podle  individuálního  plánu  sestaveného  s ohledem  na  konkrétní  potřeby                       každého  žáka.  Individuální  výuka,  individualizovaná  výuka  v integrované  třídě.                       Postupy  jsou  výrazně  individuální,  nelze  stanovit  obecně  platná  pravidla,  která  by                        vyhovovala všem dětem.                     2.8  Rozvíjení matematické gramotnosti u žáků se                         specifickými poruchami učení                  Rozvoj  matematické  gramotnosti  je  jedním  z cílů  matematického  vzdělávání  na  základní                 škole.  Rámcový  vzdělávací  program  pro  základní  vzdělávání  (2007)  ve  vzdělávací  oblasti                Matematika  a její  aplikace  přímo  formuluje  následující  požadavek:  „Vzdělávací  oblast                 Matematika  a její  aplikace  v základním  vzdělávání  je  založena  především  na  aktivních                činnostech,  které  jsou  typické  pro  práci  s matematickými  objekty  a pro  užití  matematiky                v reálných  situacích.  Poskytuje  vědomosti  a dovednosti  potřebné  v praktickém  životě,                 a umožňuje  tak  získat  matematickou  gramotnost.  Pro  svoji  nezastupitelnou  roli  prolíná                celým základním vzděláváním od 1. do 9. ročníku a vytváří předpoklady pro další úspěšné                 studium.“                                                                  56","Jak přispívat k rozvoji matematické gramotnosti žáků                 Předpokladem rozvoje jakékoliv gramotnosti je určitá úroveň gramotnosti čtenářské. Ta je pro                 žáky nejdůležitější. Každý žák by však měl zvládnout matematiku tak, aby ji mohl využívat                ve  svém  životě  i  v profesi.  Jedná  se  o schopnost  orientovat  se  ve  světě  financí  –  mít                 rozvinutou  finanční  gramotnost,  a  v oblasti  zajištění  své  existence  a plánování  –  mít                rozvinutou gramotnost ekonomickou.                 Jestliže chceme rozvíjet finanční a ekonomickou gramotnost žáků, musíme především rozvíjet                 jejich  gramotnost  matematickou.  Aby  žák  chápal  zákonitosti  na  finančních  trzích,  musí                ovládat, mimo jiné, procentový počet. Aby žák uměl počítat s procenty, musí ovládat počítání                 s desetinnými čísly a se zlomky. Aby žák zvládl toto učivo, musí bezpečně ovládat počítání                s čísly  přirozenými.  Přitom  je  nutné,  aby  s porozuměním  přečetl  text,  kterým  jsou  úlohy                zadávány.  Takže  veškeré  další  gramotnosti  spočívají  na  rozvoji  gramotnosti  čtenářské                 a matematické. U žáků se specifickými poruchami učení se zaměřujeme na ty oblasti, které                jsou centrem jejich zájmu.                                  Jak můžeme rozvíjet matematickou gramotnost žáků                       Vytváříme  správně  matematické  pojmy  v duchu  matematických  definic  a způsobem                        přiměřeným  věku  a jazyku  žáků  na  příslušném  stupni  vzdělávání.  Vycházíme                       z předčíselných představ, vytváříme pojem  čísla přirozeného  a postupně, na základě                        porozumění, budujeme další číselné obory. Přitom respektujeme etapy pojmotvorného                       procesu  od  konkrétních  modelů  k abstraktním  představám  a zařazujeme  pojmy  do                       systému, který postupně vytváříme.                        Učíme  žáky  správně  chápat  vztahy  mezi  matematickými  objekty.  Sledujeme  vazby                       mezi  jednotlivými  pojmy,  operacemi,  funkčními  vztahy  apod.  Učíme  se  analyzovat                        danou situaci.                       Učíme žáky vytvářet vhodné matematické modely určité reálné situace. Danou situaci                       může žák vyjádřit např. číselným výrazem, algebraickým výrazem nebo geometrickou                        prezentací.                       Učíme žáky využívat získaných matematických poznatků v jiných, nových situacích.                       To, že žáci zvládnou určité učivo pamětně (např. základní spoje operací s přirozenými                        čísly) ještě nezaručuje, že je umí použít např. při řešení slovních a aplikačních úloh.                       Správné pochopení matematického pojmu usnadňuje jeho využití v nových situacích.                                                                57","  Učíme  žáky  využívat  matematických  poznatků  při  řešení  praktických,  aplikačních                       úloh,  učíme  je  pracovat  s různými  reprezentacemi  dat.  Práce  s tabulkami  dat,                        diagramy, grafy, ale i s textem různých nabídek a smluv obsahujících často nevýrazně                       prezentované číselné údaje přispívá k rozvoji matematické gramotnosti žáků.                        Učíme  žáky  hledat  posloupnost  kroků  k řešení  problémů,  provádět  analýzu,                       kombinovat různé způsoby uvažování, propojovat jednotlivé vědomosti, zobecňovat,                       abstrahovat,  hledat  optimální  strategie  k řešení  problémů.  Žáci  se  učí  formulovat                        problémy, hledat posloupnost kroků k jejich řešení, řešit je a ověřovat reálnost řešení                       v praxi.                                                 Matematicky gramotný žák                       Neustále přemýšlí, zkoumá;                       dokáže formulovat myšlenky vlastními slovy;                       využívá různých způsobů komunikace;                      má rozvinuté funkční a kombinační myšlení;                       využívá vhledu, intuice, kreativity;                      dokáže zobecňovat;                       dokáže vidět souvislosti;                      má dokonale vytvořené matematické představy.                     2.9  Vzdělávání žáků v rámci běžné základní školy,                         současný stav inkluze v ČR, pozitiva, problémy,                        perspektiva                   Začlenění  všech  žáků  se  speciálními  vzdělávacími  potřebami  do  hlavního  vzdělávacího                 proudu je cílem  inkluze  v českých školách. Je však nutné respektovat  individuální potřeby                a specifika každého žáka.                 Podle zdrojů České školní inspekce (zveřejněno v Lidových novinách 1. 2. 2020) se zvyšují                jak počty žáků vyžadujících určitou podporu při vzdělávání, tak počty asistentů ve školách.                                                                     58","Tab. 3: Přehled počtu žáků se speciálními vzdělávacími potřebami                    Školní rok      Žáci s SVP    Žáci se soc. znevýh.  Žáci se zdrav. znevýh.   Počet asistentů                   2016/2017         85 716            2 159               2 560              13 299                   2017/2018         107 772           8 732              13 721              17 725                   2018/2019         120 845          14 305              23 436              21 039                  Ve školním roce 2019/2020 se celkový počet asistentů zvýšil na 24 270.                 Podle  našich  zkušeností  je  inkluze  žáků  se  specifickými  poruchami  úspěšná,  pokud  je                zajištěna  po  stránce  personální  (učitel,  asistent,  rodiče)  i po  stránce  materiální  (dostatek                 prostředků na podpůrná opatření, didaktické materiály).                 Velmi dobrou situaci sledujeme na prvním stupni základní školy, kdy učitelé mají dostatek                informací,  vzdělávají  se  v dalších  kurzech,  jsou  empatičtí  k žákům  a  z výsledků  své  práce                mají radost. Spolupráce s asistenty se ve většině případů daří.                 Situace  se  zlepšuje  i na  druhém  stupni  ZŠ,  učitelé  se  vzdělávají,  snaží  se  žáky  a jejich                 problémy pochopit. Ve velkém rozporu jsou možnosti hodnocení žáků s SPU s požadavky na                přijímací zkoušky na střední školy.                 Za perspektivní považujeme inkluzivní výuku žáků s SPU v běžné třídě základní školy s tím,                že rozhodujícím činitelem je učitel a samotný žák. Učitel musí vytipovat základní problémy                 žáka, jeho strategie při  počítání  a tomu  přizpůsobit  nápravná opatření.  Žák by se měl chtít                vzdělávat a pravidelně pracovat. Podporu vzdělávání žáků s poruchami učení v rámci běžné                třídy  základní  školy  vyjadřují  sdělení  žáků,  kteří  byli  vzděláváni  ve  speciálních  školách                 zaměřených na SPU: „Měli jsme pěkné známky, nemuseli jsme nic moc dělat, ale nic jsme                neuměli. Při přechodu na střední školu jsme museli učivo matematiky dohánět. Raději bych                byl na základní škole, měl horší známky, ale věděl bych, co mám umět.“ Podotýkáme, že se                jednalo o žáky se specifickými poruchami učení, avšak s úrovní rozumových schopností nad                 průměrem populace.                    2.10 Zkušenosti ze zahraničí, přístupy k inkluzivnímu                         vzdělávání v zahraničí                   Zahraniční zkušenosti týkající se vzdělávání žáků s SPU získáváme:                       studiem zahraniční literatury;                      zahraničními stážemi;                       rozhovory se studenty programu Erasmus z jiných zemí;                      ze zpráv dalších institucí, např. ČŠI.                                                             59","V roce  2015  byl  v Londýně  a New  Yorku  vydán  sborník  The  Routledge  International                Handbook of Discalculiaand Mathematical Learning Difficulties (ed. Steve Chinn), ve kterém                 jsou,  mimo  jiné,  uvedeny  výsledky  výzkumů  a zkušenosti  s intervenčními  technikami                z několika zemí:                       Dyscalculia in Arabic speaking children (Everatt et al.);                       Mathematics  learning  and  difficulties  among  Chinese  children  in  Hong  Kong                       (Ho et al.);                       The  acquisition  of  mathematics  skills  of  Filipino  children  with  learning  difficulties                       (Hamak et al.).                 Ukazuje se, že problémy dětí v matematice, způsobené specifickými poruchami učení, jsou                 analogické  jako  u dětí  v českých  zemích  a také  nápravná  opatření  jsou  –  vzhledem                k zákonitostem  v matematice  –  velmi  podobná.  Systém  vzdělávání  je  však  přizpůsoben                 specifickým zvláštnostem každé ze zemí.                 Zkušenosti  studentů  ze  zahraničních  stáží  uvádí  např.  studentka  Čejková  (2018),  která                studovala  v Dublinu:  „Irsko  má  pevně  legislativně  ukotvený  proinkluzivní  styl  vzdělávání                 i definovaná  podpůrná  opatření  pro  žáky  se SVP  s názvem  Department  of  Education  and                Skills“. Systém speciálních poradenských pracovišť však není rozvinutý v takové míře, jako                v České  republice,  existují  tam  státní  i soukromá  pracoviště.  Ve  státních  pracovištích  jsou                 zpravidla  dlouhé  objednávací  lhůty,  soukromá  pracoviště  jsou  náročná  finančně.  Péče  ve                školách je zřejmě na velmi dobré úrovni. Studentka uvádí autentické sdělení jednoho z rodičů,                 které  z hlediska  inkluzivního  vzdělávání  považuji  za  stěžejní,  tj.  že  děti  nejsou                tzv. „nálepkovány“, že mají nějaké speciální vzdělávací potřeby:                       „Školy nemívají speciálního pedagoga. Je tam víc asistentů, jsou rozmístěni ve třídách,                       vždy  podle  toho,  ve které  třídě  je  jaké  dítě,  které  by  potřebovalo  pomoc  s čímkoliv,                      takže ne jenom pomoc metodickou při matematice, ale jakoukoliv. Asistenti jsou v té                       třídě permanentně  a o děti se starají. Ale je to  tak, že třeba  i jejich spolužáci  si  toho                      nemusí  všimnout,  že  ten  jejich  spolužák  má  nějaké  problémy  s učením,  s jazykem,                      s matematikou, s čímkoliv. Oni se snaží, aby to dítě bylo co nejlépe zařazené a aby co                       nejvíc zapadlo do té třídy. Asistent tam není viditelně pro dítě, ale pro všechny. Navíc                      učitelé nehodnotí žáky transparentně, žáci často nemají ponětí o studijních výsledcích                       svých spolužáků. Asistent se tedy může věnovat dětem s mentálním postižením stejně                      tak jako dětem nadaným nebo se specifickými poruchami učení a přitom nikdo nemusí                       vědět, který z nich je který.“                                                                 60","Další  podstatná  zkušenost,  kterou  studentka  uvádí  a která  je  v souladu  i  s naším                přesvědčením, se týká učitelů:                       „Vzdělávání  učitelů,  kteří  mají  ve  třídě  dyskalkulického  žáka,  probíhá  hlavně  na                       základě podpory učitele  v jeho vlastním přesvědčení, že všechny děti s dyskalkulií se                      mohou  naučit  základům  matematiky  a nejen  těm,  pokud  se  metody  výuky  mění  dle                       aktuálních potřeb žáka.“                 Zpráva  České  školní  inspekce  (ČŠI,  2018)  uvádí  zkušenosti  s inkluzivním  vzděláváním  ze                Skotska,  Irska,  Francie,  Německa  a USA  z hlediska  hodnocení  rovných  příležitostí  ve                 vzdělávání.  Je  zde  konstatováno,  že  přenosy  z jiných  kulturních  kontextů  jsou  nesnadné,                avšak mohou posloužit jako zdroj inspirace pro tvorbu metodik. Faktorů a proměnných, které                ovlivňují inkluzivní vzdělávání, je mnoho. Záleží na koncepci školy, regionálním umístění,                 pedagogickém  vedení,  kvalitě  pedagogického  sboru,  podpůrných  opatřeních,  posuzování                vzdělávacích  výsledků  žáků,  počtu  výukových  hodin  příslušných  předmětů,  ale  také  na                 finančních zdrojích a dalších.                                                                                                                61","3  Dílčí projekt KA6 – modul 9: Žáci se specifickými                       poruchami učení – matematika                      3.1  Cíl projektu, metodologie                   V současnosti se na základních školách zvyšuje počet žáků, kteří vyžadují specifické postupy                 při  výuce  matematiky.  Jsou  to  žáci  se  specifickými  poruchami  učení,  zejména  s dyslexií,                dysgrafií,  dysortografií,  dyskalkulií.  K této  skupině  žáků  se  řadí  skupina  žáků                demotivovaných  i  žáků  s nízkým  vzdělávacím  potenciálem.  Cílem  projektu  je  pracovat  se                 žáky,  kteří  mají  diagnostikovanou  specifickou  poruchu  učení,  avšak  jejich  inteligence  je                v pásmu  průměru  až  nadprůměru,  mají  podnětné  rodinné  prostředí,  v ostatních  výukových                 předmětech prokazují dobré až výborné výsledky, chtějí se vzdělávat, avšak jejich problémy                v matematice jsou velmi závažné.                    Dílčí cíle projektu                  DC 1:  Realizovat  možnosti  začlenění  žáka  s dyskalkulií  do  heterogenní  třídy  v rámci                       inkluzivního vzdělávání.                 DC 2:  Analyzovat  konkrétní  problémy  žáka  v matematice,  podporovat  jeho  sebedůvěru                       a schopnost  samostatné  práce.  Zbavit  žáka  nezájmu  a odporu  k matematice                        a nepřiměřeně pomalého tempa při práci.                DC 3:  Připravit  vhodné  metodické  materiály  a pomůcky,  které  žáka  osloví  a pomohou  mu                       problémy v matematice překonávat.                    Cílová skupina                  Cílovou  skupinu  tvořili  žáci  dvou  tříd  základní  školy.  Žáci  jedné  třídy  tvořili  výzkumnou                 skupinu a žáci druhé třídy skupinu kontrolní.                 Výzkumná  skupina  byla  třída  5.  ročníku  běžné  základní  školy,  která  využívala  klíčových                aktivit. Počet žáků 21, chlapců 9, děvčat 12.                 Kontrolní  skupinu  tvořili  žáci  5.  ročníku  běžné  základní  školy,  třída  nebyla  zařazena  do                 klíčových aktivit. Počet žáků 24, chlapců 13, děvčat 11.                                                               62","Základní  škola,  na  které  byl  výzkum  realizován,  je  zaměřena  na  rozšířenou  výuku  jazyků.                Ve výuce využívá prvků Daltonského plánu.                 Inkludovaný chlapec je klidný, vyrovnaný, sociálně zdatný, nekonfliktní, výborně vychází se                 spolužáky. Má vyhraněné zájmy (doprava, cestování, historie, encyklopedie). Poruchy učení                se  objevují  ve  čtení,  psaní,  v matematice.  Projevuje  se  u něj  odpor  k matematice,  nulová                 sebedůvěra.  Základní  spoje  všech  operací  nezvládá,  nerozumí  jednotlivým  operacím,  má                tendenci počítat po jedné. Nové postupy se učí s obtížemi, při písemných algoritmech často                zaměňuje operace, např. část příkladu odčítá a část sčítá. Naprosto se neorientuje ve slovních                 úlohách.  Problémy  nemá  s porovnáváním  přirozených  čísel,  dobře  chápe  pojem  zlomku.                Komunikace s asistentkou je výborná.                    Metodologie                  V rámci  realizace  výzkumného  projektu  vylo  využito  akčního  výzkumu.  Jeho  cílem  bylo                 řešení konkrétního problému a hledání cesty k žádoucí změně ve výuce matematiky.                 Nástroje:                       Dotazník SDQ.                       Klíčové aktivity zařazené do vyučovacích hodin.                   Etika výzkumu                  Výzkumník  jednal  v souladu  s GDPR  (General  Data  Protection  Regulation).  Bylo                 respektováno obecné nařízení Evropského parlamentu Rady EU stanovující nová pravidla pro                zpracování osobních údajů platné od 25. 6. 2018. Nahrazuje zákon č. 101/2000 Sb., o ochraně                 osobních údajů a změně některých zákonů.                                                                                    63","3.2  Výuka matematiky se zřetelem k cílové skupině                      3.2.1  Výukové strategie vhodné k uvedení základních                         matematických pojmů a porozumění matematickým                        operacím                    Při realizaci klíčových aktivit byly uplatňovány následující výukové strategie:                       Respektování  logické  výstavby  matematického  učiva.  Aby  žák  zvládl  učivo  vyšší                       úrovně,  je  nezbytné,  aby  zvládal  učivo  základní.  Příklad:  jestliže  má  v 5.  ročníku                        pracovat  s písemnými  algoritmy  početních  operací,  měl  by  zvládnout  operace                       pamětné.  Byly  uplatňovány  strategie  zvládnutí  sčítání  a odčítání  s přechodem  přes                        základ 10, rozklady čísel, základní spoje operací násobení a dělení s porozuměním.                      Náměty  úloh  byly  vybírány  tak,  aby  odpovídaly  zájmům  žáka  (zájem  o historii,                        geografii).                      Bylo prezentováno využívání matematiky v reálném životě (žák dobře rozumí úlohám,                       ve kterých se vyskytují peníze).                       Postupně byly uplatňovány vztahy a souvislosti mezi matematickými pojmy.                       Příklady byly přizpůsobovány možnostem žáka (např. číselný obor do 10 000).                      Intenzivní  podpora  při  neustálém  procvičování.  Speciální  sešit,  přiměřené  množství                       úkolů. Systematické opakování dříve probíraných postupů.                       Instruktivní  přístupy,  podrobné  návody  k postupům  při  řešení  úloh,  jednoduché                       pokyny při vysvětlování učiva.                       Práce s asistentkou v prostředí mimo třídu, klid k práci.                      Výrazné uplatňování individuální výuky.                       Vytipování  nejčastějších  problémů  v jednotlivých  oblastech  matematického  učiva,                       komunikace v oblasti matematického jazyka.                       Sledování  vlastních  strategií  žáka  při  budování  matematických  pojmů  a zvládání                       operací s čísly.                                                                        64","3.2.2 Předpoklady žáků ke zvládnutí matematické symboliky                         a jazyka matematiky, rozvoj komunikativních dovedností                          V průběhu  výzkumu  byly  sledovány  schopnosti  žáka  k zápisu  číslic,  čísel,                       matematických operací. Zpočátku se vyskytovaly problémy se zápisem číslic – číslice                       žák  psal  zdola  nahoru.  Některé  příklady  zapisoval  nesmyslně,  např.  při  odčítání                        zapisoval nejdříve menšitele, potom menšence (100 – 560).                      Vyjadřovací schopnosti v oblasti matematiky jsou velmi slabé, nedokáže srozumitelně                        formulovat myšlenku.                      Při pamětném sčítání a odčítání počítá po jedné, ukazuje si na prstech, avšak chybně.                        Příklad 12 + 4 počítá:                           o  12, 13, 14, 15, zapíše 12 + 4 = 15.                        Analogicky 16 − 3 počítá:                            o  16, 15, 14, zapíše 16 − 3 = 14.                       Komunikativní  dovednosti  v oblasti  řešení  slovních  úloh,  kdy  je  třeba  provést                       matematizaci,  tj.  převést  český  jazyk  do  symbolického  jazyka  matematiky  (zápis                        příkladu, rovnice apod.), jsou na velmi nízké úrovni.                      Nemá  vytvořenu  představu  přirozeného  čísla,  počet  prvků  i málopočetných  skupin                        určuje pouze počítáním po jedné, nedokáže číslo rozložit ani strukturovat.                      Číslice zapisuje zásadně zdola.                       Nechápe význam početních operací, zejména odčítání. Sčítá tak, že počítá po jedné,                       odčítá  stejným  způsobem.  Nemá  představu  o významu  operací  s přirozenými  čísly,                        zejména odčítání. Nevadí mu, že rozdíl je větší než menšenec. Z toho vyplývají chyby:                           o  12 + 5 = 16, počítá vyjmenováváním řady čísel a ukazováním si na prstech:                               12, 13, 14, 15, 16;                            o  17  −  9  =  9,  vyjmenovává  po  jedné  číselnou  řadu  a ukazuje  si  na  prstech:                               17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9.                                                                              65","Problémy inkludovaného žáka v 5. ročníku ZŠ                  Pokud si zapíše tento příklad pod sebe                                                              17                                                            − 9                                                                 ,                počítá 9 a kolik je do 17: 8. Správně zapíše 8, říká „jednu si držím“ (na palci) a počítá dále:                1 + 1 = 2. Přechod mezi desítkami navodí sčítání.                Takže příklad zapíše takto:                                                              17                                                            − 9                                                            28                    a)  Při pamětném odčítání dvojciferných čísel neustále odčítá od většího čísla číslo menší:                            o  Příklad 32 – 15 = 23   počítá  3 – 1 = 2,  5 – 2 = 3.                    b)  Při  písemném  sčítání  a odčítání  má  mechanicky  nacvičené  postupy  při  provádění                        příslušných  algoritmů.  Daří  se  mu  písemné  sčítání  a odčítání,  pokud  obě  čísla  mají                       stejný počet cifer. Např. příklady typu 438 + 285, 976 + 548, 723 − 285, pokud je má                       napsané pod sebou, počítá správně.                        Problémy činí úlohy, kdy čísla nemají stejný počet cifer. Při odčítání s přechodem přes                       základ  10  mu  přičítání  desítky  někdy  navodí  operaci  sčítání;  když  nemůže  přičíst                        jednotku  k menšiteli,  přičte  ji  k menšenci.  Např.  100  −  66  při  písemném  odčítání                       počítá takto:                           o  6 a kolik chybí do deseti – čtyři. Jednu si držím, 6 + 1 = 7.                                7 a kolik chybí do deseti – tři. Jednu si držím, 1 + 1 = 2.                                                             100                                                           − 66                                                            234                     c)  Při  operaci  násobení  nechápe  její  význam,  takže  nedokáže  znázornit  graficky  ani                       vysvětlit význam,  co představuje příklad 4 · 3.  Správně však dokáže příklad zapsat                        pomocí sčítání, např. 4 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3.                    d)  Slovní úlohy neumí řešit samostatně, pouze s vedením.                                                                               66","3.2.4 Kompenzační a reedukační přístupy, individuální přístupy                         k žákům                          Metodické řady úloh                K ilustraci  uvádíme  metodickou  řadu  úloh  týkajících  se  písemného  dělení  jednociferným                dělitelem, která je vytvořena na základě postupu (viz příloha):                     1.  motivace dělení;                     2.  první  cifra  dělence  je  větší  než  dělitel  (případně  je  rovna  děliteli),  dělení  je  beze                       zbytku;                     3.  první cifra dělence je větší než dělitel, je se zbytkem;                    4.  první cifra dělence je menší než dělitel;                     5.  dělení se zbytkem;                    6.  čísla s nulami.                         Počítání s čísly nižších řádů (např. do tisíců, desetitisíců)                        Sčítej písemně:                          345              159            856                         423              538              97                           Odčítej písemně:                               764           431           634                           − 123          − 217         − 377                         Jednoduché slovní úlohy s tematikou z oblasti zájmů žáka; ilustrace pracovních                        listů se slovními úlohami                                                                               67","Pracovní list 1                  Údaje o městě Brně                     1.  První zmínka o Brně se objevila v Kosmově kronice a pochází z roku 1091.                    2.  Hlavním městem Moravy se Brno stalo v roce 1641 po dobytí Olomouce švédskými                       vojsky.                     3.  V letech 1643–1645 obléhali Brno Švédové. Od té doby se na Petrově zvoní poledne                       v 11 hodin.                     4.  Velké Brno vzniklo v roce 1919 připojením okolních obcí.                 Vyber si některé z událostí a vypočítej, kolik roků od té doby do dneška uplynulo.                     1.  Počet obyvatel města Brna v roce 1919 byl 122 000, v roce 2019 je 377 139.                         a)  kolik se počet obyvatel zvýšil?                         b)  Kolikrát (přibližně) se počet obyvatel zvýšil?                     2.  V tabulce je uveden počet obyvatel města Brna za posledních pět let.                   Tab. 4: Přehled počtu obyvatel města Brna                 Rok                 2015       2016        2017        2018       2019                Počet obyvatel      377 305    376 407     376 857     376 989    377 139                     a)  Zaokrouhli čísla na tisíce.                     b)  V kterém roce bylo obyvatel nejvíce, v kterém nejméně?                    c)  Z grafů urči, mezi kterými roky došlo k největší změně.                  Graf 1: Spojnicový diagram znázorňující změny počtu obyvatel v letech 2015–2019                           Počty obyvatel města Brna v letech 2015–2019                  377 400                 377 200                 377 000                 376 800                 376 600                 376 400                 376 200                 376 000                 375 800                 375 600                 375 400                             2015        2016        2017        2018       2019                                                             68","Graf 2: Sloupkový diagram znázorňující změny počtu obyvatel v letech 2015–2019                  377 400                  377 200                 377 000                 376 800                  376 600                 376 400                 376 200                 376 000                  375 800                 375 600                 375 400                             2015        2016         2017        2018        2019                                                          Pracovní list 2                  Doprava v Brně                     1.  V roce 2019 měl dopravní podnik v Brně 306 autobusů, 142 trolejbusů a 303 tramvají.                       Kolik je to dopravních prostředků celkem?                      2.  Tyto dopravní prostředky jezdí na linkách. Autobusových linek je 58, trolejbusových                       linek je 13 a tramvajových linek je 11. Kolik je to celkem?                     3.  Jak je to dlouho? Kolik roků uplynulo od té doby do dneška?                        První tramvajové vozy tažené koňmi vyjely poprvé v roce 1869.                       První parní tramvajová lokomotiva začala jezdit v roce 1884.                       První elektrické tramvaje vyjely v roce 1900.                        První autobusy se v Brně objevily v roce 1930.                       První trolejbus v Brně vyjel v roce 1949.                        Od roku 1946 jezdí na brněnské přehradě lodní doprava.                                                                            69","Pracovní list 3                  Moravské zemské muzeum                 Co můžeš z uvedených údajů vypočítat? Vymysli příklady. Můžeš doplnit další údaje?                     1.  Moravské zemské muzeum bylo založeno císařským dekretem Františka I. v červenci                       1817.                     2.  Stavba pavilonu Anthropos byla dokončena v roce 1962, jeho rekonstrukce pak byla                       dokončena v roce 2006.                       Tradice však sahá do roku 1928, kdy byla na Výstavišti v Brně uskutečněna výstava                        soudobé kultury v Československu.                   Vysoké školy v Brně                     V roce 2019 slaví některé brněnské vysoké školy výročí svého vzniku:                     Vysoké učení technické                  120 roků                     Masarykova univerzita                   100 roků                     Veterinární a farmaceutická univerzita  101 roků                     Univerzita obrany                       15 roků                     Ve kterém roce tyto školy vznikly?                    Naše škola                     Ve kterém roce byla postavena budova naší školy? Zapiš také římskými číslicemi.                     Co všechno můžeme o naší škole zjistit?                                                                                     70","3.2.5 Multisenzorický přístup, vhodné metody práce, aktivity,                         pomůcky, prostředky ICT                   Ke  zvládnutí  učiva  nižší  úrovně  byly  využívány  různé  pomůcky,  které  sloužily  k podpoře                 zvládnutí sčítání a odčítání v oboru do dvaceti s přechodem přes základ deset:                   Mřížky, korálky, víčka od PET lahví, drobné přírodniny apod.                     a)  Ilustrace příkladu 7 + 9:                        7 + 9 = 7 + (3 + 6) = (7 + 3) + 6 = 10 + 6 = 16                     o        o        o        o        o        o        o        ●        ●        ●                    ●        ●        ●        ●        ●        ●                 Obr. 2: Mřížka ke znázornění sčítání přirozených čísel v oboru do 20.                      b)  Ilustrace příkladu 14 − 6:                        14 − 6 = 14 − (4 + 2) = (14 − 4) − 2 = 10 − 2 = 8                    o        o        o        o        o        o        o        o        ø        ø                    ø        ø        ø        ø                 Obr. 3: Mřížka ke znázornění odčítání přirozených čísel v oboru do 20.                    Svazky brček nebo tyčinek po deseti modelující desítky, jednotlivá brčka modelující                   jednotky.                        Obr. 4: Znázornění sčítání a odčítání pomocí svazku brček.                Při odčítání 14 − 6 je třeba, aby žák desítku rozvázal a vybral z ní dvě potřebné jednotky.                     Karty s čísly modelující jednotky, desítky, stovky, tisíce atd.                       8          5 0            7 0 0                  Obr. 5: Kartičky k modelování víceciferných čísel.                 Při modelování čísla 758 žák pokládá kartičky na sebe a v podtextu vidí všechny řády, nejen                izolovaná čísla 7, 5, 8.                                                             71","  K procvičování  učiva  se  využívají  různé  deskové  hry:  loto,  domino,  pexeso,  bingo,                   křížovky, magické čtverce aj.                    Procvičovací  počítačové  programy,  např.  Školákov,  MatMat,  Matematika  online                   cvičení a mnoho dalších.                   Kalkulačka,  která  může  sloužit  zejména  jako  motivační  prostředek  k provádění                    zkoušek správnosti.                    3.2.6 Vyhodnocení                    Práce s inkludovaným žákem přinesla mnoho pozitiv jak samotnému žákovi, tak třídě, kterou                navštěvuje, ale i učitelům a výzkumníkům.                       Došlo  ke  zlepšení  vztahu  žáka  k matematice  a výraznému  zvýšení  sebevědomí.  Je                        jistější při řešení příkladů a úloh, nevzdává se předem. Je však nutná volba úloh, které                       je schopen zvládnout. Zmenšení obav ze selhání vede k lepšímu zvládnutí učiva.                       V oblasti  základního  učiva  je  schopen  pracovat  na  stejných  úkolech  jako  jeho                       spolužáci.                       Operace  s přirozenými  čísly  pamětné  i písemné  zvládá,  někdy  i  s čísly  do  milionu.                       Když se občas objeví chyby plynoucí z jeho deficitu, dokáže je opravit.                       Výrazný  posun  nastal  při  řešení  slovních  úloh,  speciálně  pro  něj  formulovaných                       (zejména volbou tematiky, která jej zajímá). Zbavil se obav ze slovních úloh, dokáže                        analyzovat zadání a rozmyslet si postup řešení.                      Sekvenční přístup k výuce měl vliv i na ostatní žáky třídy, kteří mají s matematikou                        problémy. Postupy a pomůcky pomohly i ostatním žákům.                      Pro  učitele  je  přínosné  vidět,  že  existují  cesty,  jak  pracovat  se  žákem  se                       specifickými poruchami učení.                       Pro  výzkumníka  bylo  řešení  projektu  přínosné  mimo  jiné  v tom,  že  se  utvrdil                       v přesvědčení, že každého žáka je možné matematiku naučit, že je jen potřeba najít                        základní problém, od kterého se odvíjí reedukační postupy, a že je nutné respektovat                       individualitu žáka jednak v otázce jeho strategií, jednak v otázce jeho zájmů. Přínosná                        byla i spolupráce s vynikající učitelkou, velmi vstřícnou k potřebám žáka.                                                                     72","3.3  Analýza dat SDQ-Cze                   V rámci řešení projektu bylo provedeno kvalitativní výzkumné šetření s využitím dotazníku                 předností  a  nedostatků  SDQ  –  Cze,  který  byl  zpracován  a  vyhodnocen  ve  spolupráci                s pracovníky  Institutu  výzkumu  dětí,  mládeže  a  rodiny  Fakulty  sociálních  studií  MU.                 Dotazník byl zadán ve dvou třídách: v experimentální třídě, ve které byl zařazen inkludovaný                žák a ve třídě kontrolní, ve které intervence neprobíhala. Dotazník byl zadáván dvakrát, a to                na  počátku  školního  roku  a  po  ukončení  intervence  na  konci  školního  roku.  Dotazník                 obsahoval 25 položek, které byly rozděleny do pěti skupin:                      Emocionální symptomy;                       Problémové chování;                      Hyperaktivita a nepozornost;                       Problémy ve vztazích s vrstevníky;                      Prosociální chování.                 Výsledky  této  části  výzkumné  činnosti  byly  zpracovány  statisticky  a  zveřejněny  v on-line                publikaci Inkluzivní didaktika v praxi základní školy. Teorie, výzkum a praxe zpřístupněné na                Munispace (https://munispace.muni.cz/library/catalog/book/1974).                    Závěr výzkumného šetření                  Nalezli  jsme  statisticky  významné  rozdíly  mezi  experimentálními  a kontrolními  skupinami                 napříč  jejich  průměrnými  skóry  externalizujícího,  internalizujícího  a prosociálního  chování,                přičemž  experimentální  skupiny  skórovaly  výše  v problematickém  externalizujícím                 a internalizujícím chování a níže v prosociálním chování. Ačkoli rozdíly mezi výzkumnými                skupinami byly mírně výraznější na začátku školního roku než na jeho konci, efekt interakce                mezi časem sběru dat a experimentální skupinou nikdy nedosáhl statistické významnosti. Za                 nezanedbatelný  považujeme  vliv  pohlaví,  kdy  dívky  dosahovaly  nižších  skórů                externalizujícího chování a vyšších skórů prosociálního chování. To, zda je efekt zapříčiněn                 skutečně  tím,  že  dívky  jednají  méně  problémově  a více  prosociálně,  či  zda  jsou  tak  pouze                vnímány  učitelkami,  ponecháváme  otevřené  k diskuzi.  Každopádně  jsme  nenalezli                 přesvědčivé  důkazy  o tom,  že  by  v průběhu  školního  roku  došlo  k výraznějšímu  poklesu                problémového  (internalizujícího  a externalizujícího)  chování,  resp.  výraznějšímu  nárůstu                prosociálního chování u experimentálních skupin ve srovnání se skupinami kontrolními. Tyto                 trendy jsou sice v datech naznačeny, nicméně ze statistického hlediska je nepovažujeme za                průkazné.  I z hlediska  věcné  významnosti  se  jedná  o změny  příliš  malé  na  to,  aby  mohly                 posloužit jako důkaz  o účinnosti experimentální podmínky. Za hlavní limit ze statistického                                                            73","hlediska  považujeme  výrazný  efekt  podlahy  (resp.  stropu  v případě  prosociálního  chování)                použitého nástroje měření, jehož důsledkem bylo výrazné zešikmení závislých proměnných.                 Přibližně  jedna  třetina  žáků  dosáhla  minimálního  možného  skóru  externalizujícího  či                internalizujícího  chování  (resp. maximálního možného skóru prosociálního chování) již při                prvním sběru dat, a tudíž u těchto žáků ani žádný pokles skórů problémového chování (resp.                 nárůst skórů prosociálního chování) nemohl být pozorován.                    Diskuse k aplikaci nástroje ve třídě se žákem s dyskalkulií                  Ve  třídě  s inkludovaným  žákem  bylo  zadáno  a vyhodnoceno  21  dotazníků  (12dívek,  9                chlapců),  v kontrolní  třídě  23  dotazníků  (10  dívek,  13  chlapců);  jednalo  se  o 5.  ročník                 základní školy.                 Při aplikaci nástroje v rámci Modulu 9 ve třídě naší spolupracující školy, kde se vzdělává žák                s dyskalkulií, a ve třídě kontrolní jsme předpokládali nepatrný posun ve zjištěných datech na                 začátku  a konci  školního  roku.  Tato  domněnka  vycházela  z předpokladu,  že  intenzivní                individuální péče a volba vhodných výukových metod posune nejen dyskalkulického žáka, ale                i další  žáky,  kteří  mají  problémy  v matematice.  Sekvenční  a multisenziorální  přístupy                 posloužily k obohacení matematických znalostí žáků. Je třeba brát v úvahu také další faktory,                které hrají ve vzdělávání žáků rozhodující roli, jako je osobnost učitele, rodinné zázemí, vliv                 a úroveň  asistenta/asistentky,  osobnostní  vlastnosti  žáka,  jeho  mentální  úroveň  atd.                Proměnných při vzdělávání je mnoho a všechny proměnné proces vzdělávání určitou měrou                ovlivňují.  Žáci  během  jednoho  školního  roku  zpravidla  učiní  posun  v mnoha  sledovaných                 oblastech,  někdy  i bez  ohledu  na  to,  zda  byla  ve  třídě  aplikována  nějaká  intervence.  Naše                intervence  však  byla  přínosná.  Patrné  změny  lze  sledovat  zejména  v oblasti  prosociálního                 chování.  Z hlediska  potřeb  je  pro  matematické  vzdělávání  přínosné,  že  k posunu  došlo                v položkách  „přemýšlí,  než  něco  udělá“,  „vytrvá  u úkolu  do  konce,  vydrží  dávat  pozor“.                 V oblasti internalizujícího chování jde o položky „snadno se dá vyrušit, špatně se soustředí“,                „je nervózní nebo nesamostatný/á v nových situacích, snadno ztratí sebedůvěru“. Dle sdělení                 třídní  učitelky  a zároveň  metodika  inkluze  v projektu  intervence  ve  třídě  smysl  měla,                obohatila žáky, ale také ji jako učitelku žáka s dyskalkulií; také obohatila další žáky, kteří sice                diagnostikováni nejsou, ale s matematikou mají problémy.                                                                        74","4  Didaktické postupy                       4.1  Metody práce, metodické postupy                  Při výuce inkludovaného žáka byly využívány takové metody  práce, které mu  vyhovovaly                 a které přispívaly ke zmírnění problémů v matematice. Je třeba poznamenat, že metody byly                přizpůsobovány konkrétním situacím a učivu. Jednotlivé metody je třeba volit velmi citlivě,                 neboť  snadno  dochází  k nesprávným  analogiím,  tj.  žák  např.  využije  instrukci  v naprosto                nevhodném kontextu nebo uplatní vlastní strategie z matematického hlediska zcela nesprávně.                 Zpočátku  žák  vyžaduje  jasné  instrukce  a postupy,  sám  nepřijde  na  žádné  řešení,  avšak  po                mnoha opakujících se postupech získává jistotu a projevuje větší míru samostatnosti.                                              Metoda individuálního přístupu                  Individuální  výuka  byla  vesměs  realizována  za  přítomnosti  asistentky,  střídala  se  práce                 v kmenové  třídě  s prací  mimo  třídu.  Žák  potřeboval  k práci  klid,  někdy  se  nedokázal                koncentrovat  při práci  mezi  ostatními  žáky.  Zpočátku  bylo  třeba  žáka  motivovat  k práci                 v matematice, zbavit ho  negativního  vztahu  k matematice  a alespoň částečně  posilovat jeho                zájem  o práci.  Plánovité  vedení  k porozumění  a pochopení  jednotlivých  pojmů,  pravidel                a využívání oblastí zájmů žáka vedlo postupně k posilování jeho vlastní iniciativy, přemýšlení                 o postupech,  které  provádí,  osvojování  nových  dovedností.  Možnost  sledovat  jeho                myšlenkové  pochody  přispěla  k okamžité  identifikaci  jeho  problémů,  specifických  postupů                 a vlastních strategií a případné eliminaci chyb.                 Spolupráce  asistentky  s učitelkou  matematiky  byla  velmi  dobrá.  Vzájemný  vztah  žáka                a asistentky  byl  vstřícný.  Učitelka  i asistentka  byly  erudované  jak  v matematice,  tak  ve                 speciální pedagogice.                                                 Metoda přímých instrukcí                  Postupy  ve  výuce  matematiky,  které  jsou  založeny  na  metodě  přímých  instrukcí,  vyžadují                promyšlené uspořádání učební látky. Pro žáky s SPU je to metoda poměrně efektivní, avšak                 musí respektovat individuální zvláštnosti žáka. Přitom se neomezujeme na pouhé předávání                instrukcí učitelem, ale na aktivní zapojení žáka do diskuse a do procesu učení. Při využívání                této metody můžeme zpravidla postupovat takto:                                                               75","  Informace o učivu, které je třeba zvládnout, motivace, k čemu mi to bude.                      Potřebné znalosti z předcházejícího učiva.                       Pokud  nezbytné  znalosti  z předcházejícího  učiva  chybí,  je  třeba  zpracovat  plán  na                       jejich postupné zvládnutí, potřebné reedukační a kompenzační postupy.                       Zpracování instrukcí ke zvládnutí probíraného učiva.                      Koncentrace na podstatné jevy. Instrukce by měly být jasné, žákovi srozumitelné, se                       zapojením co nejvíce smyslů.                 Jaké principy byly uplatňovány při konkrétní práci se žákem:                        Vymezení  základního  učiva,  v tomto  případě  sčítání  a odčítání  v oboru  do  dvaceti,                       zvládnutí základních spojů násobení a dělení v oboru do 100. Bez tohoto základu by                       žák  obtížně  postupoval  dál,  zejména  při  písemných  algoritmech  početních  operací                        a dalších tématech.                      Vytváření  správných  představ  o probíraných  pojmech,  porozumění  matematickému                       jazyku.                       Rozvíjení  schopnosti  využít  informace  v různých  situacích,  zejména  ve  slovních                       úlohách.  Tematika  slovních  úloh  byla  volena  z oblastí  zájmu  žáka  (historie,                       geografie).                       Postup  od  konkrétního  k abstraktnímu.  Od  práce  s konkrétními  předměty  přecházet                       k obecným závěrům.                 Při využívání metody přímých instrukcí je třeba pečlivě vnímat postupy žáka. V některých                 případech se stane, že žák využije nesprávného transferu a přímou instrukci použije v situaci,                která není vhodná, ve které pak dochází k chybám.                         Metoda postupně rozvíjejícího se učení a logické návaznosti učiva                 Autorství teorie postupně rozvíjejícího se učení se přičítá J. Piagetovi a L. S. Vygotskému;                 tato  teorie  je  založena  na  myšlence,  že  dítě  během  postupu  učení  prochází  několika  stádii                intelektuálního rozvoje. Žák by měl dosáhnout příslušného stádia vývoje, aby výuka mohla                být  úspěšná.  Matematické  znalosti  se  v průběhu  učení  postupně  rozvíjejí  s cílem  určitého                 stupně abstrakce. Jsou postupně budovány od jednoduššího ke složitějšímu, od konkrétního                k abstraktnímu.  Také  matematické  myšlení  je  rozvíjeno  od  nesystematického                k systematickému.                 Ke  zvládnutí  základních  dovedností  jsme  využívali  např.  návaznosti  při  sčítání  a odčítání                 přirozených čísel:                     o  5 + 3 = 8, 15 + 3 = 18, 50 + 30 = 80, 500 + 300 = 800 atd.                    o  9 − 4 = 5, 19 − 4 = 15, 90 − 40 = 50, 900 − 400 = 500 atd.                                                             76","Je  třeba  upozornit  na  některá  rizika,  žák  například  může  uplatňovat  nesprávný  postup  při                řešení  úloh  500  +  30  =  800,  nebo  900  −  40  =  500  (pracuje  pouze  s nenulovými  řády                 v číslech).                                     Metoda využívání „jemných“ metodických řad                  Metodickými řadami úloh rozumíme zpracování učiva tak aby vycházelo od nejjednodušších                úloh a náročnost byla zvyšována tak, aby v každé úloze byl jeden nový krok. Tuto metodu                 jsme využívali zejména při písemných algoritmech početních operací.                 Např. při písemném násobení jednociferným činitelem můžeme využít postupu, kdy počítáme                nejprve  příklady,  ve  kterých  se  nevyskytují  přechody  mezi  řády,  potom  příklady  s jedním                 přechodem, potom příklady se dvěma přechody, a nakonec čísla s nulami, např.:                        123      127     162      178     385      302                       .   3    .   3   .   3    .   3   .   3    .   3                 Analogicky jsme využili tuto řadu příkladů pro násobení dvojciferným činitelem, a to nejprve                číslem 30 (žák si všimnul, že součin je desetkrát větší než při násobení třemi). Dále jsme                 násobili číslem 32, kde již šlo o úpravu algoritmu – posun druhého řádku při násobení dvěma.                  Zkoušku správnosti jsme prováděli s využitím kalkulátoru.                 Náročnost  příkladů  (víceciferná  čísla,  pro  žáka  složitější  násobky)  se  volí  vzhledem                k individuálním  schopnostem  žáka;  pokud  je  násobení  dvojciferným  činitelem  pro  žáky                 náročné, volí se jako kompenzační pomůcka kalkulátor.                 Podobné  metodické  řady  byly  využity  při  výuce  dělení  jednociferným  a dvojciferným                dělitelem.                                   Metoda rozčlenění postupu na elementární kroky                  Metoda byla využita při nácviku písemného dělení jednociferným dělitelem.                  Využívá se v případech, kdy má žák problémy s orientací ve schématech, slovních úlohách.                 Např. u písemného dělení je třeba, aby se žák orientoval v algoritmu, který je třeba zvládnout                jak v horizontální,  tak ve vertikální  úrovni,  a který je  navíc odlišný od  algoritmů  ostatních                 operací.  Při  písemném  sčítání,  odčítání  a násobení  přirozených  čísel  se  začíná  počítat  od                jednotek,  při  písemném  dělení  se  začíná  od  nejvyššího  řádu.  Analogicky  se  při  řešení                složených slovních úloh využívá rozčlenění úlohy na úlohy jednoduché.                                                               77","Metody fixační                 Vzhledem k tomu, že někteří žáci s SPU velmi rychle zapomínají již zvládnuté učivo, je třeba                 vypracovat  systém  častého  opakování  různými  formami  práce.  Velmi  často  se  využívá                didaktických her.                        Hry pohybové – pro celou třídu. Např. nalepíme žákům na záda příklady na pamětné                       dělení a mají se seskupit do skupin se stejným výsledkem.                      Hry deskové (loto, domino, pexeso, bingo, pyramidy, housenky aj.).                       Hry s čísly – využívá se zajímavých vlastností čísel.                 Nedůležitější je vypracování systému opakování:                       Opakovat to učivo, jehož zvládnutí je nezbytné při probírání dalšího učiva.                       Opakovat neustále (téměř každodenně) několik příkladů ze základního učiva (sčítání                       a odčítání v oboru do dvaceti, základní spoje násobení a dělení).                       Opakovat  málo, ale  často  a za aktivního  přispění  žáka. Nemá smysl  zatěžovat  žáky                       časově dlouhodobým opakováním, které je nebaví.                       Opakovat učivo v aplikacích, v úlohách z běžného života.                                                   Metoda práce s chybou                  Chyba byla využívána jako didaktický nástroj. U žáka s SPU se často stávalo, že se začaly                 znovu  objevovat  chyby  z již  zvládnutého  učiva.  Velmi  se  projevoval  vliv  dyskalkulie                i dysgrafie jako specifických poruch učení. Při práci se žáky s SPU je nutné rozlišovat chyby                z nepozornosti, případně z neznalosti, a chyby způsobené poruchou učení. Při analýze chyb                 námi zkoumaného žáka se ukázalo, že je někdy schopen chybu najít a opravit, avšak v další,                nové  situaci  ji  zopakuje.  Jednou  z příčin  je  koncentrace  na  jiný  problém  –  pak  se                 dyskalkulická chyba zjeví zákonitě. Je to proces neustálého hledání, kdy je třeba zajistit, aby                žák neutíkal od problému, když neustále chybuje, a neztratil naději na úspěch.                 V některých případech žák chyboval také proto, že nesprávně uplatňoval instrukce, např. při                 dělení  160  :  40  přeškrtal  nuly  a správně  počítal  16  :  4  =  4.  Toto  pak  uplatnil  při  dalších                operacích, při sčítání 30 000 + 20 000 = 5 přeškrtal nuly a sečetl 3 + 2, při odčítání 150 000 =                50 000 opět přeškrtal nuly a odčítal 15 − 5 = 10, při násobení 300 · 20 škrtnul v každém čísle                 jednu nulu a počítal 30 · 2 = 60.                 Při práci s chybou je třeba upozornit na některé  zvláštní situace. Jednou z nich je nabízení                tzv. mnemotechnických pomůcek, kdy k chybě může přispět i pedagog.                                                               78","Mnemotechnická pomůcka: signál „více přičítám, méně odčítám“ je velmi zavádějící, neboť                při změně formulace úlohy, např. „mám 20 Kč, a to je více o 5 Kč, než máš ty“ používáme                 signál „více“, avšak při řešení úlohy je třeba odčítat. Analogicky „mám 20 Kč, a to je o 5 Kč                méně,  než  máš  ty“  obsahuje  signál  „méně“  a při  řešení  je  třeba  přičítat.  Jde  o  tzv. úlohy                s antisignálem.                  Mnemotechnická pomůcka při porovnávání čísel na číselné ose „číslo, které je dál od nuly, je                větší“ se vymstí při porovnávání čísel záporných, kde je číslo „dál od nuly“ menší. Při fixaci                na „nulu“, tj. počátek číselné osy, je pro žáky obtížné se od tohoto vnímání oprostit, potom je                 velmi obtížné, téměř nemožné, naučit žáky porovnávat čísla záporná.                     4.2  Didaktické pomůcky a metodické materiály                                  Didaktické pomůcky využívané při konkrétním učivu:                        Ke  zvládnutí  pamětného  sčítání  a odčítání  přirozených  čísel  v oboru  do  20  byly                       využívány mřížky a drobný materiál (žetony nebo uzávěry od PET lahví dvou barev).                       Svazky brček k modelování sčítání a odčítání v oboru do 20, později do 100.                      Počitadlo dvacítkové, stovkové.                       Stovková tabulka.                      Karty s čísly k modelování víceciferných čísel.                       Modely mincí a bankovek.                      Řádová tabulka pro víceciferná přirozená čísla                       Řádové počitadlo                      Montessori banka                       Řádové tabulky k modelování desetinných čísel.                       Tabulky k převodům jednotek.                      Modely zlomků.                       Geometrické tvary                      Modely těles, sítě mnohostěnů.                                                                         79","Další didaktické materiály:                 K procvičování operací s přirozenými čísly byly využívány:                        hry deskové, např. loto, domino, pexeso, bingo, karty pro násobení;                      hry  s čísly,  kdy  bylo  využito  zajímavých  vlastností  čísel  (např.  násobení  čísla  37                        násobky čísla 3), stavění „komínů“;                      využívání číselných schémat, housenky, pyramidy, křížovka se samokontrolou;                       hra na obchod, tvorba slovních úloh, práce s účtenkou;                      hra: „Jsi hlava rodiny, co všechno musíš zajistit?“;                       hry  pohybové,  vyhledávání  dvojic  nebo  skupin  se  stejným  výsledkem,  hledání                       „pokladu“;                       geometrické skládanky – tangram, tetrix aj.;                      stavby z krychlí.                 Při  využívání  didaktických  her  je  třeba  sledovat,  zda  je  využit  potenciál  hry  k rozvoji                 matematických  dovedností,  tj.  zda  ze  hry  vznikne  nějaký  matematický  poznatek.  Vždy  se                zajímáme o to,  jak dlouho  žák využívá konkrétní  pomůcky  a názor  a kdy je schopen přejít                 k matematickým zápisům a výpočtům, zda je vůbec schopen přejít k matematickým zápisům,                zda a kdy nastane požadovaná abstrakce.                                                      Podpůrné materiály                 Kromě pracovních a školních sešitů používal žák speciální sešit, ve kterém využíval cvičení                 k opakování učiva, které bylo nezbytné k dalšímu učivu, a schematická znázornění výpočtů.                K zápisu  víceciferných  čísel  a operací  s nimi  používal  čtverečkované  listy.  Pro  žáka  byly                zpracovávány speciální pracovní listy přizpůsobené jeho podpůrným opatřením.                                                                                      80","Závěrečná část                     Tato metodická příručka byla sestavena v rámci řešení projektu Kvalitní inkluzivní vzdělávání                žáků se speciálními vzdělávacími potřebami na základní a střední škole. Cílem bylo připravit                 metodický  materiál,  který  by  posloužil  pedagogům,  kteří  vzdělávají  žáky  se  specifickými                poruchami učení na základních školách, aby se v dané problematice orientovali a přistupovali                 ke vzdělávání žáků v matematice s fundovanou znalostí.                 V jednotlivých kapitolách metodické příručky jsou uvedena teoretická východiska související                s matematickým vzděláváním žáků se specifickými poruchami učení. První část je věnována                 specifičnosti didaktiky matematiky a specifičnosti matematiky jako výukového předmětu na                základní  škole  se  zřetelem  k žákům,  u kterých  je  diagnostikována  některá  z poruch  učení.                Ve druhé části jsou vymezeny základní pojmy související se specifickými poruchami učení                 a jejich vlivem na úspěšnost žáků v matematice. Tato část je věnována zejména dyskalkulii,                jejím projevům a dalším faktorům, které mají vliv na vzdělávání v matematice. Ve třetí části                 je  uveden  dílčí  projekt  a jeho  řešení.  Poslední  část  příručky  obsahuje  didaktické  postupy,                metody a formy práce a pomůcky, které se osvědčily při aktivitách s inkludovaným žákem.                Byly  zpracovány  klíčové  aktivity,  které  byly  zaměřeny  zejména  na  obtížnější  učivo                 matematiky. Při realizaci aktivit se ukázalo, že byly prospěšné pro mnoho dalších žáků třídy.                 K úspěšnému vzdělávání přispěla významnou měrou zkušená a erudovaná pedagožka, která                poskytovala  žákovi  individualizovanou  výuku  v rámci  běžné  třídy  základní  školy.  Veškerá                 péče  přispěla  ke  změně  postojů  žáka  k matematice  a  k postupnému  zvýšení  sebevědomí                a samostatnosti  při  řešení  úloh.  K úspěšné  realizaci  klíčových  aktivit  přispěla  i spolupráce                 s asistentkou.                 Naší  dlouholetou  snahou  je  docílit  matematického  vzdělávání  žáků  se  specifickými                poruchami učení tak, aby se zbavili obav z matematiky a dosáhli na takové vzdělání, které jim                 umožní  zvládnout  základy  matematiky  potřebné  v jejich  profesi  a  v běžném  životě  a zvýší                jejich matematickou gramotnost. Navrhované aktivity, metody práce i pomůcky jim k tomu                 mohou napomoci.                                                                           81","Summary                     Education  of  pupils  with  learning  disabilities  has  been  in  the  centre  of  attention  of  teachers,                parents as well as the general public. Pupils, who face some problems in mathematics yet perform                well  to  outstandingly  in  other  subjects,  require  specific  approaches  when  being  taught                 mathematics.  When  solving  our  project  “Quality  Inclusive  Education  for  Pupils  with  Special                Educational  Needs  at  Primary  and  Secondary  School”  we  verified  several  ways  of  teaching                mathematics at an ordinary primary school, which might help included pupils to handle some of                their problems with this subject.                 When  educating  pupils  with  learning  disorders  it  is  necessary  that  teachers  are  familiar  with                theoretical standpoints of mathematics and didactics of mathematics accenting education of pupils                 with  learning  disorders.  It  is  necessary  that  teachers  are  sensitive  to  specific  features  of                mathematics as a subject, which should be given attention especially with respect to educating                pupils with learning disorders. Didactics of mathematics in its current discourse focuses on pupils                 and their cognitive processes.                Furthermore,  one  needs  to  be  familiar  with  definitions  of  various  notions  related  to  learning                 disorders  in  mathematics  and  their  influence  on  success  of  pupils  in  mathematics  (this  is                especially  the  case  of  dyslexia,  dysgraphia  and  dysorthography).  Special  attention  needs  to  be                paid to dyscalculia, its symptoms and chances for reeducation. Individuality of every single pupil                is  dominant  during  cognition  of  mathematical  notions,  and  requires  complex  approaches  of                 teachers and parents tailored to every pupil’s needs.                 When solving our project “Quality Inclusive Education for Pupils with Special Educational Needs                at Primary and Secondary School” we focused on teaching mathematics with respect to the needs                of the target group of our project. The aim of KA6, module 9, was to focus on teaching pupils                with learning disorders, especially those in mathematics. Pupils we worked with were included in                 a regular  primary  school  classes.  Key  activities  had  been  prepared  in  order  to  introduce  new                approaches to teaching pupils with learning disorders in heterogeneous classes, with respect to                development and strengthening of pupils’ competences. Our project gave a positive outcome in                changing attitudes of the included pupils to mathematics and improvement of their results. Also,                the structured way of teaching mathematics helped most pupils in the class  – those who faced                 some problems with mathematics yet had not been diagnosed with learning disorders – to better                grasp the subject matter.                 During the project, several methodological materials, tools and techniques were prepared. These                were used during the specific work with the included pupils. This way of teaching can help to                develop mathematical literacy of pupils with learning disorders and their inclusion in common                life. The appendices contain examples of didactic materials we used.                                                               82","Literatura                     Bartoňová, M. (Ed.). (2007). Specifické poruchy učení v kontextu vzdělávacích oblastí RVP                   ZV. Brno: Paido.                 Bartoňová,  M.  (2007).  Kapitoly  ze  specifických  poruch  učení  I.  Vymezení  současné                   problematiky. Brno: PdF MU.                 Bartoňová, M. (2007). Kapitoly ze specifických poruch učení II. Brno: PdF MU.                Bartoňová,  M.,  \&  Vítková,  M.  (Eds.).  (2007).  Přístupy  ke  vzdělávání  žáků  se  specifickými                   poruchami  učení  na  základní  škole.  Sborník  z konference  s mezinárodní  účastí.  Brno:                    Paido.                Babtie, P., \& Emerson, J. (2018). Dítě s dyskalkulií ve škole. Praha: Portál.                 Bednářová,  J.,  \&  Šmardová,  V.  (2011).  Diagnostika  dítěte  předškolního  věku.  Brno:                   Computer Press, a. s.                Blažková, R. (2017). Didaktika matematiky se zaměřením na specifické poruchy učení. Brno:                    Munipress.                Blažková, R. (2005). Training teachers for teaching pupils with learning disorders. London:                    Lewisham college.                Blažková,  R.  (2006).  Školní  vzdělávací  program  a možnosti  podpory  žáků  se  specifickými                    vzdělávacími  potřebami  v matematice.  Studijní  materiály  k projektu  Podíl  učitele                   matematiky ZŠ na tvorbě školního vzdělávacího programu. Praha: JČMF.                Blažková,  R.,  Matoušková,  K.,  Vaňurová,  M.,  \&  Blažek,  M.  (2007).  Poruchy  učení                    v matematice a možnosti jejich nápravy. Brno: Paido.                Blažková,  R.,  Matoušková,  K.,  \&  Vaňurová,  M.  (2011).  Kapitoly  z didaktiky  matematiky.                    Slovní úlohy a projekty. Brno: PdF MU.                Blažková, R., Matoušková, K., \& Vaňurová, M. (2013). Zlomky. Pracovní sešit pro 4. ročník                    ZŠ. Praha: Alter.                Blažková, R., Matoušková, K., \& Vaňurová, M. (2011). Desetinná čísla. Pracovní sešit pro 5.                   ročník ZŠ. Praha: Alter.                 Blažková, R. (2013). Matematická cvičení pro dyskalkuliky. Stařeč: Infra.                Blažková, R. (2014). Matematická cvičení pro dyskalkuliky 2. Stařeč: Infra.                 Blažková, R. (2011). Zajímavá geometrie pro každého. E-learning, výukové publikace. Brno:                   MU.                Budínová,  I.  (2015).  Mami,  tati,  já  těm  zlomkům  nerozumím.  1.  stupeň  ZŠ.  Brno:  Edika,                    Albatros Media.                                                                83","Budínová,  I.  (2015).  Mami,  tati,  já  těm  zlomkům  nerozumím.  2.  stupeň  ZŠ.  Brno:  Edika,                   Albatros Media.                 Čejková, M. (2018). Podpora žáků se speciálními vzdělávacími potřebami v Irsku (Seminární                   práce). Brno: PdF MU.                ČŠI (2018). Zpráva o možnostech sledování inkluzivních přístupů na úrovni školy. Dostupné                    z www.csi.cz/inkluze                Fontana, D. (1997). Psychologie ve školní praxi. Praha: Portál.                 Fuchs,  E.,  Lišková,  H.,  \&  Zelendová,  E.  (2015).  Rozvoj  předmatematických  představ  dětí                   v předškolním věku. Praha: JČMF.                 Hejný,  M.,  \&  Kuřina,  F.  (2009).  Dítě,  škola  a matematika:  konstruktivistické  přístupy                   k vyučování. 2., aktualizované vydání. Praha: Portál.                Hejný, M., \& Stehlíková, N. (1999). Číselné představy dětí. Praha: PdF UK.                 Hejný,  M.,  et  al.  (2004).  Dvacet  pět  kapitol  z didaktiky  matematiky,  1.  a 2. díl.  Praha:                   Univerzita Karlova.                 Chinn, S. (2012). More Trouble with Maths. London: Routledge.                Chinn,  S.  (Ed).  (2015).  The  Routledge  International  Handbook  of  Dyscalculia  and                    Mathematical Learning Difficulties. London, New London: Routledge.                Chinn, S. (2019). Maths Learning Difficulties, Dyslexia and Dyscalculia. 2. vydání. London,                   Philadelphia: Jessica Kingsley Publishers.                 Kaslová, M. (2010). Předmatematické činnosti v předškolním vzdělávání. Praha: Raabe.                Košč, L. (2003). Psychológia matematických schopností. Praha: SPN.                 Košč, L. (1985). Psychodiagnostika matematických schopností, ich poruch a narušení u detí.                   Bratislava: Metod. Mater. VÚDPaP.                Maňák, J., \& Švec, V. (2003). Výukové metody. Brno: Paido.                 Matějček, Z. (1974). Vývojové poruchy učení. Praha: SPN.                Matějček, Z. (1987). Dyslexie. Praha: SPN.                 Matějček, Z (1993). Dyslexie – specifické poruchy čtení. Jinočany: H\&H.                Matolín,  A.  (1950).  Početnice  pro  pátou  třídu  obecných  škol  pětitřídních  až  osmitřídních.                   Praha: Státní nakladatelství.                 Molnár, J., Schubertová, S., \& Vaněk, V. (2007). Konstruktivismus ve vyučování matematice.                   Olomouc: Přírodovědecká fakulta UP.                 Musser,  G.  L.,  Peterson,  B.  E.,  \&  Burger,  W.  F.  (2013).  Mathematics  for  Elementary                   Teachers. A Contemporary Approach. 10. vydání. Wiley.                 Nováková, E., \& Novák, B. (2019). Matematická pregramotnost a učitelé mateřských škol.                   Brno: MU.                Novák, J. (2004). Dyskalkulie. Havlíčkův Brod: Tobiáš.                                                              84","Pátek, F., \& Trajer, T. (1934). Mladý počtář. Početnice pro 4. postupný ročník obecných škol                   československých. Praha: Státní nakladatelství.                 Pavlíčková, L. (2014). Poruchy matematických schopností žáků s dyskalkulií a jejich vliv na                   řešení učebních úloh ve fyzice a v matematice (Disertační práce). Brno: PdF MU.                Piaget, J. (1997). Psychologie dítěte. Praha: Portál.                 Pokorná, V. (1997). Teorie, diagnostika a náprava specifických poruch učení. Praha: Portál.                Pokorná, V. (1998). Cvičení pro děti se specifickými poruchami učení. Praha: Portál.                 Pokorná, V. (2010). Vývojové poruchy učení v dětství a dospělosti. Praha: Portál.                Polgáryová,  E.,  et  al.  (2015).  Diagnostika,  vzdelávanie,  hodnotenie  a testovanie  žiakov  se                    zdravotným znevýhodněním. Bratislava: NÚCMV.                Portešová, Š., et al. (2014). Rozumově nadaní studenti s poruchou učení. Brno: Munipress.                Průcha, J., Walterová, E., \& Mareš, J. (1998). Pedagogický slovník. Praha: Portál.                 Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Dostupné z www.rvp.cz                Simon, H. (2006). Dyskalkulie. Praha: Portál.                 Široká, L. (2008). Problematika dyskalkulie na základní a střední škole (Diplomová práce).                   Brno: PdF MU.                 Vítková, M. (Ed.). (2003). Integrativní školní (speciální) pedagogika. Základy, teorie, praxe.                   Brno: PdF MU.                Zelinková, O. (1996). Poruchy učení. Praha: Portál.                 Zelinková,  O.  (2001).  Pedagogická  diagnostika  a individuální  vzdělávací  program.  Praha:                   Portál.                 Zelinková, O. (2005). Specifické poruchy učení, nové poznatky, výsledky výzkumů. In M.                   Bartoňová (Ed.), Edukace žáků se speciálními vzdělávacími potřebami. Brno: MU.                   INTERNETOVÉ ODKAZY                 http://www.europan-agency.org                http://www.msmt.cz                http://www.vuppraha.cz                                                                               85","Seznam tabulek, grafů, obrázků, zkratek                      Seznam tabulek                  Tab. 1: Proces při vytváření pojmu přirozené číslo.................................................................. 18                 Tab. 2: Dílčí funkce matematických schopností ...................................................................... 43                Tab. 3: Přehled počtu žáků se speciálními vzdělávacími potřebami ........................................ 59                Tab. 4: Přehled počtu obyvatel města Brna .............................................................................. 68                    Seznam grafů                  Graf 1: Spojnicový diagram znázorňující změny počtu obyvatel v letech 2015–2019............ 68                 Graf 2: Sloupkový diagram znázorňující změny počtu obyvatel v letech 2015–2019 ............ 69                   Seznam obrázků                  Obr. 1: Deficity dílčích funkcí matematických schopností ...................................................... 43                 Obr. 2: Mřížka ke znázornění sčítání přirozených čísel v oboru do 20. .................................. 71                Obr. 3: Mřížka ke znázornění odčítání přirozených čísel v oboru do 20. ................................ 71                 Obr. 4: Znázornění sčítání a odčítání pomocí svazku brček. ................................................... 71                Obr. 5: Kartičky k modelování víceciferných čísel. ................................................................. 71                    Seznam zkratek                  ČŠI       Česká školní inspekce                APIV      Akční plán pro inkluzivní vzdělávání                 GDPR      General Data Protection Regulation                RVP ZV  Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání                 SDQ       Strenghts Difficulties Questionnaire                SPU       Specifické poruchy učení                SVP       Specifické vzdělávací potřeby                                                                      86","Jmenný rejstřík                                                                     Kuřina, F.                     16, 53                B                                                                Květoň, P.                        10                Bazalová, B.                        6                 Bednářová, J.                      18           L                 Blažková, R.         6, 22, 24, 28, 29          Lišková, H.                       18                 Budínová, I.                       28           Locke, J.                         32                   Č                                               M                 Čejková, M.                        60           Maňák, J.                         16                                                                 Mareš, J.                         52                D                                                                Matějček, Z.                   32, 33                Dewey, J.                          52                                                                Matolín, A.                       17                 F                                               Matoušková, K.                 28, 29                  Fuchs, E.                      18, 52           Molnár, J.                        16                  H                                               N                 Hejný, M.                  11, 16, 53           Novák, B.                      11, 18                  Herbart, J. F.                     32           Novák, J.                      35, 37                 Heveroch, A.                       32           Nováková, E.                      18                  CH                                              P                  Chinn, S.                      41, 59           Pavlíčková, L.                    42                 Chlup, O.                          32           Pátek, F.                         17                                                                 Pestalozzi, J. H.                 32                K                                                                Piaget, J.                     52, 76                Kaslová, M.                        18                                                                Pokorná, V.                       33                Komenský, J. A.            10, 32, 52                                                                Portešová, Š.                     41                Košč, L.                       35, 36                                                              87","Průcha, J.                         52                   R                 Rotterdamský, E.                   32                  S                 Spear-Swerling, L.                 33                  Stehlíková, N.                     16                  Š                  Šmardová, V.                       18                 Švec, V.                           16                  T                 Trajer, J.                         17                   V                 Vaňurová, M.                   28, 29                  Vítková, M.                      8, 9                 Vygotskij, L. S.                   76                  W                 Walterová, E.                      52                   Z                 Zelendová, E.                      18                                                                              88","Věcný rejstřík                                                                    číselná řada                            18                A                                                               číselné představy                   18, 47                Abstrakce                        11, 17, 18    číslice                                 18                AHA efekt                               55     číslo                 akalkulie                               38       desetinné                             28                akční plán pro inkluzivní vzdělávání     7       jednociferné                          18                algoritmus                              77       přirozené                             17                 analogie                             22, 23      racionální                            28                analýza                                          víceciferné                       18, 21                   dat SDQ-CZ                            73     číslovka                                18                  příčin problémů                       42     čtení čísel                             18                  sluchová                              45                   zraková                               45     D                antisignál                              27                                                               deficity dílčích funkcí matematických                aplikace                                17                                                                  schopností                           42                aplikační úlohy                         24                                                               dělení                              21, 28                asistent                             59, 64                                                                 jednociferným dělitelem               97                                                                  dvojciferným dělitelem               103                B                                                               desetinné číslo                         28                bariéra                                        desetinný zlomek                        28                   psychická                             49     diagnostika                                                                 v PPP                                 55                C                                                pedagogická                         7, 55                 cíl projektu                            62     diagram                                 29                 cíle dílčí                              62     didaktické                cílová skupina                          62       materiály                             80                                                                 pomůcky                               79                 Č                                                postupy                               75                                                               didaktická                Česká školní inspekce                   58       transformace                          14                 číselná soustava                               didaktika                   desítková                          21, 23      obecná                                13                  šedesátková                           24       matematiky                        10, 11                                                             89","diferenciace                  sluchová                              45     G                   zraková                               44     geometrie                               29                dílčí funkce matematických schopností42, 43      konstrukční                           30                dovednost                                        početní                               30                   komunikativní                         65       prostorová                        29, 31                  vyjadřovací                           65       rovinná                           29, 31                 dyskalkulie                             35     geometrická představivost               31                  grafická                              37     grafomotorika                           48                   ideognostická                         37     gramotnost                  lexická                               36       čtenářská                             57                  operační                              37       ekonomická                            57                   praktognostická                       36       finanční                          17, 57                  verbální                              36       matematická                       56, 57                 dysgrafie                               34                dyslexie                                34     H                 dysmuzie                                34                                                               heterogenní kolektiv                     7                dysortografie                           34                                                               hypokalkulie                            37                dyspinxie                               34                                                               hra didaktická                      72, 80                dyspraxie                               34                                                                CH                E                                                               chování                etika výzkumu                           63                                                                 externalizující                       73                                                                 internalizující                   73, 74                F                                                                 prosociální                       73, 74                formativní hodnocení                     7                 funkce                                         I                  kognitivní                         43, 46                                                               Individuální                  lineární                              29                                                                 plán                                  56                  motorické                          43, 47                                                                 přístup                        56, 64, 67                  nepřímá úměrnost                      29                                                                 vzdělávání                          7, 64                  percepční                          43, 44                                                               informační technologie                  16                  přímá úměrnost                        29                                                               inkluze                       5, 58, 59, 66                                                                  J                                                              90","jazyk matematiky                     50, 65      práce s chybou                        78                jednotky                                         přímých instrukcí                     75                   času                             23, 126       rozčlenění postupu                    77                  délky                            23, 117       využívání jemných metodických řad  77                  hmotnosti                        23, 125     metodická řada úloh                     67                   měr                              23, 117     metody práce                 14, 15, 31, 75                  objemu                           23, 124     metodika matematiky                     10                   obsahu                           23, 122     metodologie                             63                                                               motivace                                12                K                                              motorika                         43, 47, 52                  kalkulastenie                           37       hrubá                                 48                  didaktogenní                          37       jemná                                 47                  emocionální                           37     multisenzoriální přístup         52, 55, 71                   sociální                              37     myšlení                             43, 46                klasifikace dyskalkulie          36, 37, 38                 klíčové aktivity                         5     N                kompenzace                           55, 67    násobení                         21, 22, 27                komunikace                            6, 54    negace                                  17                 koncentrace                             46                konstruktivismus                 16, 52, 65    O                 kontrolní skupina                       62     odčítání                         21, 22, 26                koordinace                                     oligokalkulie                           38                   senzomotorická                        48     operace                  vizuomotorická                        48       s přirozenými čísly                   21                kritéria dyskalkulie                    39       pamětné                               22                                                                  písemné                           23, 77                M                                              orientace                 manipulativní činnosti                  31       pravolevá                             44                 matematika                       11, 13, 55      v prostoru                            44                materiály podpůrné                      80       v rovině                              44                metoda                                         osobnost                   fixační                               78       učitele                               49                  individuálního přístupu               75       žáka                                  48                   logické návaznosti učiva              76                  jemných metodických řad               77                   postupně rozvíjejícího se učení       76                                                            91","proces abstrakce                        17                P                                              program počítačový                  16, 72                 paměť                        43, 46, 53, 56    představy                   sluchová                              45       předčíselné                       17, 47                  zraková                               45       předmatematické                       18                 percepce                                         číselné                               47                  auditivní                             43       matematické                           18                  vizuální                              43     přirozené číslo                         17                 počítání                                       přiřazování                             17                  po jedné                           23, 65    příčiny neúspěchu                       42                   pamětné                            22, 65    přístup                  písemné                               66       instruktivní                      12, 75                pomůcky                                 79       konstruktivistický                16, 52                 postupy didaktické                      75       multisenzoriální                  52, 71                porovnávání                                      sekvenční                             50                   přirozených čísel                     19       transmisivní                      17, 56                  zlomků                                28     psaní číslic                            18                poruchy                   učení                                 33     R                  psychického vývoje                    33     Rámcový vzdělávací program ZV         6, 13                 poziční desítková soustava              23     reedukace                           55, 67                pozornost                               46     rodiče                                  49                 práce                                          rozklad čísla                       21, 22                  s daty                                29     rozšiřování číselného oboru             18                  se symboly                            18     rytmus                                  46                 problémy žáků v oblasti                  geometrie konstrukční                 30     Ř                   geometrie početní                     30     řeč                                     47                  geometrických představ                30                   chápání přirozeného čísla             19     S                  inkludovaného žáka                 65, 66                                                               samostatnost                        54, 56                  jednotek měr                          24                                                               sebedůvěra                              54                  operací s čísly                       23                                                               sekvenční přístup                       50                  porovnávání přirozených čísel         20                                                               sčítání                  slovních úloh                         25                                                                 pamětné                               51                  zaokrouhlování                        20                                                             92","písemné                               66     uspořádání                              17                slovní úlohy                            24                   jednoduché              24, 26, 27, 28 67    V                  složené                               28     výuka matematiky                        64                sluch                                   52     výuka                 soustava                                         diferencovaná                         17                  desítková                             23       individualizovaná                     17                   šedesátková                           25       individuální                          64                speciální vzdělávací potřeby             5     výukové strategie                       64                 specifické                                     vývojová dyskalkulie                    35                  poruchy počítání                       5     vzdělávání inkluzivní                 5, 58                  poruchy učení               10, 32, 33,34    vztah                   vzdělávací potřeby                  5, 44      matematiky a didaktiky matematiky  13                specifika didaktiky matematiky       11, 55      obecné didaktiky a didaktiky matematiky                 strategická cesta                        7                                             13                strategie                                      vztahy                   výukové                               64       méně, stejně, více                    19                  žáka                               22, 64      n krát více, méně                     26                symbolika                               65       o n více, méně                        27                 symptomy dyskalkulie                    39                syntéza                                        Z                   sluchová                              45                                                               zaměření didaktiky matematiky na                  zraková                               45                                                                 aplikace učiva                        17                                                                  metody práce                          15                T                                                                 obsah učiva                           14                technologie informační                  16       poznávací procesy                     15                teorie vyučování matematiky             10     zaokrouhlování čísel přirozených        20                 transmisivní přístup                 16, 56    zápis čísla                             18                třídění                                 17     závislosti                              29                 typologie žáků                          41     zkušenosti ze zahraničí                 59                                                               zlomek                                  28                U                                                                 desetinný                             28                úměrnost                                       znalosti                   přímá                                 39       kontextuální                          12                  nepřímá                               39       procedurální                          12                 úspěch                                  56     znaky pro porovnávání                   20                                                            93","zrak                                    52                   Ž                 žák                  dvojí výjimečnosti                 15, 41                   nadaný                                                     41                  se speciálními vzdělávacími potřebami                                                      41                  se specifickými poruchami učení       10,                                                  33, 41, 56                  sociálně znevýhodněný              42                  se zdravotním postižením           42                                                                                                                    94","Přílohy                     Příloha č. 1: Formuláře SDQ-Cze dotazníku ........................................................................... 96                 Příloha č. 2: Vstupní test .......................................................................................................... 97                 Příloha č. 3: Metodický materiál pro žáky s SPU – dělení jednociferným číslem ................... 98                Příloha č. 4: Metodický materiál pro žáky s SPU – dělení dvojciferným číslem................... 104                 Příloha č. 5: Slovní úlohy ....................................................................................................... 110                 Příloha č. 6: Pracovní listy ..................................................................................................... 114                 Příloha č. 7: Jednotky měr ...................................................................................................... 118                 Příloha č. 8: Mřížka pro sčítání a odčítání ............................................................................. 130                Příloha č. 9: Karty s čísly – znázornění více ciferného čísla .................................................. 131                 Příloha č. 10: Využití čtverečkovaného papíru k zápisu čísel podle řádu .............................. 132                 Příloha č. 11: Instruktivní postup pro dělení .......................................................................... 133                 Příloha č. 12: Pomůcka k převodům jednotek měr – schody ................................................. 134                 Příloha č. 13: Loto .................................................................................................................. 135                Příloha č. 14: Domino ............................................................................................................ 137                 Příloha č. 15: Domečky – půda sklep ..................................................................................... 139                 Příloha č. 16: Pyramidy .......................................................................................................... 140                 Příloha č. 17: Křížovka se samokontrolou ............................................................................. 141                 Příloha č. 18: Práce žáka – zkontrolovat pořadí ..................................................................... 142                                                                                          95","Příloha č. 1: Formuláře SDQ-Cze dotazníku                 DOTAZNÍK PŘEDNOSTÍ A NEDOSTATKŮ (SDQ-Cze)                 Pro každou položku vyznačte podle toho, zda s tvrzením rozhodně souhlasíte (je definitivně pravda), spíše                souhlasíte (tak trochu pravda), nebo že to tak není (není pravda). Pomůže nám, jestliže odpovíte na všechny                položky, jak nejlépe dovedete. A to i v případě, že si nejste absolutně jistý/á. Odpovídejte, prosím, podle toho,                jak se dítě chovalo během posledních 6 měsíců nebo v tomto školním roce.                Jméno dítěte .............................................................................................. M/Ž                Datum narození ...........................................................                                                                                Není     Tak trochuDefinitivně                                                                               pravda     pravda   pravda                Snaží se chovat pěkně k druhým lidem. Bere ohled na jejich pocity   □       □        □                Je neklidný/á. Nevydrží dlouho bez hnutí                         □          □        □                 Často si stěžuje na bolesti hlavy, žaludku nebo na nevolnost     □          □        □                Obvykle se dělí s druhými (o jídlo, hry, psací potřeby aj.)      □          □        □                 Často má záchvaty vzteku nebo výbušnou náladu                    □          □        □                Je spíše samotář/samotářka. Má sklon hrát si sám/sama            □          □        □                Je celkem poslušný/á. Obvykle dělá, co si dospělí přejí          □          □        □                Má hodně starostí, často vypadá ustaraně                         □          □        □                  Vždy ochotný/á pomoct, když si někdo ublíží, je zarmoucený nebo mu je zle   □   □    □                 Je neposedný/á                                                   □          □        □                Má alespoň jednoho dobrého kamaráda nebo kamarádku               □          □        □                Často se pere s jinými dětmi nebo je šikanuje                    □          □        □                 Je často nešťastný/á, skleslý/á nebo smutný/á                    □          □        □                Je vcelku oblíbený/á mezi jinými dětmi                           □          □        □                Snadno se dá vyrušit. Špatně se soustředí                        □          □        □                 Je nervózní nebo nesamostatný/á v nových situacích. Snadno ztratí sebedůvěru  □   □   □                 Je laskavý/á k mladším dětem                                     □          □        □                Často lže nebo podvádí                                           □          □        □                Jiné děti ho/ji šikanují                                         □          □        □                 Často dobrovolně pomáhá druhým (rodičům, učitelům, jiným dětem)    □        □        □                Přemýšlí, než něco udělá                                         □          □        □                Krade – doma, ve škole nebo jinde                                □          □        □                 Lépe vychází s dospělými než jinými dětmi                        □          □        □                Má mnoho strachů. Snadno se poleká                               □          □        □                Vytrvá u úkolu do konce, vydrží dávat pozor                      □          □        □                 Podpis ........................................................................... Datum ...........................................................................                           Rodiče/Učitele/Jiné Osoby:                            © Robert Goodman, 2005                                                     Děkuji za vaši pomoc                                                            96","Příloha č. 2: Vstupní test                                                  Opakujeme, co již umíme                      1.  Vypočítej:                   5  ∙ 6  = ______         3  ∙  8  = _____      9  ∙  6  = ______      8  ∙  7  = ______                  48 : 6 = _____            27 : 3 = _____  35 : 7 = _____  45 : 5 = _____                  31 : 4 = _____            46 : 6 = _____  19 : 3 = _____                        2.  Sčítej písemně:                                 345              159              856                               423              538                97                          3. Odčítej písemně:                                  764              431              634                               - 123            - 217            - 377                         4. Eliška si koupila dva jogurty a jednu tyčinku. Jeden jogurt stál                        12 Kč, tyčinka stála 15 Kč. Kolik korun zaplatila?                         5. Jonáš  měl  ušetřeno  1 000  Kč.  Koupil  si  Lego  za  560 Kč                        a Pokemony za 199 Kč. Kolik Kč mu zůstalo?                                                                    97","Příloha č. 3: Metodický materiál pro žáky s SPU – dělení jednociferným číslem                                     PÍSEMNÉ DĚLENÍ JEDNOCIFERNÝM DĚLITELEM                     1.  Úvod                 Písemné dělení je jedním z nejnáročnějších částí učiva matematiky. Jednak je třeba mnoho                 předchozích vědomostí k jeho zvládnutí, jednak má algoritmus písemného dělení jiný tvar i                jiný postup než algoritmy ostatních operací. Algoritmy písemného sčítání, odčítání, násobení                 se začínají počítat od jednotek, algoritmus písemného dělení začíná u nejvyššího řádu. Také                tvar algoritmu  písemného dělení má horizontální  i  vertikální  úroveň,  což ostatní algoritmy                nemají.                  Pro  žáky  se  specifickými  poruchami  učení  i  pro  žáky  s problémy  v matematice  obecně  je                třeba, podle individuálních zvláštností, rozhodnout se pro některá opatření:                     a)  Sledovat,  zda  žák  chápe  správně  operaci  dělení  (dělení  na  několik  stejných  částí,                        dělení podle obsahu).                    b)  Motivovat žáka vhodnými úlohami, ve kterých se používá dělení a které mají tématiku                       z oblasti, která žáka zajímá.                     c)  Počítat s čísly menších řádů (dvojcifernými, trojcifernými).                    d)  Vypracovat  systém  doplňování  toho  učiva,  které  žákovi  dělá  problémy,  využívat                        nových činností, vhodných her, příkladů se zajímavými výsledky.                    e)  Vždy provádět zkoušku správnosti jako nedílnou součást příkladu.                     f)  Hodnotit příklady výpočtem správných a nesprávných spojů s/n                       (v příkladu je např. 6 spojů, chyba je jen v jednom - 5/1), neškrtnout celý příklad.                     g)  Motivovat žáky k samostatné tvorbě úloh.                    h)  Využití grafické komunikace – používat vyznačení šipkami, čtverečkovaných papírů                       k zápisu čísel, barevného zápisu číslic apod.                     i)  Vyznačování počtu cifer podílu, např.  5 732 : 3 =  . . . .  ,   1 275 : 5 =  . . .                    j)  V případě, že selhávají všechna opatření, volit jako kompenzační pomůcku kalkulátor.                     2.  Předpokládané znalosti                 Pro zvládnutí algoritmu písemného dělení je potřebné mít zvládnuté předcházející učivo:                        Násobení v oboru násobilek                      Dělení pamětné                                                             98","  Dělení se zbytkem                       Dočítání, odčítání                      Zaokrouhlování                      Provádění odhadů                  Bylo  by  vhodné  vypracovat  systém  opakování  pro  každou  hodinu,  aby  se  učivo  neustále                vybavovalo a udržovalo v paměti.                     3.  Metodická řada je vytvořena na základě postupu:                     3.1  Motivace dělení                           3.4  První cifra dělence je menší než                                                                        dělitel                    3.2  První cifra dělence je větší než                         dělitel (případně je rovna děliteli),     3.5  Dělení se zbytkem                         dělení je beze zbytku                                                                   3.6  Čísla s nulami                    3.3  První cifra dělence je větší než                                                                   3.7  Zábavné úlohy                         dělitel, je se zbytkem                  3.1  Motivační úlohy                 Výběr vhodných úloh, při kterých se využívá dělení a které jsou obsahově zaměřené na zájmy                 žáka, např.                     1.  Na výletě jsme ušli 68 km za 4 dny. Kolik kilometrů jsme ušli průměrně za jeden den?                    2.  Rozděl 625 Kč mezi 5 osob tak, aby měli všichni stejně. Kolik Kč bude mít každý?                    3.  Ze čtyř stromů jabloní jsme sklidili 288 kg jablek. Kolik kilogramů jablek jsme sklidili                        průměrně z jednoho stromu?                    4.  Zahradník  sklidil  140  kg  jahod  a  dával  je  do  košíků  po  dvou  kilogramech.  Kolik                        košíků naplnil?                    5.  Marek  si  šetří  do  pokladničky  pětikoruny.  Již  má  ušetřeno  860  Kč.  Kolik  je  to                       pětikorun?                    3.2  Úlohy typu 84 : 4                 Typy úloh pro opakování                          8 : 4    9 : 3   6 : 2    8 : 2   6 : 3    7 : 7                  Dělte písemně:                           64 : 2                           684 : 2                                                            99","Vysvětlení postupu (jak začínat, kam co napsat):                 6 : 2 = 3                             6 : 2 = 3                 3 ∙ 2 = 6,  6 a 0 je 6                3 ∙ 2 = 6, 6 a 0 je 6                 2 ∙ 2 = 4,  4 a 0 je 4                8 : 2 = 4                  4 ∙ 2 = 8,  8 a 0 je 8                4 : 2 = 2                   Zápis algoritmu:                    64 : 2 = 32   Zk.  32        684 : 2 = 342  Zk.  342                  04                ∙  2       08                ∙   2                    0                64          04              684                                                    0                Poznámka. Je možné použít tzv. dlouhého dělení, kde se zapisují součiny a odečítají. Tento postup je                 vhodné  požít  jen  tehdy,  když  žáci  mají  problémy  se  současným  násobením  a  dočítáním.  Má  však                určitou nevýhodu – příliš mnoho řádků způsobuje další chyby plynoucí z nesprávných zápisů.                   Příklady – 3 úrovně – víceciferná čísla                     1.  Dělte písemně a provádějte zkoušky správnosti                 93 : 3          86 : 2         84 : 4          69 : 3        77 : 7          39 : 3                 628 : 2         639 : 3        484 : 4         666 : 6       846 : 2         428 : 2                 4 884 : 4       6 396 : 3      6 428 : 2       8 848 : 4     9 366 : 3       5 555 : 5                    3.3  Úlohy typu 51 : 3                 Typy úloh pro opakování (rozcvička)                  7 : 3           8 : 5          9 : 5           8 : 7         9 : 4           8 : 3                   Příklady jsou voleny tak, aby při prvním dělení zůstal nějaký zbytek a nový částečný dělenec                byl tak vytvořen ze zbytku a další sepsané číslice.                 75 : 5          84 : 3         68 : 4          96 : 4        84 : 6          98 : 7                 783 : 3         652 : 4        885 : 5         952 : 7       786 : 6         861 : 3                  5 648 : 4       8 625 : 3      9 456 : 6       9 248 : 8     8 792 : 7       7 375 : 5                                                             100","3.4  Úlohy typu 175 : 5                 Typy úloh pro opakování                  7 ∙ 8           9 ∙ 5          4 ∙ 7           6 ∙ 9         3 ∙ 7           8 ∙ 6                 18 : 5          38 : 7         49 : 6          23 : 3        31 : 4          23 : 9                   Protože první číslice podílu nemůže být nula, začínáme dělit:  17 : 5, dále pokračujeme podle                 předchozího postupu.                 186 : 3         245 : 5        152 : 4         644 : 7       736 : 8         384 : 6                 1 645 : 5       2 511 : 3      1 116 : 9       2 956 : 4     3 132 : 6       4 275 : 9                    3.5  Úlohy typu 749 : 6                   749 : 6 = 124  Zk.  124     744                  14                ∙  6          5                    29              774       749                      5                 428 : 3         738 : 5        618 : 4         516 : 9       795 : 8         513 : 6                 5 642 : 8       9 423 : 2      7 548 : 5       8 255 : 7     27 533 : 3      72 394 : 4                    3.6  Čísla s nulami                 1 001 : 7       4 207 : 7      8 000 : 6       6 5000 : 8    17 080 : 4      10 101 : 3                    3.7  Zábavné úlohy                  1.  Číslo 2 520 můžeme dělit všemi čísly od 2 do 9 beze zbytku. Přesvědčte se o tom.                  2.  Číslo 2 853 můžeme dělit beze zbytku třemi a devíti, ale nemůžeme je dělit beze zbytku                     šesti. Jestliže zaměníme pořadí číslic, nové číslo můžeme dělit beze zbytku šesti. Pokuste                    se najít nové číslo.                  3.  Jirka si napsal trojciferné číslo, tak, aby stovky a jednotky se lišily alespoň o 2 (např.                     752).  Napsal  číslo  s obráceným  pořadím  číslic  (257).  Od  většího  čísla  odečetl  menší.                    Rozdíl  těchto  čísel  můžeme  vždy  dělit  devíti  beze  zbytku.  Vyzkoušejte  to  na  jiných                    trojciferných číslech.                                                               101","4.  Dědeček slavil 75 roků. Jeho vnuk je třikrát mladší. Kolik roků je vnukovi?                  5.  Babička slavila šedesáté narozeniny. Její dcera je dvakrát mladší, její vnučka je šestkrát                    mladší. Kolik roků je dceři a kolik roků je vnučce?                    Výsledky                    3.1                  1.  V jednom dni jsme ušli průměrně 17 km.                  2.  Každý dostane 125 Kč.                 3.  Z jednoho stromu jsme sklidili průměrně 72 kg jablek.                  4.  Zahradník naplnil 70 košíků jahod.                 5.  Marek má 172 pětikorun.                    3.2                 31     43     21     23      11     13                 314    213    121    111     423    214                 1 221  2 132  3 214  2 212  3 122  1111                    3.3                 2 (zb.1)   1 (zb.3)    1 (zb.4)   1 (zb.1)    2 (zb.1)   2 (zb.2)                 15         28          17         24          14         14                  261        163         177        136         131        287                 1 412      2 875       1 576      1 156       1 256      1 475                    3.4                 56         45          28         54          21         48                 3 (zb.1)   5 (zb.3)    8 (zb.1)   7 (zb.2)    7 (zb.3)   2 (zb.5)                 62         49          35         92          92         64                 329        837         123        679         475        522                                                                102","3.5                 132 (zb.2)  147 (zb.3)     154 (zb.2)    57 (zb.3)     99 (zb.3)      85 (zb.3)                  705 (zb.2)  4 711 (zb.1)  1 509 (zb.3)  1 179 (zb.2)  9 177 (zb.2)  18 098 (zb.2)                   3.6                  143        601         1 333 (zb.2)           8 125      4 270      3 367                   3.7                      1.  Při dělení čísla 2 až 9 dostaneme postupně podíly:                        1 260,  840,  620,  504,  420,  360,  315,  280                     2.  Jsou to např. čísla 3 582, 5 238, atd. Číslo musí být sudé, tedy na místě jednotek musí                       být 2 nebo 8.                     3.  Platí vždy. Rozdíl je násobkem 9.                    4.  Vnukovi je 25 roků.                     5.  Dceři je 30 roků, vnučce je 5 roků.                                                                                                        103","Příloha č. 4: Metodický materiál pro žáky s SPU – dělení dvojciferným číslem                                  PÍSEMNÉ DĚLENÍ DVOJCIFERNÝM DĚLITELEM                    1.  Úvod                  Písemné dělení dvojciferným dělitelem je pro žáky s SPU velmi náročným učivem. Problémy                se vyskytují  v provádění odhadu první  cifry podílu, s počty  řádů podílu  a odhadem celého                podílu,  dále  pak  v potřebných  opravách  podílu  (zvětšení  nebo  zmenšení)  určeného  podle                 dělení, ale nepřesného.                 Další  skupinu  problémů  tvoří  nedokonale  zvládnuté  předcházející  učivo,  dyskalkulické                problémy  v operacích  s přirozenými  čísly,  nezvládnutí  základních  spojů  sčítání,  odčítání,                 násobení, dělení.                 Problémy se vyskytují také v oblasti zápisu algoritmu. Jednak udržení horizontální i vertikální                úrovně  algoritmu,  jednak  při  škrtání,  gumování,  přepisování  číslic  (dyskalkulie  grafická,                 dysgrafie).                 Časté  je  chybné  provádění  zkoušky  správnosti  –  žáci  buď  opisují  chybu  z výpočtu  dělení,                nebo chybují ve zkoušce.                  Nelze zanedbat ani psychické bariéry, kterými mohou být:                       Bezradnost při výpočtu.                      Obava udělat chybu.                       Obava z nezvládnutého dřívějšího učiva.                      Nezvládnutí pracovat s čísly, která obsahují nuly.                       Opravy při nesprávném zvolení podílu – bezradnost, co s nesprávně zvoleným číslem.                 Mezi podpůrná opatření zařazujeme:                       Metodické řady úloh. Úlohy řadíme podle toho, které žáci zvládají, které jsou pro žáky                        snadnější.                      Počítání s menšími čísly, např. do tisíce.                       Volíme „krátké“ (zkrácený zápis) nebo „dlouhé“ (zápis se se všemi součiny) dělení –                       podle  potřeb  žáka.  Vhodnější  je  začít  pracovat  se  zápisem  krátkým  a  v případě,  že                        mají žáci problémy s uchováním čísel v paměti, používat zápis dlouhý.                                                                     104","1 608 : 24 = 67   1 608 : 24 = 67                            168           - 144                            00             168                                           - 168                                            00                       Využíváme různých grafických záznamů, např.:                            zatrhávání číslic v dělenci (dole nebo nahoře, nejlépe tužkou),                                                            /                                                       / /                             6 2 /7 / 5 / : 25 =    6 2 7  5  : 25 =                            znázornění počtu číslic podílu pomocí teček nebo puntíků                             6 275 : 25 =   ˌ  ˌ  ˌ                            svislé čáry pro sepisovaná čísla                               6 275  :  25  =                              25                                127                                 25                            zápis odhadu barevně nad příklad                              600 : 30 = 2                              6 275 : 25 =                       Navrhujeme používání kompenzační pomůcky – kalkulátoru.                       Vždy provádíme zkoušku správnosti násobením.                 V rámci individuálního plánu je možné, při velkých problémech žáka, toto učivo vynechat,                naučit žáka používat kalkulátor (avšak funkčně) a dělit pouze jednociferným dělitelem.                    2  Provádění odhadů                 Provádění  odhadů  je  náročná  činnost,  proto  zvážíme,  do  jaké  míry  a  jak  budeme  se  žáky                 s SPU odhady využívat. Zpočátku volíme případy jednodušší a jasné (např. úlohy typu a), b),                c) v následujícím textu).                 Při určování první číslice podílu může žákům napomoci odhad výsledku. Odhady provádíme                 zpravidla pomocí zaokrouhlených čísel. Výsledek se může od odhadu poněkud lišit, protože                záleží  na  tom,  zda  zaokrouhlujeme  dělence  i  dělitele  nahoru  nebo  dolů.  V tom  případě                 provedeme opravu (podle potřeby první číslici dělence zmenšíme nebo zvětšíme).                                                                    105","a)  Dělence i dělitele zaokrouhlíme dolů, např.                        4 346 : 53             odhadneme  400 : 50 = 8 a počítáme dál:                        4 346 : 53 = 82                          106                               0                     b)   Dělence i dělitele zaokrouhlíme nahoru, např.:                        1 976 : 38             odhadneme  200 : 40 = 5 a počítáme:                        1 976 : 38 = 52                            76                               0                     c)  Dělence zaokrouhlíme dolů, dělitele nahoru, např.:                        2 016 : 48             odhadneme  200 : 50 = 4 a počítáme:                        2 016 : 48 = 42                            96                               0                     d)  Dělence zaokrouhlíme nahoru, dělitele dolů, např.:                        1 792 : 32             odhadneme  200 : 30 je přibližně 6. Protože 6 . 3 = 18 a náš                       dělenec je menší než 1 800, provedeme opravu odhadu a počítáme:                        1792 : 32 = 56                         192                            00                   Odhady  se  mohou  také  určovat  pomocí  desetinásobků  (dvacetinásobků,  atd)  dělitele.                Hledáme, mezi kterými násobky dělitele se podíl nachází, např.                     a)  660 : 40     10 . 40 = 400       20 . 40 = 800      400  <  660  <  800                        Číslo 660 je mezi čísly 400 a 800, tedy podíl bude větší než 10 a menší než 20.                         660 : 40 = 16      podíl je 16, zbytek 20                       260                         20                                                                    106","b)  382 : 12     30 . 12 = 360       40 . 12 = 480      360  <  382  <  480                        Číslo 382 je mezi čísly 360 a 480, tedy podíl bude větší než 30 a menší než 40.                        382 : 12 = 31      podíl je 31, zbytek 10                          22                         10                    3  Opakování dělení se zbytkem                 13 : 4        26 : 3         43 : 5        50 : 8        45 : 7        32 : 9                 62 : 7        23 : 8         35 : 6        33 : 4        15 : 2        57 : 9                    48 : 5        48 : 7         48 : 9        24 : 7        24 : 5        24 : 9                 70 : 8        50 : 7         80 : 9        40 : 6        30 : 4        20 : 7                    4  Metodická řada úloh                       Dělení násobky deseti, dělení je beze zbytku                        630 : 30           odhad:    6 : 3 = 2     (60 : 3 = 20)  první  číslici  podílu  zvolím                       2                         630 : 30 = 21      zkouška:   21                       030                          .30                         00                         630                         Př. 1)  Vypočítej příklady a prováděj zkoušku správnosti:                                a) 480 : 40  b) 260 : 20  c) 460 : 20  d) 770 : 70  e) 650 : 50  f) 960 : 80                        Podíl je jednociferné číslo, dělení je beze zbytku                        136 : 34           odhad     13 : 3 = 4 zb. 1     první číslici podílu zvolím 4                        136 : 34 = 4       zkouška:  34                                                    . 4                                                     136                         Př. 2)  Vypočítej příklady a prováděj zkoušku správnosti.                               a) 432 : 54  b) 126 : 18  c) 162 : 27  d) 120 : 24  e) 210 : 35  f) 104 : 26                                                            107","  První dvojčíslí dělence je větší než dělitel                        Př. 3)  Vypočítej příklady a prováděj zkoušku správnosti                                a) 675 : 25  b) 465 : 34  c) 496 : 16  d) 968 : 62  e) 989 : 23   f) 684 : 36                        První dvojčíslí dělence je menší než dělitel                        Př. 4)  Vypočítej příklady a prováděj zkoušku správnosti                               a) 2 432 : 38  b) 1 494 : 42  c) 1 116 : 18  d) 1 269 : 27  e) 1 007 : 53  f) 3 403 : 83                        Dělení se zbytkem                        Odhad:  10 : 2 = 5, volíme první číslici podílu 5                        958 : 17 = 56      zkouška:    56   952                        108                          . 17   +  6                           6                        952    958                         Př. 5)  Vypočítej příklady a prováděj zkoušku správnosti                                a) 4 288 : 63  b) 1 518 : 27  c) 1 378 : 26  d) 1 491 : 33  e) 3 160 : 42  f) 1 599 : 72                         Př. 6)  K procvičení                               a) 952 : 17    b) 405 : 15  c) 774 : 18  d) 888 : 37   e) 1 092 : 26   f) 101 : 13                                g) 4 284 : 63  h) 3 375 : 45  i) 1 335 : 36  j) 1 232 : 39  k) 4 249 : 72                   5  Slovní úlohy                      1.  Za jeden díl učebnice matematiky pro 26 žáků naší třídy bylo zaplaceno 1 118 Kč.                       Kolik Kč stojí jeden díl učebnice?                                                                            2                    2.  Zahrada tvaru obdélníku má obsah (výměru) 1 125 m . Její čířka je 25 metrů. Jaká je                       délka zahrady?                    3.  Do prodejny přivezli 12 přepravek banánů. Banánů bylo celkem 180 kilogramů. Kolik                        kilogramů banánů bylo v jedné přepravce?                    4.  Délka kroku  Filipa je 60 cm. Kolik kroků ujde, když přejde vzdálenost 90 metrů?                     5.  Za  kolik  hodin  ujede  autobus  vzdálenost  390  kilometrů,  když  jede  průměrnou                       rychlostí 65 kilometrů za hodinu?                    6.  Vymyslete si vlastní slovní úlohu, ve které využijete dělení dvojciferným dělitelem                                                             108","Výsledky                 3. Dělení se zbytkem                  3 (zb. 1)   8 (zb.2)   8 (zb. 3)   6 (zb.2)   6 (zb. 3)   3 (zb. 5)                 8 (zb. 6)   2 (zb. 7)   5 (zb 5)   8 (zb. 1)   7 (zb. 1   6 (zb. 3)                  9 (zb. 3)   6 (zb. 6)   5 (zb. 3)   3 (zb. 3)   4 (zb. 4)   2 (zb. 6)                 8 (zb. 6)   7 (zb. 1)   8 (zb: 8)   6 (zb. 4)   7 (zb. 2)   2 (zb. 6)                    4. Metodická řada úloh                   1.  a) 12   b) 13    c) 23   d) 11    e) 13   f) 12                   2.  a) odhad: 40 : 5 = 8, podíl je 8,                       b) odhad: 12 : 2 = 6 je třeba zvýšit, protože zbytek by byl 18, podíl je 7,                      c) odhad 16 : 3 je asi 5, podíl je 6,                       d) odhad: 12 : 2 = 6, podíl je 5,                      e) odhad: 21 : 4 je asi 5, podíl je 5,                       f) 10 : 3 je asi 3, podíl je 4                   3.  a) 23   b) 17    c) 31   d) 14    e) 43   f) 19                   4.  a) 64   b) 37    c) 52   d) 27    e) 62   f) 47    g) 19   h) 41                   5.  a) 68 zb. 4  b) 56 zb 6  c) 53 zb 7  d) 45 zb, 6  e) 75 zb. 10  f) 72 zb. 15                   6.  a) 56  b) 27   c) 43    d) 24   e) 42    f) 77   g) 68    h) 75   i) 37 (zb. 3)                      j) 31 (zb. 33)   k) 62 (zb. 66)                    5. Slovní úlohy                      1.  Jeden díl učebnice matematiky stojí 43 Kč.                    2.  Délka zahrady je 45 metrů.                    3.  V jedné přepravce bylo 15 kg banánů.                     4.  Filip udělal 150 kroků.                    5.  Autobus ujede vzdálenost 390 Km za 6 hodin.                                                                     109","Příloha č. 5: Slovní úlohy                 Jednoduché slovní úlohy na porovnávání pomocí vztahů „o n více“, „o n méně“                   1.  Nejprve zopakujeme nerovnosti (znázornění, zápis):                    •  Mám pět červených kuliček, dej mi o 3 více kuliček modrých.                    •  Mám 8 modrých kostek, dej mi stejně kostek žlutých.                     •  Mám 9 malých míčů, polož o 4 méně velkých míčů.                    2.  Řešíme úlohy, které jsou propedeutikou nerovnic:                     •  Honzík má 8 kuliček, Petr má více kuliček než Honzík. Kolik kuliček může mít Petr?                        Znázornění:  Honzík        o o o o o o o o                                      Petr (např.)  o o o o o o o o  o o o                          Petr může mít 9, 10, 11, …   kuliček. (obor do 20 – žáci vyberou jedno řešení, nebo –                       najdi alespoň tři řešení).                       •  Honzík  má 14 kuliček, Petr má méně kuliček než Honzík.  Kolik  kuliček může  mít                        Honzík?                        Znázornění:  Honzík        o o o o o o o o o o o o o o                                      Petr         o o o o o o o o                          Petr může mít  13, 12, … kuliček.                        (Vyber jedno řešení nebo najdi alespoň tři řešení)                                                                                    110","3.  Slovní úlohy charakterizované vztahy  „o n více“,  „o n méně“                    •  Lenka má 6 panenek, Jana má o 3 panenky více než Lenka. Kolik panenek má Jana?                        Znázornění:  Lenka         o o o o o o        6                                      Jana         o o o o o o  o o o   6 + 3                                                                      6 + 3 = 9                        Jana má 9 panenek.                                      o 3                        Zk:           9 › 6        (lepší je zkouška porovnáváním než odčítáním, nad čísla                        můžeme zapsat zkratky jmen děvčat, děti vidí, co které číslo znamená).                        Chybný názor:                            Jen jeden objekt  o o o o o o   ooo  děti  pak  mají  problémy  se  složenými                           slovními úlohami, kdy se ptáme „kolik měly dohromady“.                            Nepoužíváme mnemotechnickou pomůcku „více“ - sčítáme (viz další úlohy)                        •  Lukáš má 12 autíček, Ondra má o 3 autíčka méně než Lukáš. Kolik autíček má Ondra:                        Lukáš         o o o o o o o o o o o o   12                                      3                        Ondra         o o o o o o o o o        12 – 3                        (Jestliže Ondra má o 3 méně než Lukáš, Lukáš má o 3 více než Ondra.)                                                               12 – 3 = 9                        Ondra má 9 autíček.                                     o 3                        Zk.           9 ‹ 12                        Chybný názor:                            Buď jen jeden objekt:    o o o o o o o o o ø ø ø                            Nebo dva objekty:        Lukáš  o o o o o o o o o o o o                                                     Ondra  o o o o o o o o o ø ø ø                            Toto není znázornění úlohy na porovnávání, ale znázornění úlohy, např.                           Lukáš měl 12 kuliček, Ondra měl také 12 kuliček, ale 3 prohrál.                            Nepoužíváme mnemotechnickou pomůcku „méně“ – odčítáme  (viz další úlohy).                                                              111","•  Lenka má 9 panenek a to je o 3 více než má Jana Kolik panenek má Jana?                        Lenka         o o o o o o o o o  (Lenka má o 3 více než Jana)                                      3                        Jana          o o o o o o        (Jana má o 3 méně než Lenka)                                      9 – 3 = 6                        Jana má 6 panenek.                        Zk:           o 3                                      9 › 6                Podobně  formulujeme  a  řešíme  další  úlohy  a  dbáme,  aby  si  žáci  uvědomovali  vzájemný                 vztah:                 Když má jeden o několik víc než druhý, pak druhý má o tolik méně než první.                     •  Jana má 6 panenek a to je o 3 méně, než má Lenka. Kolik panenek má Lenka?                     •  Lukáš má 12 autíček a to je o 3 více než má Ondra. Kolik autíček má Ondra?                    •  Ondra má 9 autíček a to je o 3 méně než má Lukáš. Kolik autíček má Lukáš?                   Porovnávání rozdílem                      •  Katka má 8 pohádkových knih, Matěj má 14 pohádkových knih. Kdo z nich má více                       knih a o kolik? Kdo z nich má méně knih a o kolik?                        Katka         o o o o o o o o                        Matěj         o o o o o o o o o o o o o o                                      14 – 8 = 6                        Matěj má o 6 knih více než Katka.                        Katka má o 6 knih méně než Matěj.                        Zk:    o 6                               14 › 8                   Další úlohy:                     •  Pavel snědl 7 knedlíků se švestkami, Roman snědl o 4 knedlíky více než Pavel. Kolik                       knedlíků snědl Roman?                     •  Jitka ušetřila 20 Kč, Hana ušetřila o 5 Kč méně než Jitka. Kolik Kč ušetřila Hana?                                                              112","•  V bazénu  plavalo  17  děvčat  a  19  chlapců.    O  kolik  bylo  více  (méně)  děvčat  než                       chlapců?                     •  Marek je o 2 roky mladší než Tomáš. Zuzka je o 5 roků mladší než Tomáš.                        Co můžeme vypočítat?                        Kdo je nejmladší, kdo je nejstarší?                        O kolik roků je Zuzka mladší než Marek?                        Zuzce jsou 4 roky. Kolik roků je Tomášovi a kolik Markovi?                                                                                                                                113","Příloha č. 6: Pracovní listy                                                        Pracovní list 1                  Údaje o městě Brně                      1.  První zmínka v Kosmově kronice byla uvedena v roce 1091.                    2.  Hlavním městem Moravy se Brno stalo v roce 1641 po dobytí Olomouce švédskými                       vojsky.                     3.  V letech 1643 – 1645 obléhali Brno Švédové. Od té doby se na Petrově zvoní poledne                       v 11 hodin.                     4.  Velké Brno vzniklo v roce 1919 připojením okolních obcí.                   Vyber si některé z událostí a vypočítej, kolik roků od té doby do dneška uplynulo.                              5.  Počet obyvatel města Brna v roce 1919 byl 122 000, v roce 2019 je 377 139.                        a)  O kolik se počet obyvatel zvýšil?                        b)  Kolikrát (přibližně) se počet obyvatel zvýšil?                                 6.  V tabulce je uveden počet obyvatel města Brna za posledních pět let.                        Rok              2015      2016      2017      2018      2019                        Počet obyvatel  377 305  376 407  376 857  376 989  377 139                         a)  Zaokrouhli čísla na tisíce.                         b)  V kterém roce bylo obyvatel nejvíce, v kterém nejméně?                        c)  Z grafů urči, mezi kterými roky došlo k největší změně.                                                             114","Počty obyvatel města Brna v letech 2015 - 2019                            377 400                           377 200                           377 000                           376 800                           376 600                           376 400                           376 200                           376 000                           375 800                           375 600                           375 400                                       2015        2016        2017        2018        2019                                377 400                           377 200                           377 000                           376 800                            376 600                           376 400                           376 200                           376 000                            375 800                           375 600                           375 400                                       2015        2016        2017        2018        2019                                                                                         115","Pracovní list 2                  Doprava v Brně                     1.  V roce 2019 má dopravní podnik v Brně 306 autobusů, 142 trolejbusů a 303 tramvají.                       Kolik je to dopravních prostředků celkem?                                  2.  Tyto dopravní prostředky jezdí na linkách. Autobusových linek je 58, trolejbusových                        linek je 13 a tramvajových linek je 11. Kolik je to celkem?                                3.  Jak je to dlouho? Kolik roků uplynulo od té doby do dneška?                        První tramvajové vozy tažené koňmi vyjely poprvé v roce 1869.                        První parní tramvajová lokomotiva začala jezdit v roce 1884.                        První elektrické tramvaje vyjely v roce 1900.                        První autobusy se v Brně objevily v roce 1930.                        První trolejbus v Brně vyjel v roce 1949.                         Od roku 1946 jezdí na brněnské přehradě lodní doprava.                                                                        116","Pracovní list 3                  Moravské zemské muzeum                     1.  Moravské zemské muzeum bylo založeno císařským dekretem Františka I. v červenci                       1817.                            2.  Stavba pavilonu Anthropos byla dokončena v roce 1962, jeho rekonstrukce pak byla                       dokončena v roce 2006.                       Tradice  však  sahá  do  roku  1928,  kdy  byla  na  Výstavišti  výstava  soudobé  kultury                        v Československu.                     Vysoké školy                 V roce 2019 slaví některé brněnské vysoké školy výročí svého vzniku:                  Vysoké učení technické                   120 roků                 Masarykova univerzita                    100 roků                 Veterinární a farmaceutická univerzita   101 roků                 Univerzita obrany                        15 roků                 V kterém roce tyto školy vznikly?                      Naše škola                 V kterém roce byla postavena budova naší školy? Zapiš také římskými číslicemi.                 Co všechno můžeme o naší škole zjistit?                                                                    117","Příloha č. 7: Jednotky měr                                                       Jednotky délky                     Motivace                 Aleš  a  Adélka  zjišťovali  pomocí  kroků,  jak  je  dlouhá  jejich  chodba.  Aleš  udělal  7  kroků,                 Adélka udělala 12 kroků. Tak jak je vlastně chodba dlouhá? Co potřebujeme, abychom určili                délku  chodby  a bylo to  pro oba stejné? Poradil jim  tatínek. Dal  jim  měřidlo  –  pásmo,  na                 kterém byly vyznačeny jednotky délky. Pomocí tohoto měřidla zjistili, že chodba je dlouhá 5                metrů nebo 50 decimetrů nebo 500 centimetrů.                 Děti se začaly zajímat o jednotky délky. Co je zajímalo?                        Kolik  cm  měří  –  jaká  je  jejich  výška.  Vyjádřily  svoji  výšku  v centimetrech,  v                       decimetrech, v metrech.                       V jaké výšce svého těla mohou ukázat 1 metr?                      Kolik cm naměří, když rozpaží?                       Jak mohou ukázat pomocí rozpažení jeden metr?                      Jakou šířku má jejich dlaň?                       Jakou délku má jejich chodidlo? Má stejnou délku jako jejich předloktí?                      Jakou jednotku může představovat šířka jejich ukazováčku?                       Dokázaly pomocí prstů na ruce ukázat 1 decimetr?                      Jakou výšku mají některé stromy?                       Jakou délku a výšku mají někteří živočichové?                      Jakou délku má postel, na které spí?                       Jakou výšku má stůl, u kterého pracují?                   Co je jeden metr (výlet do historie)?                  Původně  byl  1  metr  odvozen  z rozměrů  Země  a  byl  definován  jako  desetimiliontá  část                 kvadrantu zemského (což je čtvrtina zemského poledníku).                 Další z definic se opírala o mezinárodní prototyp metru:                        Jeden  metr  je  vzdálenost  mezi  dvěma  ryskami  na  platino-iridiové  tyči  uložené                       v Mezinárodním  ústavu  měr  a  vah  v Sévres  u  Paříže  (mezinárodní  etalon  metru).                        Tento etalon zavedl zřejmě Napoleon Bonaparte.                                                             118","Pozdější  definice  se  oprostily  od  závislosti  na  prototypu  a  jeden  metr  definovaly  pomocí                fyzikálních konstant:                        1960: Jeden metr je délka, která je rovna 1 650 763,73 násobku vlnové délky záření                        šířícího se ve vakuu, které přísluší přechodu mezi energetickými hladinami 2p 10 a 5d 5                       atomu kryptonu 86.                        1983: V soustavě SI (Systém international) je definován  jeden metr jako délka, kterou                                                     1                       urazí světlo ve vakuu za            sekundy.                                                299 792458                  Metr je tedy základní jednotkou délky v soustavě SI, označuje se m.                   Měření předmětů                  Co vlastně děláme, když měříme délku nějakých předmětů? Určujeme délku úsečky nebo čáry                tak, že ji porovnáváme se zvolenou délkovou jednotkou. Dříve než začneme učit děti převody                 jednotek  délky,  je  třeba  provádět  konkrétní  měření  předmětů  a  vyjadřování  jejich  délky                v různých  jednotkách  –  alespoň  ve  dvou  různých  (např.  metrech  a  decimetrech),  pokud  je                 možné i ve třech různých jednotkách téže veličiny. Měříme rozměry třídy, učebnic, školních                sešitů, stolu, chodby, hřiště, určujeme rozměry hřišť pro různé sporty (např. kopaná, volejbal,                košíková, házená, hokej, tenis), rozměry bazénu.                    Procvičování odhadů                  K upevnění  učiva  o  jednotkách  má  nezastupitelnou  úlohu  procvičování  odhadů  velikostí                předmětů a následně porovnání se skutečnými rozměry:                        Jakou délku má asi cesta od domu ke škole?                      Jaká je vzdálenost do nejbližšího města, vesnice?                       Jakou délku a výšku má naše škola?                      V jaké výšce mohou létat letadla?                       Jak hluboká je propast?                      Kam dojdeš, když ujdeš milion milimetrů?                 V běžném  životě  se  může  délka  úsečky  vyjadřovat  dalšími  pojmy,  jako  např.  vzdálenost,                 výška, hloubka, šířka apod.                                                                   119","Převody jednotek délky                  Pro správné pochopení převodů jednotek délky si musíme uvědomit úskalí, která provázejí                tyto  činnosti.  Měli  bychom  dětem  sestavovat  systém  cvičení,  která  jim  pomohou  učivo                 zvládnout. Jedná se zejména o:                       násobení a dělení čísel přirozených i desetinných čísly 10, 100, 1 000, atd.                       sledování možností dětí při převodech jednotek měr, neboť některé děti raději pracují                       s čísly  (aritmetický  typ),  pamatují  si  vztahy  mezi  jednotkami  a  jsou  schopny  je                       uplatnit.  Další  skupina  dětí  chápe  spíše  algebraicky  a  pamatuje  si  tabulky  přímé                        úměrnosti  sestavené  pro  jednotlivé  jednotky.  Pro  děti,  které  potřebují  neustálé                       činnosti,  jsou  připraveny,  tak  zvané  mřížky  pro  převody  jednotek  měr,  které  velmi                        usnadňují  práci  s převody.  Mřížky  z kartonu  se  doplňují  kartičky  s čísly,  které  se                       umisťují pod příslušnou jednotku a přímo jsou uvedeny převody.                 Některým  dětem  mohou  napomoci  předpony  vyjadřující  násobky  nebo  díly  jednotek                 základních. Uvádíme některé:                 tera   giga   mega   kilo   hekto   deka   základní jednotka   deci   centi   mili   mikro   nano   piko   femto   atto                10 12   10 9   10 6   10 3   10 2   10 1   1   10 -1   10 -2   10 -3   10 -6   10 -9   10 12   10 -15   10 18                 Jednotky  délky  ilustrujeme  na  nejrůznějších  měřidlech  běžně  v praktickém  životě                používaných (např. metr dřevěný, krejčovský, skládací, pásmo, papírové měřítko, měřítko na                 odvěsně trojúhelníku) a na nich vhodně upozorňujeme na menší jednotky na nich vyznačené.                Je  třeba,  aby  dítě  aktivně  vnímalo,  co  vidí.  Některé  děti  se  sice  dívají,  ale  nevnímají                 matematickou podstatu předloženého učiva.                   Převody:                   1.  využití  převodních  vztahů  –  v mysli  si  děti  vytvářejí  obloučky  doprava  nebo  doleva                    (v duchu přidávají nebo ubírají nuly nebo posouvají desetinnou čárku):                                       1 m = 10 dm                                                     1 dm = 10 cm                        1 km = 1 000 m                             1 cm = 10 mm                     Tedy:            1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm                                                                   120","Dále pak:                               1                       1                          1                    1 dm =       m = 0,1 m,   1 cm =     m = 0,01 m,    1 mm =       m = 0,001 m, atd.                              10                     100                       1000                     Tedy:            1 mm = 0,1 cm = 0,01 dm =0,001m                     2.  využití funkčních závislostí např.                                 m      1     2    3     4     5     6     7     8     9      10                                cm  100  200  300  400  500  600  700  800  900  1 000                       Tuto tabulku žáci využívají oběma způsoby:                         5 m = 500 cm, 400 cm = 4 m                         a také při požívání desetinných čísel, např. 6,5 m = 650 cm.                     Žák využije poznatku, že 6,5 m je mezi 6 m a 7 m, tedy počet centimetrů bude mezi 600                    cm a 700 cm.                     3.  mřížka k převodu jednotek délky: – ukázala se jako nejosvědčenější pomůcka pro děli                    s poruchami učení. Tuto pomůcku děti používají jako kompenzační.                                                km                   m      dm    cm     mm                                   0      0     0      0      0      0      0     0      0                       Mřížku z tvrdšího papíru má každé dítě, rozměry čtverců v mřížce jsou 3 cm krát 3 cm.                     Doplníme  ji  čtverci  stejných  rozměrů  s čísly,  která  pokládáme  do  dolní  části  mřížky.                    Můžeme také přidat desetinnou čárku.                                                km                   m      dm     cm    mm                                   0      0      0      0      0      6      0      0     0                       Z obrázku je patrný převod:  6 m = 60 dm, 6 m = 600 cm, 6 m = 6 000 mm,                     6 m = 0,006 km.                                                              121","Typy úloh:                      a)  jednoduché převody větší jednotky na menší, např. 7,5 dm = 750 mm,                    b)  jednoduché převody menší jednotky na větší, např. 1 250 mm = 1,250 m,                     c)  složitější převody, např. 7 m 2 cm = 702 cm = 7,02 m.                    Pomůcky k převodům jednotek délky:                 Schody                       jdeme nahoru – nuly odhazujeme – „ubíráme¨;                       jdeme dolů – nuly přidáváme.                    Problémy, kterým bychom měli předcházet:                       děti nemají správnou představu o veličině ani o jednotce,                       neumí odhadnout alespoň přibližně velikost míry určité veličiny,                       mají problémy s převody jednotek příslušných veličin,                      nechápou  souvislost  mezi  násobením  a  dělením  mocninami  deseti  a  zvětšováním                       a zmenšováním čísel,                       obtížně chápou, že „menších“ jednotek je „více“ a „větších“ jednotek je „méně“, Např.                       platí, že centimetr je desetkrát větší než milimetr, ale milimetrů je desetkrát více než                        centimetrů:  3 cm = 30 mm;                      neumí samostatně využít jednotek z běžného života.                    Některé jednotky délky používané ve světě                  Ve světě se používá mnoho dalších jednotek délky:                 Námořní míry                                  Anglické míry                 1námořní míle = 1 828,8 m                     1 anglická míle = 1 609,3 m                 1 sáh = 182,88 cm                             1 yard = 91,44 cm                 1 stopa = 30, 48 cm                           1 stopa = 30,48 cm                  1 provazec = 182.88 cm                        1 palec (coul, inch)  =  2,54 cm                                                                 122","Některé historické jednotky délky                        1 loket – délka paže – 3 pídě                       1 sáh – vzdálenost konců prstů rozpažených paží                      1 krok – 60 cm nebo 75 cm                 Jednotky délky byly také odvozovány z rozměrů zrn:                       4 ječmenná zrna – prst                       4 prsty – dlaň                       10 prstů – píď                      3 pídě – loket pražský nebo český                 Pražský (český) loket byl používán již za vlády Přemysla Otakara II – kolem roku 1268.                       1 loket český = 2 stopy = 3 pídě = 24 palců = 30 prstů = 120 ječných zrn                                                       Jednotky obsahu                  Jestliže chceme určit, jakou velikost má nějaký plošný útvar, postupujeme podobně, jako při                určování  délky  –  srovnáme  útvar  s nějakou  jednotkou  obsahu.    Protože  by  to  v některých                případech  bylo  složité,  využíváme  různých  vztahů  pro  výpočet  obsahu  rovinných                 geometrických útvarů (např. čtverce, obdélníku, trojúhelníku, kruhu aj.)                    Co je třeba vědět:                     a)  Útvary, které mají stejný obsah, nemusí mít stejný tvar.                      b)  Mít jasnou představu jednotek obsahu.                 Názornou představu jednotek obsahu vytvoříme např. tak, že vytýčíme např. čtverec, který má                                         2                                                              2                stranu  1  m  a  obsah  1  m   (přitom  obsah  1  m   může  mít  rovinný  útvar  jakéhokoliv  tvaru,                                                                                         2                např. trojúhelník, kruh apod.). Čtverec je možné vhodně rozdělit na 100 dm .                                                                                  2                                      2                             2                Model  1  dm   a  1  cm   mohou  mít  děti  vystřižené  z papíru,  1  mm   je  vhodné  ilustrovat  na                milimetrovém  papíře.  Představu  1  aru  můžeme  ilustrovat  pomocí  čtverce  o  straně  10  m.                Obsah 1 hektaru mají přibližně dva fotbalové stadiony.                                                                      123","Převodní vztahy mezi jednotkami obsahu:                   1.  využití převodních vztahů                            2                                      2                       1 m  = 100 dm                                            2                                                      2                                       1 dm  = 100 cm                                                             2                                                                        2                                                        1 cm = 100 mm                         2                    1 km  = 100 ha                                       1 ha = 100 a                                                                   2                                                        1 a = 100 m                    Podobně                                1                                1                                              2                                                                     2                                    2                         2                                                         2                    1 dm  =       m  = 0,01 m ,       1 cm  =       m  = 0,0001 m 2                             100                            10000                  2.  využití funkčních závislostí                              m 2     1     2     3     4     5     6     7     8     9      10                               dm 2   100  200  300  400  500  600  700  800  900  1 000                   3.  mřížka k převodu jednotek obsahu:                                km 2      ha         a        m 2       dm 2      cm 2     mm  2                               0  |  0   0  |  0   0  |  0   0  |  0   0  |  0   0  |  0   0  |  0                           2                                      2                    25 m  = 2 500 dm  = 250 000 cm  2                         2                    25 m  = 0,25 a = 0,0025 ha                  Využití v reálném životě – v jakých jednotkách vyjádříte:                        Jaký obsah má třída, pokoj, byt?                       Jaký obsah má zahrada, pole?                      Jaký obsah má rybník, park v našem okolí?                      Jaký obsah má Václavské náměstí v Praze? Jaký obsah má náměstí v jiných městech,                        např. Jihlava, České Budějovice aj.                       Jaký  obsah  mají  hřiště  pro  jednotlivé  sporty  (kopaná,  hokej,  košíková,  volejbal,                       házená, tenis, atd.)                                                             124","Jednotky objemu                 Marek  a  Zuzka  stavěli  z 24  krychlí  stavby.  Každá  stavby  měla  jiný  tvar,  ale  krychlí  bylo                 pořád stejně. Všechny stavby měly různý tvar avšak stejný objem.                 Měření objemů těles (místností, nábytku apod.) uvádíme v jednotkách krychlových, měření                kapalin v jednotkách měr dutých. K určování objemů můžeme v některých případech využívat                 krychlové sítě. Ve většině případů však objem počítáme pomocí vzorců.                                                                                                   3                                                                                                        3                                                  3                                                                                             3                Základní jednotkou objemu je 1 m . V praxi se používají jednak jeho díly (dm , cm , mm ) a                také jednotky dutých měr – litr a jeho násobky a díly. Je třeba zvládnout i vztah mezi těmito                jednotkami objemu.                Je  důležité  vědět,  že  stejný  objem  mohou  mít  různá  tělesa.  Např.  1  litr  mléka  může  být                v lahvi, krabici tvaru kvádru nebo čtyřbokého hranolu, v kastrolu tvaru válce, v misce tvaru                 polokoule nebo kulové vrstvy  aj.                    Převody jednotek objemu                  1.  využití převodních vztahů                                     3                        3                    1 m = 1 000 dm                                   3                                                3                              1 dm  = 1 000 cm                                                               3                                                  3                                              1 cm  = 1 000 mm                                                       3                         3                                                                             3                    1 dm  = 1 l                     1 m  = 1 000 l              1 m  = 10 hl                    1 l = 10 dl                                          1 hl = 100 l                       1 dl = 10 cl                                  1 cl = 10 ml                                 1                                   1                         3                                    3                                               3                    1 dm  =       m  = 0,001m                      1 l =   hl  = 0,01 hl                             1000                                 100                  2.  Využití funkčních závislostí                         m 3      1      2       3      4       5       6      7       8      9       10                       dm  3   1 000  2 000  3 000  4 000  5 000  6 000  7 000  8 000  9 000  10 000                                                                 125","3.  mřížka k převodu jednotek objemu                                                                     3                                                        3                                             3                                                                                3                                            m        dm          cm         mm                                                   hl     l  dl  cl  ml                                          0  0  0  0  0  0  0  0  0        0  0  0                                                                                3                                                                3                                                   3                    Z této tabulky je parné, že 1 dm  = 1 l,   1 cm  = 1ml,   1 m  = 10hl                 Využití v reálném životě – umíš odpovědět na otázky?                        Kolik litrů vody se vejde do vany, ve které se koupeš?                      Jaké množství polévky se vejde do hlubokého talíře?                       Jaký objem má polévková lžíce?                      Jaký objem má sklenička nebo hrníček, za kterých piješ?                       Jaký objem má cisterna?                      Jaký objem má kapka vody?                                                     Jednotky hmotnosti                  Jednotky  hmotnosti  ilustrujeme  pomocí  vážení,  kdy  děti  určují  hmotnosti  nejrůznějších                předmětů.  Využíváme  štítků  o  hmotnosti  potravin  z digitálních  vah  z obchodů,  eventuelně                baleného  zboží  s vyznačenou  hmotností.  V Mezinárodní  soustavě  jednotek  měr  SI  (System                 internacional) jsou povolené jednotky hmotnosti: kilogram, gram, tuna.                 Jeden kilogram je roven hmotnosti mezinárodního prototypu kilogramu. Tím je váleček ze                slitiny platiny a iridia, který je uložen v Mezinárodním ústavu měr a vah v Sérves u Paříže.                                                                  1                Převodní vztahy:    1 kg = 1 000 g      1 g =      kg = 0,001 kg                                                              1000                                                                  1                                    1 t    = 1 000 kg   1 kg =      t = 0,001 t                                                               1000                 Další jednotky, užívané v praxi, nikoliv však v obchodním styku jsou                 dekagram a metrický cent.   1q = 100 kg   1 kg = 100 dkg                                                                    126","Využití v praxi                        Jakou hmotnost má nákup, který nesete domů?                       Jakou hmotnost má tvoje školní aktovka (prázdná, plná)?                      Uneseš tašku, ve které je milion hřebíčků, z nichž každý má hmotnost jeden gram?                    Praktické rady – jakou hmotnost má:                                    polévková lžíce   kávová lžička                Voda                   12 g             3 g                Cukr moučka            10 g             3 g                 Cukr krupice           15 g             5 g                Sůl                    20 g             7 g                 Kakao                  6 g              2 g                Med                    18 g             6 g                Olej                   12 g             4 g                 Smetana 30%            12 g             5 g                                                        Jednotky času                  Víte jak dlouho co trvá? Pokuste se odhadnout dobu jedné minuty.                 Problémy s jednotkami času vyplývají jednak z používání šedesátkové soustavy při některých                převodech,  jednak  obtížnějšího  znázornění  času  na  kruhovém  ciferníku  i  z digitálního                 záznamu času.                 Základní jednotkou pro měření času v soustavě SI je sekunda.                   Převody jednotek času                  1 den = 24 h                          1 h = 60 min         1 h = 3 600 s                                 1 min = 60 s                  Dále se sekundy dělí na desetiny, setiny, tisíciny, atd.                 Děti se obtížně vyrovnávají se sdělením a zápisem typu:                 Čtvrt na pět odpoledne       4:15  nebo  16:15                                                               127","Problémy činí převody části hodiny na minuty a na následný zápis pomocí desetinného čísla,                např.:                         1  h = 15 min = 0,25 h                         4                         1                          h = 12 min = 0,2 h                        5                 Pro využívání jízdních řádů, vyhledávání času na CD apod. je třeba, aby žáci zvládli sčítání a                 odčítání časových údajů a využívali potřebných převodů.                 Sčítání:                 Sčítáme zvlášť minuty (event. sekundy) a zvlášť hodiny. Pokud počet minut (sekund) je větší                než 60, převedeme minuty na hodiny (event. sekundy na minuty).                         Př.    2 h 45 min                              5 h 38 min                               7 h 83 min = 8 h 23 min                   Odčítání:                  Při odčítání opět odčítáme zvlášť minuty (event. sekundy) a zvlášť hodiny. Pokud je počet                minut menšence větší než počet minut menšitele, je odčítání bez problémů, pokud je tomu                naopak, pak menšence upravíme tak, aby v menšenci byl větší počet minut než v menšiteli,                 jednu hodinu převedeme na minuty.                        Př.    12 h 48 min                               − 8 h 23 min                               4 h 25 min                         Př.    12 h 23 minupravíme     11 h 83 min                               − 8h 45 min             − 8h 45 min                                                       3h 38 min                   Úlohy                 Jste na světě milion hodin?                  Kolik hodin (minut, sekund) uplyne za 1 rok?                 Jak dlouhá doba je milion sekund?                                                            128","Při problémech, které mají děti při zvládání jednotek času využíváme postupů, ve kterých jsou                děti angažovány na činnosti, které neustále provádějí.                     1.  Procvičujeme časový údaj. Kolik je hodin, když:                           ráno vstáváme,                           odcházíme o školky – školy,                          v televizi je večerníček.                     2.  Procvičujeme časový interval:                           jak dlouho mi trvá čištění zubů,                          jak dlouho mi trvá příprava do školy,                           jak dlouho mi trvá cesta do školy,                          jak dlouho jsem ve škole.                     3.  Procvičujeme  znalost  hodin,  jednak  čas  dvanáctihodinový,  poté  čas                        čtyřiadvacetihodinový. Procvičujeme zápis digitální.                                                       Jednotky měny                  Sledujme, v jakém věku si děti uvědomují hodnotu peněz. Zpočátku je pro ně jedna mince                jedna jednotka, takže vidí např. 1 desetikorunu, 1 minci, ale nevidí, že zastupuje deset korun.                 Když chtějí rodiče vyměnit mince za papírové bankovky, děti to odmítají, protože mincí mají                hodně a bankovka by byla jen jedna.                 I když se v současném platebním styku haléře příliš nepoužívají, ceny vyjádřené v haléřích se                 v konečné platbě zaokrouhlují na celé koruny, platí převod:                        1 Kč = 100 hal                 K převodům mezi různými měnami se používají aktuální kurzovní lístky. Často používaný                 převod je mezi eurem a korunou, avšak ten se řídí právě platnými aktuálními hodnotami.                                                                                  129","Příloha č. 8: Mřížka pro sčítání a odčítání                                                                                                                                               130","Příloha č. 9: Karty s čísly – znázornění více ciferného čísla                                                                                                                                               131","Příloha č. 10: Využití čtverečkovaného papíru k zápisu čísel podle řádu                                                                                                                                                132","Příloha č. 11: Instruktivní postup pro dělení                                                                                                                                              133","Příloha č. 12: Pomůcka k převodům jednotek měr – schody                                                                                                                                              134","Příloha č. 13: Loto                 Kartička se zadáním příkladů :                      29 + 15           42 − 18           37 + 14                         63 − 14           55 + 17           70 − 13                         18 + 32           38 − 28           46 + 35                    Rub  obrázku  –  napsat  výsledky  příkladů  (pozor  na  osovou  souměrnost),  rozstříhat  na                 čtverečky.  Čtverečky  pokládáme  na  kartičku  tak,  aby výsledky  byly  nahoře.  Po  vypočítání                všech příkladů obrázek otočíme.                            51                24                44                             57                72                49                             81                10                50                       Správně složený obrázek svědčí o tom, že příklady byly vypočítány správně.                                                                       135","136","Příloha č. 14: Domino                 Domino sestává z kartiček podobných klasickému dominu. Na kartičkách jsou v pravé části                zadání příkladů, v levé části výsledky. Hraje se jako běžné domino, k příkladu se přikládá                správný výsledek.                        7        25 − 13                   Můžeme využít několik variant:                     1.  Na všech kartičkách je jen jedna operace (např. pouze sčítání nebo pouze odčítání).                     2.  Na kartičkách jsou dvě operace (např. násobení i dělení).                     3.  Na kartičkách jsou všechny čtyři operace (sčítání, odčítání, násobení, dělení).                      4.  Na kartičkách jsou  jen operace, hledají se dvě  kartičky, které mají  stejný výsledek,                       např.:                                                                                                             137","138","Příloha č. 15: Domečky – půda sklep                 V domečku bydlí dvě čísla. Na půdě se zabydlel jejich součet, ve sklepě jejich rozdíl. Tato                 dvě čísla si postavila nový domeček. Na půdě se zabydlel jejich součet, ve slepě jejich rozdíl.                Tak pokračujeme, až postavíme ulici.                                                                                                                                        139","Příloha č. 16: Pyramidy                 V pyramidách sčítáme vždy dvě čísla v políčkách vedle sebe a součet zapíšeme do políčka                 nad nimi. Nabízí se velké množství variant:                     1.  V dolní části jsou tři políčka.                    2.  V dolní části jsou čtyři políčka (případně pět).                    3.  Některá políčka v dolní části nejsou vyplněna.                    4.  V dolní části jsou vyplněna všechna políčka, každá dvě čísla vedle sebe se vynásobí                       a v dalších podlažích se čísla sčítají.                                                                                                                               140","Příloha č. 17: Křížovka se samokontrolou                 Křížovka k procvičení sčítání:                  Do políček křížovky se zapíší čtyři zvolená čísla.                     1.  Čísla sečteme v řádcích.                    2.  Čísla sečteme ve sloupcích.                     3.  Vzniklé součty znovu sečteme v řádku a ve sloupci.                    4.  Pokud jsme dobře počítali, tyto součty se sobě rovnají.                                                   Analogicky můžeme využít křížovku i k procvičení násobení. V tomto případě čísla v řádcích                a ve sloupcích násobíme:                                   Křížovku je možné využít i pro další čísla, např. desetinná, záporná, zlomky.                                                                 141","Příloha č. 18: Práce žáka – zkontrolovat pořadí                                                                                                                                                 142","143","144","145","146","147","148","149","Vzdělávání žáků se specifickými                 poruchami učení – matematika                    RNDr. Růžena Blažková, CSc.                    Vydala Masarykova univerzita, Žerotínovo nám. 617/9, 601 77 Brno                  Jazyková korektura: Mgr. Ondřej Zabloudil Pechník                 Návrh obálky: MgA. Štěpán Hulc                  1., elektronické vydání, 2020                    ISBN 978-80-210- 9930-2",""];