var textForPages = ["","","","Tuto knihu věnuji své matce, RNDr. Růženě Blažkové, CSc.,               která mě již po mnoho let inspiruje svými rozsáhlými znalostmi               a zkušenostmi na poli didaktiky matematiky a svým entuziasmem               pro tento obor.","PŘÍSTUPY NADANÝCH ŽÁKŮ                 1. A 2. STUPNĚ ZÁKLADNÍ ŠKOLY                 K ŘEŠENÍ NĚKTERÝCH TYPŮ ÚLOH V MATEMATICE                        Irena Budínová                                                                               Masarykova univerzita                                   Brno 2018","Edice: Matematika a didaktika matematiky         Svazek 4            Recenzovaly:         doc. PhDr. Šárka Portešová, Ph.D.         doc. RNDr. Naďa Vondrová, Ph.D.          © 2018 Masarykova univerzita          ISBN 978-80-210-9216-7         ISBN 978-80-210-9215-0 (brož. vaz.)         https://doi.org/10.5817/CZ.MUNI.M210-9216-2018","OBSAH                                 Předmluva                                                    7                       Úvod                                                         9                  Teoretický rámec                 – 1 –  Nadání a nadaný žák                                        11                      – 1 – 1  Nadání a talent                                     11                      – 1 – 2  Nadané děti                                         12                      – 1 – 3  Inteligence                                         13                      – 1 – 4  Inteligenční kvocient                               14                      – 1 – 5  Novější pohledy na teorii inteligence a nadání      17                      – 1 – 6  Různé typy nadaných žáků                            19                         – 1 – 6 – 1  Podvýkonní nadaní žáci                       20                         – 1 – 6 – 2  Žáci s dvojí výjimečností                    20                      – 1 – 7  Matematické nadání                                  23                      – 1 – 8  Identifikace nadaných žáků                          25                      – 1 – 9  Nálepkování nadaných žáků                           26                      – 1 – 10  Žáci nadaní na matematiku a výuka matematiky       28                      – 1 – 11  Řešitelské strategie u nadaných žáků               29                  – 2 –  Úlohy rovnicového charakteru                               31                      – 2 – 1  Vymezení pojmů                                      31                      – 2 – 2  Historický vývoj řešení algebraických úloh          33                      – 2 – 3  Propedeutika algebraického myšlení                  35                      – 2 – 4  Úlohy rovnicového charakteru v RVP, Standardech                            a vybraných učebnicích                                 41                         – 2 – 4 – 1  Kroky vedoucí k pochopení řešení rovnic                                 a jejich zastoupení v učebnicích pro 1. a 2. stupeň ZŠ   42                      – 2 – 5  Matematická úloha a její řešení                     47                      – 2 – 6  Úlohy rovnicového charakteru a způsoby jejich řešení   48                         – 2 – 6 – 1  Slovní úlohy                                 49                         – 2 – 6 – 2  Aritmetické úlohy                            55                         – 2 – 6 – 3  Početní geometrické úlohy                    56                                                                                          5                                                                                ┼","Výzkumná část         – 3 –  Výzkumné šetření na 1. stupni základní školy               57              – 3 – 1  Cíl a výzkumné otázky                               58              – 3 – 2  Výzkumný vzorek                                     58              – 3 – 3  Výběr a charakteristika úloh                        60              – 3 – 4  Analýza dat                                         63              – 3 – 5  Výsledky                                            64              – 3 – 6  Diskuse a závěry                                    74              – 3 – 7  Typy nadaných žáků a jejich přístupy k řešení úloh   77                 – 3 – 7 – 1  Identifikace zástupců jednotlivých profilů   77                 – 3 – 7 – 2  Mini-případové studie                        77              – 3 – 8  Závěr a omezení výzkumu                             93          – 4 –  Výzkum na 2. stupni základní školy                         95              – 4 – 1  Výzkumné otázky a hypotézy                          96              – 4 – 2  Výzkumný vzorek                                     97              – 4 – 3  Předvýzkum                                          99              – 4 – 4  Test a a priori analýza úloh                       104              – 4 – 5  Průběh výzkumu                                      109              – 4 – 6  Analýza dat                                         111              – 4 – 7  Kvantitativní analýza výsledků                      112                 – 4 – 7 – 1  Úspěšnost žáků v úlohách                     112                 – 4 – 7 – 2  Testování hypotéz                            114                 – 4 – 7 – 3  Provádění zkoušek správnosti                 131                 – 4 – 7 – 4  Shrnutí výsledků                             132              – 4 – 8  Kvalitativní analýza výsledků                      134                 – 4 – 8 – 1  Postupy volené žáky u jednotlivých úloh     134                 – 4 – 8 – 2  Vybrané skupiny žáků                         163              – 4 – 9  Shrnutí a diskuse                                   167              – 4 – 10  Limity výzkumu                                     170           – 5 –  Dospělí nadaní a jejich vzpomínky na školu                173              – 5 – 1  Výzkumná sonda – vzpomínky matematiků a fyziků na školu   174              – 5 – 2  Výsledky                                            175              – 5 – 3  Shrnutí                                             180                Závěry                                                      183              Diskuse                                                     185               Doporučení do praxe                                         189               Literatura                                                  191             6           ┼","PŘEDMLUVA                            Před pěti lety mě kontaktovali nešťastní rodiče Lukáše. Lukáš nastoupil z Mon-                tessori mateřské školy do základní školy, kde si neporozuměl s paní učitelkou.                Lukáš byl mírně instabilní, avšak rozumově předstihoval své spolužáky. Již při                nástupu do 1. třídy uměl číst. Ve třídě však bylo pod jeho úroveň předčítat jako                ostatní děti ve slabikáři „MÁ-MA“. Paní učitelka usoudila, že neumí číst vůbec.                Lukáše velmi zajímala matematika, ale nebavily ho úlohy, které řešili spolu-                žáci,  např. 2 + 3. Rád sčítal s přechodem přes základ deset, i víceciferná čísla                (např. 122 + 15), odčítal i do záporných čísel (3 – 10 = –7), seznámil se s násobením.                Paní učitelka ho však hodnotila spíše za úpravu než za počítání. Lukáš měl ale se                psaním problémy, projevovaly se u něj projevy poruchy učení, dysgrafie. Měl                rovněž potíže v oblasti pravolevé orientace, číslice 3, 6, 9 psal zrcadlově obráceně.                Lukáš zažíval frustraci z toho, že v matematice nebyl známkován za postup, ale za                psaní číslic. Začínal být proto demotivovaný, zaujal vůči paní učitelce obranný postoj.                 Paní učitelka nevěřila, že Lukáš je rozumově nadaný, proto rodiče s Lukášem                navštívili pedagogicko-psychologickou poradnu. Projevilo se nadání pro matema-                tiku. Problém ale byl v tom, že Lukášovi stačilo, když něco pochopil. Pak už se                jeho zájem stáčel k něčemu dalšímu, látku si dostatečně neprocvičil a nezapama-                toval. Bylo potřeba najít činnosti nebo příklady, které by ho natolik zaujaly, že by                si nevědomky osvojoval a procvičoval dovednosti. To se ale ve škole nedělo                a Lukášova demotivace rostla.                Výrazně se projevil Lukášův problém s pravolevou orientací při psaní číslic. Uči-                telka slíbila, že Lukáše bude v matematice známkovat pouze za výpočty, nikoli                za úpravu nebo psaní čísel. Lukáš však i nadále dostával horší známky, protože                nedokázal správně zapsat číslice. Mnohdy se stalo, že všechny výpočty byly správ-                ně, avšak známka byla snížena za zrcadlově psané šestky nebo trojky.                 Lukáše to ve škole přestávalo bavit. Neustále byl známkován za špatně napsaná                čísla, učitelka nenašla efektivní způsob, jak Lukáše naučit číslice správně psát.                Byla přesvědčena o tom, že když Lukáš bude každý den trénovat psaní čísel, zlep-                ší se. Lukáše však nebavilo zbytečně přepisovat čísla nebo počítat lehké příklady.                Bavilo ho ale, když mu táta zadával úlohy jako 10 000 000 000 – 1.                Ve třídě nebylo pro Lukáše příliš příznivé klima. Často se soutěžilo, úspěšné děti                dostávaly sladkosti nebo razítko srdíčka, neúspěšné děti dostávaly razítko šklebící                                                                                     7                                                                                ┼","se hlavičky. Lukášovi soutěžení nevyhovovalo, rád se zahloubal do problému,         rychlost pro něj nebyla důležitá. Lukáš byl situací ve třídě stresován, začal koktat.          Během druhého pololetí 1. ročníku se situace velmi vyhrotila. Lukáš plakal při         plnění domácích úkolů, jeho koktání se zhoršovalo během týdne a zlepšovalo během         víkendu. Přestávaly ho bavit běžné úkoly, které měl dříve rád. Do školy chodil         nerad. Před realitou utíkal k tabletu, jeho matka říkala, že to už je jediná činnost,         u které se dokáže uvolnit. Rodiče situaci vydrželi do konce školního roku, potom         však vyjednali změnu školy. Nová škola a nová paní učitelka Lukášovi mnohem         více vyhovovaly, situace se uklidnila.         Od této chvíle jsem se setkávala s dalšími žáky, kteří měli nadprůměrně rozvinu-         té matematické myšlení, ale jejich školní hodnocení odpovídalo žákům průměrným         či podprůměrným. Někteří z těchto žáků měli kromě nadání specifickou poruchu         učení, někteří byli hyperaktivní, někteří byli emočně nestabilní. Jejich školní         projevy neodpovídaly obrazu nadaného žáka, vždy připraveného a hlásícího se,         komunikativního, ochotného pomáhat slabším spolužákům.         Začala jsem se zabývat otázkou, jaké jsou vlastně projevy nadaných žáků ve výu-         ce matematiky, zda u nich existují převládající strategie řešení matematických         úloh, jimiž by se lišili od běžných žáků, zda se vyznačují tím, že se při řešení         dopouštějí méně numerických chyb než běžní žáci apod. Rovněž mě zajímalo,         které úlohy jsou pro nadané žáky inspirující a posouvají je dál ve vývoji matema-         tického myšlení.         V té době, v roce 2013, začínal dvouletý projekt Fakulty sociálních studií a Peda-         gogické fakulty Masarykovy univerzity pod záštitou doc. Šárky Portešové, která         se po mnoho let zabývá nadanými žáky, zejména žáky s dvojí výjimečností. Tento         projekt mi přinesl mnoho cenných zkušeností a zejména zájem o tuto problemati-         ku. Nadále jsem se zajímala o problémy nadaných žáků ve výuce matematiky.          Zkušenosti, které jsme získaly se žáky z projektu, a hlavně úlohy, které jsme jim         zadávaly, jsme s kolegyněmi z Pedagogické fakulty využily pro vydání publikací         Matematika pro bystré a nadané žáky 1. stupně a Matematika pro bystré a nadané         žáky 2. stupně (Budínová et al., 2016; Blažková \& Budínová, 2017).         Tuto publikaci jsem se rozhodla vypracovat jako mezník mé dosavadní pětileté         práce, v němž uplatním nabyté poznatky a zkušenosti z práce s nadanými dětmi         a který bude sloužit jako výchozí bod pro moji další práci tím, že si odpovím na         některé otázky, které jsem si položila – zejména zda u nadaných žáků existují         převládající strategie řešení matematických úloh.                    8           ┼","ÚVOD                            Podnětem ke zpracování publikace byly otázky mnoha rodičů, jejichž děti vyka-                zovaly v předškolním věku řadu výjimečných vlastností, ale ve škole nebyly spo-                kojeny. Při přechodu do školní docházky nastaly problémy, děti se nerozvíjely                a ztrácely zájem o školní vyučování. Položila jsem si otázku, jaké typy matema-                tických úloh je vhodné nabízet nadaným žákům, aby byl plně využíván jejich                potenciál, a jaké strategie řešení mohou učitelé od nadaných žáků očekávat. Jako                nosné téma se mi v tomto ohledu jevil přechod od aritmetiky k algebře a úlohy                rovnicového charakteru, které žákům nabízí širokou paletu řešitelských strategií.                Cílem publikace je vyhodnotit přístupy k řešení matematických úloh různými                skupinami žáků vzhledem k nadání, a to během 1. i 2. stupně základní školy. Z výše                uvedených důvodů byly pro testování vybrány úlohy rovnicového charakteru.                Problematiku vzdělávání nadaných žáků jsem se však rozhodla pojmout v širším                kontextu. Čtenář bude seznámen s aktuální koncepcí vzdělávání nadaných žáků                i s historickým vývojem pohledu na nadané.                Publikace je členěna do 10 kapitol. První tři části jsou věnovány teoretickým vý-                chodiskům, problematice nadaných dětí a jejich identifikace, problematice podvý-                konnosti či dvojí výjimečnosti, problematice matematického nadání a jeho projevů.                Čtenář se v této části může seznámit s různými pohledy na nadání a s různými                typy nadání v závislosti na druzích inteligence. Jsou uvedeny případové studie                několika žáků, se kterými jsem měla možnost během posledních pěti let pracovat.                Na těchto ukázkách je možné sledovat, že nadaní žáci mají velmi rozdílné projevy.                Jejich výkony jsou ovlivněny druhem inteligence, který u nich převládá, ale rovněž                prostředím, ve kterém se vzdělávají. Pozornost je dále v rámci první části věnová-                na vzdělávání nadaných žáků, vlivu rodiny a učitelů. Čtenář má dále možnost                seznámit se s problematikou rozvoje algebraického myšlení a přechodem od arit-                metiky k algebře, ke kterému by na základní škole mělo docházet.                Druhá část obsahuje výzkumná šetření, která byla prováděna postupně v letech                2013–2017 se žáky 1. a 2. stupně ZŠ. U žáků 1. stupně se jednalo o analýzu žákov-                ských řešení úloh rovnicového typu, tj. slovních úloh, které vedou k řešení pomo-                cí rovnice. Jsou ukázány různé přístupy k řešení a rovněž chyby, kterých se žáci                dopouštějí. Pro žáky 2. stupně byl vytvořen test sestávající rovněž z úloh rovnico-                vého charakteru. Byla provedena kvantitativní i kvalitativní analýza výsledků                                                                                      9                                                                                ┼","žáků, zaměřující se na různé metody řešení, které žáci volili, a na schopnost při-         stoupit k řešení úlohy, když nejsou seznámeni s postupem řešení úlohy v rámci         školní výuky.         Poslední tři kapitoly jsou věnovány závěrům, diskusi a doporučení do praxe. Zá-         věry mohou být podkladem pro výzkumníky, kteří se chtějí věnovat problematice         vzdělávání nadaných žáků v matematice. Uvedené poznatky mohou rovněž sloužit         studentům učitelství matematiky na ZŠ i učitelům pro rozšíření povědomí o pro-         blematice vzdělávání nadaných žáků a přechodu od aritmetiky k algebře, případně         i pro další výzkum.         Ráda bych poděkovala RNDr. Marii Budíkové, která provedla kvantitativní ana-         lýzu výsledků testu a byla mi velmi ochotnou a trpělivou rádkyní při zpracování         dat.                                                           10            ┼","TEORETICKÝ RÁMEC                    – 1 –                  NADÁNÍ A NADANÝ ŽÁK                            – 1 – 1  NADÁNÍ A TALENT                  V odborné literatuře najdeme různé přístupy k vymezení pojmu nadání, které se                od sebe mohou zásadně lišit. Různá pojetí tohoto pojmu se liší především tím,                zda nadání souvisí s potenciálem jedince, či s jeho výkony. Některé přístupy pro-                to chápou nadání jako projev vynikajícího, nadprůměrného výkonu, jiné jako                potenciál podávat nadprůměrný výkon v jakékoli hodnotné oblasti, případně jako                potenciál rozvíjet svou kreativitu (Havigerová, 2011). Hříbková (2009) uvádí,                že nadání je často chápáno jako potenciál (potenciálem mohou být myšleny např.                schopnosti, motivace, vlastnosti a rysy atd.) na straně osobnosti k určité činnosti                podmiňující mimořádný výkon. Problém ale spatřuje v tom, že abychom mohli                vyslovit určitý úsudek o potenciálu, musíme podaný výkon jedince porovnat                (v dětském věku nejčastěji s výkony vrstevníků v téže oblasti, v dospělosti s vý-                kony ostatních v daném oboru). Na potenciál tedy usuzujeme z výkonů, ty jsou ale                ovlivněny celou řadou dalších faktorů.                 Můžeme se setkat i s tzv. IQ definicí, která jako nadaného označuje každého,                kdo má nadprůměrnou hodnotu inteligenčního kvocientu, obvykle IQ ≥ 130                (Havigerová, 2011). Tento přístup je výhodný z pohledu měřitelnosti a také srov-                nání výkonů nadaných jedinců.                Z různých vymezení pojmu nadání je mi nejbližší to, které nadání chápe jako                potenciál pro podávání nadprůměrných výkonů v určité oblasti. To znamená,                že jestliže se dítě nenachází v dostatečně stimulujícím prostředí, jeho nadání se                nemusí projevit. Nadání proto budu chápat jako „dispozici k projevení nadprůměr-                ných výkonů v jakékoli hodnotné oblasti lidského snažení“ (Havigerová, Křová-                čová et al., 2011: s. 5). Slovní spojení „nadprůměrný výkon“ však nelze zaměňo-                vat se schopností plnit úkoly rychleji nebo bezchybně a podobně. Nadání v tomto                směru není tak jednoznačně vymezitelné, jak se často očekává.                                                                                       11                                                                               ┼","Pojmy nadání a talent chápe celá řada autorů synonymně (Hříbková, 2009; Por-         tešová, 2011; aj.). Někteří autoři mezi těmito pojmy rozlišují. Například Gagné         (2005) chápe „nadání“ jako vrozenou schopnost neboli vlohu, zatímco „talent“         definuje jako získanou dovednost, která se rozvíjí díky vlivu okolí. V práci budu         tyto pojmy používat jako synonyma.            – 1 – 2  NADANÉ DĚTI          Hříbková (2009) uvádí, že v osobnostněvývojovém přístupu ke studiu nadání bylo         velké úsilí věnováno odhalení charakteristických znaků nadaného dítěte. I když         je, jak píše, třeba brát v úvahu druh nadání, které modifikuje jednotlivé behavio-         rální projevy dítěte, přesto se ukazuje, že zejména tři znaky jsou určující. Podle         Hříbkové lze tedy za mimořádně nadané dítě považovat dítě (2009: s. 45):            •  „které velmi záhy ve svých projevech manifestuje vývojovou akceleraci              a je těmito projevy nápadné ve srovnání s vrstevníky;            •  které podává v určité oblasti (i nekognitivní) vynikající výkony, které jsou              ve srovnání s vrstevníky z hlediska kvantity či kvality výjimečné;            •  u kterého byl opakovaně zjištěn osobnostní potenciál pro podávání mimo-              řádných výkonů, který se však dosud ve výkonech v daných oblastech              běžně neprojevuje (např. intelektový, tvořivý, popř. silný zájem o určitou              oblast nebo několik oblastí lidské činnosti projevující se např. vytrvalostí              při řešení úkolů a neobvyklými znalostmi aj.).“         Ve školském zákoně je od roku 2004 vymezena skupina mimořádně nadaných         dětí, žáků a studentů. Školský zákon současně pověřuje zjišťováním mimořád-         ného nadání pedagogicko-psychologické poradny (PPP) a speciálně-pedagogická         centra (SPC). Vzdělávání nadaných dětí, žáků a studentů je legislativně zakotveno         Zákonem č. 561/2004 Sb., o předškolním, základním, středním, vyšším odbor-         ném a jiném vzdělávání (školský zákon), v platném znění, § 16–19, a Vyhláškou         č. 27/2016 Sb., o vzdělávání žáků se speciálními vzdělávacími potřebami a žáků         nadaných, v platném znění. Za mimořádně nadaného žáka se pro účely této vy-         hlášky považuje „především žák, jehož rozložení schopností dosahuje mimořádné         úrovně při vysoké tvořivosti v celém okruhu činností nebo v jednotlivých oblastech         rozumových schopností, v pohybových, manuálních, uměleckých nebo sociálních         dovednostech“ (Standard komplexní diagnostiky mimořádného [intelektového]         nadání, 2016).         V Rámcovém vzdělávacím programu pro základní vzdělávání (RVP ZV) je vy-         mezena skupina nadaných žáků a skupina mimořádně nadaných žáků následovně:         „Nadaným žákem se rozumí jedinec, který při adekvátní podpoře vykazuje ve         srovnání s vrstevníky vysokou úroveň v jedné či více oblastech rozumových         schopností, v pohybových, manuálních, uměleckých nebo sociálních dovednostech.         Za mimořádně nadaného žáka se v souladu s vyhláškou č. 27/2016 Sb. považuje          12            ┼","žák, jehož rozložení schopností dosahuje mimořádné úrovně při vysoké tvořivos-                ti v celém okruhu činností nebo v jednotlivých oblastech rozumových schopností“                (s. 148). Z uvedeného vymezení se jeví, že nadaný žák dává najevo své schopnos-                ti a využívá nadání k podávání nadprůměrných školních výkonů.                  – 1 – 3  INTELIGENCE                 Rozumové nadání bývá velmi často spojováno s inteligencí. Solso (2001) uvádí,                že není možné uvést jednoznačnou definici inteligence. K pojmu inteligence se                vztahuje celá řada forem poznávání, jako jsou vytváření pojmů, zdůvodňování,                řešení problémů, tvořivost nebo také paměť a percepce. Solso (2001) uvádí „pra-                covní“ definici inteligence jako „schopnost získat, vybavit si a využít znalostí                k porozumění konkrétních a abstraktních pojmů a vztahů mezi nimi a využít                znalosti smysluplným způsobem“ (Solso, 2001: s. 468). Jedním pohledem na inte-                ligenci, využitelným zejména ve školním kontextu, je tedy schopnost učit se tak,                aby byly naučené poznatky využitelné. V běžném životě však není schopnost učit                se zdaleka jediným atributem inteligence. Sternberg a Williams (2002) uvádí, že                v roce 1986 byly osloveny dvě skupiny expertů a ty definovaly inteligenci pomocí                (1) schopnosti učit se ze zkušenosti a (2) schopnosti adaptovat se okolnímu                prostředí. Později byla zdůrazňována také metakognice jakožto schopnost poro-                zumět vlastním procesům myšlení a kontrolovat je.                Goleman (2011 ) uvádí, že od padesátých let 20. století psychologie kladla přehna-                             1                ný důraz na kognitivní prvky lidské inteligence, a to dokonce i v oblasti emocí.                Na sklonku let šedesátých se s příchodem „kognitivní revoluce“ psychologie za-                měřila především na mechanismy, kterými mysl registruje a uchovává informace,                a na podstatu inteligence. Emoce v tomto pojetí neměly v inteligenci místo. Přitom                je to podle Golemana právě emoční složka inteligence, která předurčuje to, jak                bude jedinec schopen využít svůj potenciál v životě, zda se bude správně rozho-                dovat, s kým vstoupit do manželství, jaké zaměstnání si vybrat atd.                Inteligence bezpochyby souvisí s pamětí. Podle délky doby, po kterou nabytý                poznatek zůstává ve využitelné kognitivní struktuře, rozlišujeme paměť krátko-                dobou a dlouhodobou. Krátkodobou paměť lze vnímat jako mezistanici mezi                novými poznatky a dlouhodobou pamětí. Mezi receptory a skladištěm našich                vědomostí a poznatků (dlouhodobou pamětí) stojí krátkodobá paměť. Její kapacita                je omezená, ale plní velice významnou roli. Solso (2001) uvádí, že podle výzkumů                Donalda Hebba informace konvertují z krátkodobé do dlouhodobé paměti v pří-                padě, že pobyly v krátkodobé paměti dostatečně dlouho. Sám ovšem upozorňuje,                      1    Původní vydání v anglickém originále z roku 1995.                                                                                    13                                                                               ┼","že podle jiných výzkumů pouhé držení informací v krátkodobé paměti nezaručí         jejich trvalost. Dalším důležitým faktorem je to, aby informace byla zkombinová-         na s nějakým již existujícím, v paměti ukotveným poznatkem. Ve výuce matema-         tiky je důležité, aby žáci uměli využívat jak krátkodobou, tak dlouhodobou paměť,         neboť matematické poznatky na sebe navzájem navazují.         Inteligence je někdy spojována s rychlostí řešení úloh. To mnohdy nemusí platit,         neboť inteligentní žáci mohou strávit více času, nežli začnou řešit úlohu. Rozho-         dují se, jak budou řešit úlohu jako celek. Sternberg (1981; cit. dle Sternberg         \& Williams, 2002) toto plánování nazývá jako „globální plánování“, oproti „lokál-         nímu plánování“, které využívají méně inteligentní žáci.            – 1 – 4  INTELIGENČNÍ KVOCIENT          Na konci 19. století zavedli francouzští psychologové Alfred Binet a Théodor Simon         pojem mentální věk, tedy něco jako duševní potenciál dítěte. V roce 1912 zavedl         německý psycholog William Stern termín inteligenční kvocient a vyjádřil jej jako         číselný poměr mentálního a skutečného (tzv. chronologického) věku, násobeno         stem, tj.                                          mentální věk                                        = 100 ∙        .                                        chronologický věk         Průměrné IQ má hodnotu 100 a odpovídá lidem, u nichž mentální věk souhlasí         s věkem chronologickým. Od této doby byl hodnotě IQ přisuzován značný význam         a „nadání bylo definováno pouze jako vysoce nadprůměrný výkon dítěte v inteli-         genčním testu, nejčastěji chápané jako IQ = 140 a více, i když později posunula         většina badatelů hranici na IQ = 130“ (Portešová, 2011: s. 18).         Podle Portešové (2011) se význam IQ v 70. letech 20. století začal přehodnocovat.         Začalo se projevovat, že IQ není jedinou stránkou, která ovlivňuje úspěch dítěte         v pozdějším životě. Rovněž dle Golemana (2011) je IQ jen jednou a nikoli nej-         významnější složkou předpokladu kvality života. Hledal klíč k pochopení, proč         život jednoho člověka vzkvétá, zatímco druhý, stejně inteligentní člověk skončil         ve slepé uličce: „Citové schopnosti jsou vyšším nadáním, jež rozhoduje o tom,         jak dobře dokážeme použít ostatní naše schopnosti, včetně logického myšlení“         (Goleman, 2011: s. 41). Kritizoval testování žáků jednostrannými zkouškami,         které se zaměřovaly prakticky jen na dva typy školních dovedností, a to na verbál-         ní a matematicko-logické myšlení.         Přestože již dnes většina odborníků souhlasí s názorem, že inteligenční kvocient         není dostatečným ukazatelem nadání, stanovení IQ má své nesporné výhody, díky         nimž dodnes přetrvává měření IQ u žáků a poté jejich zařazování do určitých         kategorií. Výhodami jsou snadná měřitelnost pomocí standardizovaných testů         a snadné rozdělení žáků do jednotlivých intervalů podle IQ. Z těchto důvodů uve-         du teorii stanovení stupně nadání podle IQ.           14            ┼","Podle výše inteligenčního kvocientu lze odvozovat různé stupně nadání. Inteli-                genční kvocient vyjadřuje hodnotu výkonu určitého jedince na stupnici, v níž                číslo 100 znamená právě průměrný výkon. Čísla menší než 100 značí různé stup-                ně podprůměrných výkonů a čísla větší než 100 značí různé stupně nadprůměr-                ných výkonů (Havigerová, 2011). Výkon lze rozdělit do určitých intervalů. Ve                výzkumech (např. Nordby, cit. dle Havigerová, 2011; Fořtík \& Fořtíková, 2007)                jsou standardně užívány tyto intervaly a označení (Tab. 1).                       Tab. 1 Jeden ze způsobů rozdělení výkonu v inteligenčním testu do intervalů                 IQ      Označení úrovně kognitivních schopností jedince Výskyt v populaci                 115‒129 Bystrý jedinec                                   14,0 %                 130‒144 Nadprůměrně nadaný                               2,0 %                 145‒159 Vysoce nadaný                                    0,1 %                  Podle Laznibatové (2001) jsou rozdíly v pásmech intelektu nad 140 velké a výraz-                né. „Nad hranicí 130 – a to každých 15 bodů, jde o jiný typ inteligence. (…) Výko-                ny dětí s IQ 145 oproti dětem s IQ 130 jsou asi takové, jako když porovnáme výkon                dětí s IQ 130 a 115“ (s. 32). Je-li IQ vyšší než 180, mluvíme obvykle o genialitě.                Zcela jiné intervaly pro míru intelektového nadání nacházíme u Gagného (2005:                s. 109), a to následující:                    Tab. 2 Gagného metrický systém intervalů v populaci nadaných / talentovaných                                             (Gagné, 2005)                  IQ               Označení                  Výskyt v populaci                 120–134          Mírně nadaný              1:10                 135–144          Středně nadaný            1:100                 145–154          Vysoce nadaný             1:1 000                 155–164          Mimořádně nadaný          1:10 000                 165 a více 2     Extrémně nadaný           1:100 000                  Podle výše inteligenčního kvocientu lze rozlišovat mezi dětmi nadanými a bys-                trými. Jako hranice bystrosti bývá udávána hodnota IQ 115 a jako hranice nadání                hodnota IQ 130. Rozdíly mezi dětmi bystrými a nadanými jsou ve výuce patrné.                      2    V České republice neexistuje test, který by měřil intelektové nadání v takto vysokých                   pásmech.                                                                                    15                                                                               ┼","Bystré děti jsou šikovné, dobře se učí a vyhovují jim běžně používané výukové         postupy a formy učení. Rozumově nadané děti často nejsou uspokojovány běž-         nými postupy, vyžadují individuální přístup. Laznibatová (2001) upozorňuje,         že v běžné výuce vznikají problémy v důsledku velkých rozdílů v tempu učení,         schopnosti abstrakce, v kombinačních schopnostech, ve vyjadřování, v myšlení         aj. u různých skupin žáků. Výrazné rozdíly lze sledovat rovněž mezi žáky         bystrými (šikovnými, dobře se učícími) a intelektově nadanými. Poukazuje na to         Cvetkovič-Lay (1995, cit. dle Laznibatová, 2001), viz Tab. 3.               Tab. 3 Rozdíly mezi bystrým a nadaným dítětem (Laznibatová, 2001: s. 87)         Bystré dítě                     Mimořádně rozumově nadané dítě         Zná odpovědi                    Klade otázky         Zajímá se                       Je až neodbytně zvědavé         Má dobré nápady                 Má neobvyklé nápady         Odpovídá na otázky              Zajímá se o detaily, rozpracovává, dokončuje         Je vůdcem skupiny               Je samostatné, často pracuje samo         Se zájmem naslouchá             Projevuje silné emoce, přitom naslouchá         Lehce se učí                    Všechno již ví         Je oblíbené u vrstevníků        Má raději společnost starších dětí a dospělých         Chápe významy                   Samostatně vyvozuje závěry         Vymýšlí úlohy a úspěšně je řeší  Iniciuje projekty         Přijímá úkoly a poslušně je vykonává  Úkoly přijímá kriticky, dělá jen to, co ho baví         Přesně kopíruje algoritmy úloh  Vytváří nová řešení         Dobře se cítí ve škole          Dobře se cítí při učení         Přijímá informace, vstřebává je  Využívá informace, hledá nové aplikace         Dobře si pamatuje               Kvalitně usuzuje         Je vytrvalé při sledování       Velmi pozorně sleduje         Je spokojené se svým učením a výsledky Je velmi sebekritické           Již bylo zmíněno, že v současné době se nadání nehodnotí pouze na základě výše         IQ. Je patrné, že není vhodné stanovit určitou hranici IQ, od níž budeme jedince         považovat za nadané a pod níž se o ně nebudeme zajímat. IQ samo o sobě řekne         sice o žákovi mnohé, ale určitě ne vše. Při vzdělávání žáků je třeba vědět, že již         bystré děti mohou mít v matematice velmi dobré nápady, mohou mít zajímavé         přístupy k řešení úloh, a hlavně si v budoucnu mohou vybrat povolání, v němž         budou matematiku aktivně používat.                16            ┼","– 1 – 5  NOVĚJŠÍ POHLEDY NA TEORII INTELIGENCE A NADÁNÍ                 Psychologové si postupně uvědomovali, že nadání nelze ztotožňovat s celkovou                inteligencí. Různí žáci mohou mít nadprůměrně rozvinuty některé složky inteli-                gence, zatímco v jiných oblastech jsou slabší. Howard Gardner v roce 1983 vytvo-                řil teorii multiplikativní inteligence, v níž rozlišil osm relativně nezávislých                inteligencí (Gardner, 2006):                1.  Jazyková inteligence, používaná při čtení textů, psaní (např. eseje nebo básně),                   souvislém mluvení a porozumění přednáškám.                2.  Logicko-matematická inteligence, používaná při řešení matematických pro-                   blémů, ať už slovních nebo početních, provádění matematických nebo logických                   důkazů.                3.  Prostorová inteligence, používaná v každodenním životě při orientování se                   v prostoru.                4.  Muzikální inteligence, používaná při hraní na hudební nástroj či zpívání, ale                   také při porozumění poslouchané hudbě.                5.  Tělesně-kinestetická inteligence, používaná při sportování, pohybu.                6.  Interpersonální inteligence, používaná pro porozumění, proč se druzí lidé                   chovají tak, jak se chovají, při rozhodování se, jak vhodně reagovat na komen-                   táře druhých lidí.                7.  Intrapersonální inteligence, používaná při porozumění sama sobě – proč                   přemýšlíme, cítíme a konáme určitým způsobem – a poznání našich silných                   stránek a limitů.                8.  Přírodní inteligence, používaná při porozumění živé a neživé přírodě.                Každý člověk, nejen nadaný, má jednotlivé složky inteligence různě rozvinuté.                Může se například stát, že jedinec má vysokou logicko-matematickou inteligen-                ci, ale má méně rozvinutou interpersonální inteligenci. Někdo je vysoce nadaný                na jazyky, ale logicko-matematická inteligence je u něj na nízké úrovni. A tak                podobně.                Nabízí se otázka, zda je inteligence zcela neměnný atribut, daný pouze dědičnos-                tí a geny. Alfred Binet, který jako první sestavil v roce 1905 test inteligence, byl                přesvědčen, že inteligence se může rozvíjet po celý život (Campbell, 2001). Jeden                z jeho žáků, Lewis Terman, byl naopak názoru, že IQ je po celý život neměnný                a je dán geneticky. V Americe převažovalo Termanovo stanovisko po většinu                20. století. Ještě dnes někteří autoři zastávají převahu genetického podmínění IQ,                např. Herrnstein a Murray (1994) argumentují tím, že individuální diference IQ                se stabilizuje přibližně v šesti letech věku. Od této chvíle je tedy podle nich                neměnná bez ohledu na způsoby vzdělávání a vychovávání dítěte.                Mnoho psychologů dnes věří, že inteligence může být modifikována (Sternberg                \& Williams, 2002). Byla přijata idea genově-environmentální interakce, v níž se                                                                                      17                                                                               ┼","kombinují genové vlivy a vlivy prostředí. Také Carol Dweck uvádí, že inteligence         je sice vrozená kvalita každého jedince, ale vedle genů je stejně důležité prostředí,         ve kterém se jedinec nachází. Aby geny mohly být úspěšně využity, je potřeba         podnětného prostředí, umožňujícího správný vývoj (Dweck, 2006).         Joseph Renzulli rozlišuje mezi školním nadáním a tvořivě-produktivním nadá-         ním. Tvořivě-produktivní nadání mají lidé, kteří tvoří literární díla, divadelní díla,         provádí vědecký výzkum nebo vytvářejí jiné hodnoty, které jsou ohodnoceny ve         světě mimo školu (Renzulli, 1978). Podle něj nemusí být lidé, kteří jsou nadaní         v oblastech souvisejících se školním vzděláváním, tvořivě-produktivně nadaní         a také naopak. Renzulli (2005) uvádí, že ze sedmi druhů inteligence, které formu-         loval Gardner, jsou ve škole ohodnoceny dva druhy inteligence – jazyková a logic-         ko-matematická.         Renzulli (1978) se zabýval výzkumem tvořivě-produktivních lidí, kteří dosáhli         v určité oblasti jedinečných výsledků a pro něž nebylo možné najít kritérium,         které by určilo jejich nadání. Tito lidé se však vyznačovali interakcí tří vlastností,         a to nadprůměrnými schopnostmi (nemuselo jít o mimořádné schopnosti), tvoři-         vostí a angažovaností v úkolu. Z nich vytvořil v roce 1978 tzv. tříkruhový model         nadání, viz Obr. 1.                                 Obr. 1 Grafická reprezentace Renzulliho tříkruhové koncepce nadání                                   (Renzulli, 1978: s. 3)           V roce 1986 upravil Mönks Renzulliho tříkruhový model na multifaktorový         model (Obr. 2), který zahrnuje i komponenty prostředí. Mönks tedy chápe nadání         jako potenciál jedince pro mimořádné či význačné výkony v jedné nebo více         oblastech (Mönks, 1987), avšak upozorňuje, že aby mohl být potenciál jakožto         charakteristika jedince, daná jeho motivací, kreativitou a mimořádnými schop-         nostmi, smysluplně využit, musí mít jedinec podnětné sociální prostředí, tvořené         zejména školou, rodinou a vrstevníky.              18            ┼","Obr. 2 Mönksův multifaktorový model nadání (Mönks, 1987: s. 216)                   – 1 – 6  RŮZNÉ TYPY NADANÝCH ŽÁKŮ                 George Betts a Maureen Neihart (1988; 2017) zavedli šest profilů nadaných dětí,                které jsou uznávané americkou Národní asociací pro nadané děti :                                                                       3                1.  Úspěšné děti, které jsou oblíbené u učitelů, obdivované spolužáky i rodiči; mají                   excelentní výsledky ve škole a jsou často vytipovány učiteli; tyto děti, jakož                   i děti z dalších profilů, se ve škole snadno začnou nudit.                2.  Autonomní děti, které jsou obdivované pro své schopnosti, jsou vnímány jako                   ti, kteří uspějí; mají dobré sebevědomí, vysokou vnitřní motivaci; mívají dobré                   známky.                3.  Skrývači nadání („underground gifted“), kteří působí tiše a ostýchavě, jako                   málo odolní a přecitlivělí, jsou vnímáni jako úspěšní průměrní; nejsou si jisti                   sami sebou, mají nízké sebevědomí; ve škole nebývají identifikováni.                4.  Defenzivní odpadlíci, kteří jsou vnímáni jako neposlušní, nepřijímají je do-                   spělí ani vrstevníci; jsou stále v opozici, mají na vše vztek; objevuje se u nich                   nesoulad mezi inteligencí a školními výsledky, jsou vynikající v mimoškolních                   aktivitách. Tato skupina také bývá u nás označována jako podvýkonní žáci.                5.  Provokatéři (kreativní rebelové), kteří mívají problémy s disciplínou, působí                   jako iritující; ve škole se rychle začnou nudit, jsou netrpěliví, často v opozici,                   mají nízké sebevědomí; ve škole nebývají identifikováni.                      3    National Association for Gifted Children, Washington: https://www.nagc.org/                                                                                    19                                                                               ┼","6.  Děti s dvojí výjimečností (nadané děti s fyzickým hendikepem či s poru-            chou učení), které bývají vnímány jako divné a hloupé, ostatní děti se jim            vyhýbají; nedokážou reagovat na požadavky učitele, jsou frustrované, mají            nízké sebevědomí, nechápou příčiny svých těžkostí; potřebují velkou podporu.         Mezi uvedenými profily nadaných žáků jsou pro učitele komplikované zejména         profily podvýkonných nadaných žáků a dětí s dvojí výjimečností. U těchto skupin         žáků se projevuje nesoulad mezi nadáním (často i identifikovaným v PPP) a škol-         ními výkony. Z tohoto důvodu se nyní těmito dvěma skupinami nadaných žáků         budu zabývat podrobněji.           – 1 – 6 – 1   Podvýkonní nadaní žáci          Podvýkonnými dětmi rozumíme děti, které dlouhodobě školsky neprospívají         a potřebují speciální péči, nebo prospívají (mohou mít dokonce samé jedničky), ale         nenaplňují svůj potenciál (Siegle, 2012). Podvýkonnost může mít různé příčiny:         nepřiměřený tlak okolí na dítě (ať už malý nebo naopak velký), touha zařadit se         mezi vrstevníky, nízké sebevědomí aj.         Podvýkonné nadané děti mají společné znaky, které se projevují v oblasti učení         i chování. V oblasti učení se jedná zejména o tyto znaky: žák z nějakého důvodu         zatajuje své vysoké schopnosti (např. se snaží o přízeň vrstevníků); má chabé         pracovní návyky, malou výdrž, nedokončuje práci; obecně má malou schopnost         pozornosti, ale dokáže se koncentrovat u činností, které jej baví; je frustrován         nečinností a nedostatkem podnětů; často o všem diskutuje, ale má malou schopnost         naslouchat atd. (Thomson, 2006). V oblasti chování se jedná nejčastěji o tyto zna-         ky: nedodržuje pravidla kolektivu, je konfrontační; neudrží pozornost; ignoruje         potřeby druhých; vyrušuje spolužáky; může se jevit znuděný, frustrovaný, tvrdo-         hlavý a nespolupracující; může se zdát, že zabíjí čas a je duchem nepřítomný;         nemá trpělivost se spolužáky, kteří přemýšlejí pomaleji; nekomunikuje dostatečně         se spolužáky či učitelem; preferuje samostatnou práci a věnuje se vlastním zájmům;         cítí se omezený restrikcemi, pracuje vlastním způsobem a tempem atd. (Thomson,         2006). Snad každý učitel se setkal se žákem, který se projevoval právě takto. Je-li         nekonformní chování žáka způsobeno podvýkonností, žák potřebuje ze strany         učitele pomoc a trpělivé vedení, aby se postupně začal uplatňovat a rozvíjet jeho         talent.           – 1 – 6 – 2   Žáci s dvojí výjimečností          Dvojí výjimečnost je kombinace nadání a určitého postižení či specifických potí-         ží, které mohou ovlivnit učení. Nejčastěji se jedná o dyslexii, dysgrafii, dysorto-         grafii, dyspraxii, Aspergerův syndrom, ADHD apod. Děti s dvojí výjimečností         vyžadují individuální přístup a velkou trpělivost od učitele.            20            ┼","Nadané děti s poruchami učení, nejčastěji s dyslexií, tvoří největší část skupiny                nadaných s handicapem. Zároveň jde o jedinou skupinu nadaných s postižením,                u níž nemusí být jejich handicap zjevný a nápadný (Portešová, 2011).                Definic dyslexie existuje mnoho a často jsou nejednotné. Portešová (2009: s. 20)                uvádí nejčastější vymezení dyslexie jako „neočekávané obtíže ve čtení, jež exis-                tují u jedinců, kteří mají normální nebo nadprůměrnou inteligenci, motivaci                a odpovídající vzdělávací podmínky k dosažení plynulého čtení. Obtíže ve čtení                vznikají na základě určitého handicapu, deficitu.“ Jedná se tedy o deficitní vyme-                zení dyslexie. Toto pojetí chápe dyslexii jako problém, který je možné v některých                případech kompenzací zmírnit.                 Někteří autoři vymezují pozitivní pojetí dyslexie (např. West, 2009), které před-                pokládá, že jedinci s dyslexií jsou velmi často nadaní, a to zejména ve vizuálně-                -prostorové oblasti a tvořivosti. Podle těchto autorů není vhodné hodnotit dyslexii                jako deficit nebo dokonce zdravotní postižení. Adekvátnější je podle nich vymezit                dyslexii jako odlišný způsob zpracování informací, jako vzdělávací odlišnost                (Portešová, 2009). West (2009) zmiňuje, že řada dyslektiků disponuje určitými                schopnostmi, zejména vizuálně-prostorovými schopnostmi, které by byly zcela                opomíjeny, pokud by byla pozornost upřena pouze na jejich deficity a handicapy                a na reedukaci těchto deficitů. V tomto pojetí jsou dyslexie a nadání dva aspekty                téže věci.                Rovněž americký neurolog Geschwind (1982) zastává hypotézu jednoty deficitu                a nadání, v níž dyslexie a nadání jsou dva aspekty téhož. Jak je ohodnotíme, zále-                ží pouze na situaci a kontextu.                Čtení není jedinou oblastí, v níž mohou mít žáci s dyslexií problémy. Růžička (2014)                upozorňuje na častou koincidenci dyslexie a řečových vad. Děti s dyslexií mívají                opožděný vývoj řeči, špatnou výslovnost některých hlásek, mluví rychle a ledaby-                le, neartikulují.                Portešová (2011) dále upozorňuje, že dle některých autorů (např. Dixon, 1983) lidé                s dyslexií upřednostňují neverbální způsob myšlení, a to je mnohem rychlejší než                myšlení verbální. Z toho důvodu mohou mít nadaní s dyslexií problém plynule                vyjadřovat své myšlenky.                Nadané děti s dyslexií potřebují od učitele matematiky podporu a pomoc v oblas-                ti čtení a psaní matematických zápisů, aby se eliminovaly numerické chyby,                aby dokázaly číst s porozuměním jak texty slovních úloh, tak symbolický zápis.                Mívají problémy s udržením pozornosti. Učitel by měl být připraven (odborně                i morálně) na to, že žáci s dyslexií potřebují více času na plnění úkolů.                Náročná je pro učitele kombinace nadání a Aspergerova syndromu, jedné z po-                ruch autistického spektra.                Porucha autistického spektra (PAS) je celoživotní neurovývojová porucha, která                má vliv na sociální a komunikační schopnosti jedince, tzn. ovlivňuje to, jak se                                                                                     21                                                                               ┼","dotyčný chová k ostatním a jak s nimi komunikuje. Důsledkem poruchy je, že dítě         špatně vyhodnocuje informace, které k němu přicházejí (nerozumí dobře tomu,         co vidí, slyší a prožívá) – z toho plyne narušení v oblasti komunikace, sociálního         chování a představivosti (Thorová, 2016). Mezi nejčastější zástupce PAS patří         dětský autismus, atypický autismus a Aspergerův syndrom (též nazýván jako         „sociální dyslexie“) (Thorová, 2016).         Autismus je neurovývojová porucha, jejíž projevy souvisí s vyzráváním mozku.         Jde o poruchu vrozenou. Z hlediska neuropsychologického problémy dítěte vyvě-         rají z potíží s vnímáním (příjmem) informací, zpracováním informací (problémy         v oblasti emocí a myšlení) a integrací informací (oblast metakognice a exekutivních         funkcí) (Thorová, 2016). Autisté běžně mívají průměrnou až podprůměrnou inte-         ligenci. Zhruba v jednom z deseti případů se však vyskytuje kombinace autismu         a určitých vysokých schopností (Přikryl, 1999). Tito lidé projevují pouze malé či         žádné schopnosti logiky, originality a kreativity, mají však fenomenální paměť.         Sami neumí své schopnosti využít a většinou jim ani nerozumí a neumí popsat         postup, jakým dosáhli výsledku (Přikryl, 1999).         Děti s Aspergerovým syndromem mívají obdobné problémy jako děti s autismem.         Intelektově jsou dobře vybavené, avšak celkový profil schopností v inteligenčních         testech bývá u těchto dětí dosti nevyvážený (Attwood, 2012). Mívají fenomenální         paměť. Dítě s Aspergerovým syndromem si sice obdivuhodně vybaví nejrůznější         informace, umí vysvětlit význam nejrůznějších slov, ale řešení problémů nebývá         jeho silnou stránkou (Attwood, 2012). Jedinci s Aspergerovým syndromem míva-         jí potíže s pružností myšlení, neboli mají přesně nalinkovaný způsob uvažování,         který se obtížně mění; vyznačují se rigidním myšlením, nedokážou se přizpůsobit         změnám, neumějí přiznat selhání (Attwood, 2012).         Lidé s Aspergerovým syndromem mohou být nadaní téměř ve všech oblastech         (v oblasti literární, v psaní poezie, v paměťových dovednostech); jsou mezi nimi         rychločtenáři, lidé s vynikajícím matematickým a logickým uvažováním, šachis-         té, malíři (Thorová, 2016). Mnoho žáků s Aspergerovým syndromem má zájem         o matematiku. Tito lidé vysokou rychlostí provádí aritmetické operace. Mají jiný         způsob myšlení; postupy, které nám leckdy připadají podivné, jsou pro ně mnohem         srozumitelnější a snadnější než ty, jež označujeme za klasické (Attwood, 2012).         Jedinci s Aspergerovým syndromem zdánlivě nemají zájem o komunikaci s dru-         hými, přitom většina z nich touží po kontaktu s druhými lidmi. Problémem je to,         že neví, jak v daných situacích reagovat. Mnohdy proto reagují nevhodným způ-         sobem (zahlcují druhé lidi svým tématem, křičí apod.) (Bělohlávková, 2013).         Jestliže se jim kontakt s druhými opakovaně nezdaří, cíleně ho již nevyhledávají.         Jsou spíše individualisté než týmoví hráči; skupinové aktivity pro ně totiž před-         stavují zdroj stresu (Attwood, 2012). Dětem je potřeba pomoci nácvikem sociálních         dovedností, zejména v oblastech emocí, neverbální komunikace, komunikace         a vztahů s druhými lidmi.            22            ┼","U dětí s Aspergerovým syndromem je nevyhnutelná spolupráce učitele s rodiči.                Rodič je pro učitele důležitým zdrojem informací. Rodič učiteli popíše zátěžové                situace, vysvětlí, co u dítěte spouští negativní prožívání, a může nabídnout návod                na to, jak zátěžovým situacím předcházet a jak je řešit. Učitel může upravovat                vzdělávací proces podle potřeb dítěte a svým postojem a chováním vůči dítěti                s Aspergerovým syndromem vést kolektiv jeho spolužáků k pochopení odlišností                těchto lidí (Mišovcová, 2014).                Kombinace nadání a ADHD (poruchy pozornosti s hyperaktivitou) vyžaduje od                učitele trpělivost, neboť tito žáci mají tendenci opakovaně vyrušovat, zabývají se                jinými činnostmi, než jsou zadány učitelem, mají potřebu pohybové aktivity během                hodiny. Efektivní metodou je zaměstnávat jejich mentální aktivitu kvalitativně                náročnějšími činnostmi.                  – 1 – 7  MATEMATICKÉ NADÁNÍ                  Pro výkony v matematice je určující typ inteligence. Všeobecná inteligence nemu-                sí zcela korespondovat s matematickými schopnostmi žáka. Z Gardnerových (2006)                sedmi druhů inteligence, které byly uvedeny výše, mohou ovlivňovat matematické                schopnosti verbální inteligence (řečové schopnosti, díky nim žáci mohou dobře                analyzovat slovní úlohy), logicko-matematická inteligence (schopnost rozpo-                znat, v čem spočívá problém, a vyřešit jej) a prostorová inteligence (uplatňující                se nejvíce v geometrii).                Pro pochopení matematického nadání je důležité uvědomit si, čím se vlastně liší                matematicky nadané děti od ostatních skupin dětí. Psychologové se v této souvis-                losti zabývali fenoménem zobecňování a pokoušeli se propojit schopnost zobec-                ňovat s hladinou inteligence (Sternberg \& Detterman, 1979) a s komplexní schop-                ností řešit problémy (Frensch \& Sternberg, 1992). Greenes (1981, cit. dle Sriraman,                2008) tvrdí, že matematicky nadané děti se liší od ostatních skupin dětí schopnos-                tí spontánně formulovat problémy a pružně organizovat data, dále schopností                abstrakce a zobecňování. Matematicky nadaní žáci se odlišují od svých nenada-                ných vrstevníků výjimečnou schopností usuzování (House, 1987; Johnson, 1983).                Tito žáci mohou projevovat mimořádnou paměť, schopnost řešit problémové úlohy                neočekávanými způsoby, schopnost odhalovat vzorce a vztahy, radost ze zadávání                originálních problémů, preferování řešení problémů na abstraktní úrovni, rychlé                učení, dlouhý interval soustředění při provádění činností, které je zajímají, radost                z matematických her (House, 1987).                Matematicky nadaní žáci mají obvykle jiný způsob uvažování než ostatní žáci,                jejich myšlení je komplexnější, jsou schopni přemýšlet v širokých souvislostech                (Sternberg \& Williams, 2002). S tím ale nemusí korespondovat schopnost zapsat                své myšlenky tak, aby jim někdo další rozuměl. Pro žáka s vysokou matematickou                inteligencí může být vyřešení problému tak triviální, že vůbec neví, jak by sdělil                                                                                     23                                                                               ┼","či zapsal svůj postup. Proto mnohdy zápis matematicky nadaného žáka spočívá         v zapsání výsledku. Jindy zase matematicky nadaný žák postup uvede, avšak         symbolice a způsobu uvažování nerozumí nikdo jiný než on sám. Dovednost vy-         jadřovat své myšlenky a zapisovat postup řešení je možné u matematicky nadaných         žáků rozvíjet.         Matematické nadání lze zejména u mladších dětí zaměnit se schopností počítat.         Schopnost počítat je jistě sama o sobě nadáním a nelze ji ignorovat, ale pro mate-         matické nadání nemusí být nepostradatelná. Straker (1980) uvádí, že mnozí úspěš-         ní matematici o sobě říkají, že nejsou moc dobří v aritmetice. Nesoulad mezi         aritmetickými schopnostmi a schopností logického uvažování může matematicky         nadaného žáka zpomalovat při řešení matematických úloh a na učitele to může         působit dojmem, že žák je v matematice pomalý, a tudíž nemůže být nadaný.         Matematicky nadané žáky může v řešení úloh dále zpomalovat způsob myšlení,         který Sternberg označil jako globální plánování (Sternberg, 1981). Žák při tomto         způsobu uvažování úlohu analyzuje předtím, než přistoupí k řešení, což jej může         zpomalit.          Matematické nadání je úzce spjato s matematickou tvořivostí. Ervynck (1991:         s. 42‒43) vytvořil třístupňový model matematické kreativity:         1.  Stupeň 0 se vztahuje k přípravné technické fázi, která sestává z určitého            druhu technické nebo praktické aplikace matematických pravidel a procedur,            aniž by měl řešitel povědomí o teoretickém základu.         2.  Stupeň 1 sestává z algoritmické aktivity, která primárně spočívá ve vytváře-            ní matematických technik, jako je opakované aplikování algoritmu.         3.  Stupeň 2 se vztahuje ke kreativní (konceptuální, konstruktivní) aktivitě.            Tato fáze se zakládá na využívání nealgoritmických rozhodnutí a postupů.            Rozhodnutí jsou široce divergentní povahy, zahrnují možnosti volby.         Matematicky nadaní žáci tvoří specifickou skupinu v rámci nadaných žáků. Jejich         způsob uvažování bývá velmi komplexní, jak již bylo zmíněno, a také divergentní         (Ervynck, 1991). Komplexnost jejich myšlení je může zdržovat při plnění úkolů         a matematicky nadaní žáci proto mohou selhávat při řešení úloh na rychlost.         Z těchto důvodů je poměrně nespolehlivé identifikovat matematicky nadané žáky         pomocí didaktického testu. Matematické nadání lze spíše posuzovat dlouhodo-         bým pozorováním žáka, jeho schopnosti chápat nové pojmy, učit se nové postupy,         pracovat s chybou a učit se z ní. Pod pojmem matematicky nadaný žák proto budu         nadále rozumět žáka, který dlouhodobě vykazuje znaky logicko-matematické         inteligence, která podle mého názoru úzce souvisí se schopností zobecňovat a řešit         problémy s lehkostí a vhledem.         Ve výzkumu budu sledovat odlišnosti ve způsobu řešení úloh rovnicového charak-         teru u matematicky nadaných žáků v porovnání s ostatními žáky.             24            ┼","– 1 – 8  IDENTIFIKACE NADANÝCH ŽÁKŮ                 Nadané děti bývají velmi často vnímány jako děti, které své nadání dávají jedno-                značně najevo. Proto se očekává, že se budou projevovat jako elita a budou dosa-                hovat výjimečných výkonů.                Identifikace nadaných žáků je komplexní a dlouhodobá záležitost, na které se                podílejí rodiče, učitel, pedagogicko-psychologická poradna a dítě. Problém je někdy                v tom, že učitelé za nadané žáky často považují ty, kteří dělají věci jednodušeji,                rychleji a lépe ve srovnání s vrstevníky. Nadaní žáci se obvykle projevují jinak                nežli spolužáci, avšak ne vždy v pozitivním slova smyslu.                Učitel obvykle provádí prvotní identifikaci a doporučí návštěvu odborného praco-                viště, které provede přesnou identifikaci. Komplexní psychologická diagnostika                mimořádného nadání by dle Standardu komplexní diagnostiky mimořádného                (intelektového) nadání (kolektiv autorů, 2016: s. 35) měla zahrnovat:                   •  Analýzu dat z rodinné a osobní anamnézy.                   •  Administraci standardizovaného komplexního individuálního testu rozu-                      mových schopností.                   •  Posouzení tvořivosti.                   •  Zjištění osobnostních charakteristik a vlastností (včetně sociálních a komu-                      nikačních dovedností).                   •  Analýzu výsledků pedagogické diagnostiky učitelů zaměřené na různé                      charakteristiky osobnosti dítěte/žáka a na jejich projevy v jeho chování.                   •  Zjištění specifik práce s učivem a strategií myšlení (učební a kognitivní                      styly včetně metakognitivních strategií).                   •  Posouzení pracovních charakteristik a volních vlastností (včetně seberegu-                      lace a sebeřízení ve vztahu k učení).                   •  Analýzu motivace a zájmové činnosti, případně dle potřeby též profesní                      orientace.                Výrazná akcelerace rozumových schopností se prokazuje splněním jednoho z kri-                térií A, B (Standard komplexní diagnostiky mimořádného [intelektového] nadání,                2016):                Kritérium A: V komplexním testu inteligence je vážené skóre testovaného po                zohlednění možné chyby měření alespoň v jedné ze složek rozumových schopnos-                tí nebo v jednom z indexových skóre minimálně dvě směrodatné odchylky nad                průměrem pro danou věkovou skupinu.                Kritérium B: Vážená skóre minimálně dvě směrodatné odchylky nad průměrem                pro danou věkovou skupinu byly dosaženy v dílčích subtestech, které jsou při                zohlednění celého profilu rozumových schopností nebo výjimečně i samostatně                dobrými prediktory matematického, technického, přírodovědného, jazykového                nebo humanitního nadání.                                                                                     25                                                                               ┼","U matematicky nadaných žáků může být problém s prvotní identifikací nadání.         Jako projev nadání bývá vnímána vyšší rychlost řešení problémů. Jenže právě         nadaní žáci mohou být naopak při řešení úloh pomalejší, protože se k řešení staví         komplexně. Rychlé řešení problémů a memorování symbolů, čísel a formulí nemo-         hou být považovány za indikátor nadání (Wieczerkovski, Cropley \& Prado, 2000).         Z toho důvodu nemusí matematicky nadaní žáci prokázat své vysoké schopnosti         při písemném testování. Někteří matematicky nadaní žáci nejsou u testování         schopni podat výkon, který by jejich nadání odhalil (Sternberg \& Williams, 2002).         Žák může mít různé důvody k tomu, proč v testování neuspěje. Sternberg a Wil-         liams (2002) uvádějí, že nejčastěji se jedná o neschopnost řešit problémy rychle         nebo nechuť řešit úlohy v okamžiku, kdy probíhá testování. Někdy žáky také         nezaujme typ úloh, které se v testu objevují. Matematicky nadaní žáci mohou také         narážet na svůj složitý způsob myšlení, kvůli němuž mohou vybrat komplikova-         nější způsob řešení, ve kterém se dopustí numerických chyb. Navíc, jak již bylo         uvedeno, někteří matematicky nadaní žáci mohou být slabí v aritmetice. Z uvede-         ných důvodů vyplývá, že písemné testování nemusí být pro matematicky nadané         žáky vhodné a vysoké schopnosti žáků se při něm nemusí projevit.            – 1 – 9  NÁLEPKOVÁNÍ NADANÝCH ŽÁKŮ          Školní identifikace nadaných žáků může být poznamenána tím, jak učitelé nahlí-         žejí na žáky. Probíhá-li kategorizování lidí podle určitých vlastností, dochází         velmi často k vytváření opozitních dvojic, stavění pojmů do protikladů (Vybíral,         2006). Dichotomie lidské myšlení vymezují, ohraničují a polarizují. Stavějí pro-         mýšlené „objekty“ proti sobě. Někdy vybízejí k identifikaci s jednou nebo s druhou         stranou, polarizují výběr. Stanou-li se z objektů lidé nebo jejich vlastnosti, má         taková příchylnost k buď/anebo za následek zjednodušený závěr (Vybíral, 2006).         Toto riziko hrozí i při kategorizaci žáků podle nadání.         Hříbková (2009) uvádí, že žák, který ve škole dosahuje mimořádných výkonů         v určitém předmětu ve srovnání s výkony svých vrstevníků, bývá učiteli pova-         žován za nadaného. Tato představa o nadání v dětském věku je velmi rozšířená.         Do této kategorie mohou patřit žáci nenadaní, kteří svými výkony převyšují spo-         lužáky, nebo nadaní žáci, kteří své nadání dávají najevo (manifestované nadání).         Děti, které mimořádné výkony v konkrétních oblastech ještě nepodávají, ale byl         u nich psychologickým vyšetřením zjištěn osobnostní potenciál, který s vysokou         pravděpodobností umožní podávání takových výkonů v budoucnosti, jsou potom         označovány jako potenciálně nadané, v tomto případě se jedná o tzv. latentní         nadání (Hříbková, 2009).         Hříbková (2009) vymezuje rizikové skupiny nadaných dětí, mezi něž patří:            •  Nadané děti s extrémně vysokým IQ a vysokými speciálními schopnostmi.            •  Nadaní s postižením, s handicapem nebo se specifickými poruchami učení.            •  Nadané dívky.          26            ┼","O těchto dětech se šíří ještě dnes zkreslené představy. Žáci z uvedených skupin                mají specifické projevy a díky nim je mnoho učitelů, vrstevníků a dalších lidí                nepovažuje za nadané. Za jednu z rizikových skupin nadaných dětí se obvykle                považují nadané děti s extrémně vysokým IQ, většinou nad IQ = 150 (Hříbková,                2009). Tyto děti mají velmi rozdílné individuální profily různých schopností.                Mívají potíže s vrstevníky a často se ocitají v sociální izolaci. Leta Holling-                worthová, která provedla případovou studii 12 žáků s IQ nad 180 (Hollingworth,                1942), spatřovala příčinu v tom, že tyto děti měly zájmy, znalosti i slovní vyjadřo-                vání odpovídající spíše dospělému nežli dítěti. U nadaných dětí s handicapem se                můžeme setkat s představou, že nadaní reprezentují jeden konec Gaussovy křivky                a handicapovaní konec opačný – nadání se proto s handicapem často nespojuje                (Hříbková, 2009). Nadanými dětmi s poruchou učení se zabývá Šárka Portešová,                která zjistila, že pro mnoho učitelů je nepřijatelná myšlenka, že žák může být                současně nadaný (projev „chytrosti“) a současně mít poruchu učení (projev „hlou-                posti“) (Portešová, 2011). Nadané dívky jsou ohroženy očekáváním okolí, které                má často k nadaným dívkám negativní postoj a přisuzuje nižší obecnou inteligen-                ci dívkám než chlapcům, a konfliktem nadání a ženské role (žena jako matka)                (Hříbková, 2009). Damarin (2000) považuje matematicky nadané dívky za dvakrát                znevýhodněné, protože společnost vnímá zájem o matematiku jako méně akcep-                tovatelný u dívek než u chlapců.                Diezmann a Waters (2002) upozorňují, že negativní postoje k nadaným se odráže-                jí posměšným označením těchto žáků buď jako „malých Einsteinů“ nebo „nerdů“.                Zájmy a schopnosti matematicky nadaných žáků je izolují od ostatních žáků                a identifikují je jako „poznamenanou“ či „deviantní“ populaci (Damarin, 2000).                Hříbková a Páchová (2013) se zabývaly tím, jak čeští učitelé 1. stupně a učitelé                matematiky 2. stupně kategorizují žáky. Dle jejich zjištění (na základě analýzy                výpovědí učitelů a učitelek) je kategorizování a typizování žáků velmi často di-                chotomické, jakoby vycházející ze zjednodušené představy o existenci vždy dvou                skupin dětí (např. nadané – nenadané). Autorky uvádějí, že pro učitele jsou tyto                kategorie důležité z důvodu komunikace mezi sebou, avšak hrozí rizikem nálep-                kování dětí.                Hříbková a Páchová (2013) dále zjistily, že podle učitelů je úspěšnost dítěte v ma-                tematice dána především vnitřními podmínkami, jako jsou inteligence, logika či                zralost. Někteří učitelé uvádějí, že pokud žák není pro matematiku přirozeně nadán,                nemůže v ní být úspěšný. Další problém shledávají v paměti žáků. Mnozí z učite-                lů uvádějí, že žáci používají výhradně krátkodobou paměť, rychle zapomínají                učivo, které se učili dříve.                Z hlediska kognitivní dimenze rozdělují učitelé 1. stupně žáky v podstatě do tří                kategorií: šikovný (bystrý) žák – „inteligentní, má lepší paměť, matematika ho baví                a má ji rád, má sebedůvěru, protože zažil více chvil, kdy se mu něco podařilo,                má víru v sebe, je rychlejší“ (Hříbková \& Páchová, 2013: s. 227); průměrný žák;                slabý žák – „méně inteligentní, méně šikovný na matematiku, pomalý, neflexibilní,                                                                                     27                                                                               ┼","zapomene, co dělá, pracuje, jak je zrovna naladěn, nevěří si, je víc citlivý“ (tamtéž:         s. 227). V matematice často žáky dělí do skupin logický typ – mechanický typ.          Hříbková a Páchová identifikovaly ve výpovědích učitelů matematiky 2. stupně         dvě kategorie kognitivní dimenze: „Dimenze ‚nadání‘ zahrnuje zmínky učitelů         vztahující se k celkové kognitivní úrovni dítěte, či ke specifickému matematickému         nadání, často apriorně danému. Dimenze ‚snaha‘ se pak týká rozdílů mezi dětmi,         způsobených pílí, pečlivostí či objemem vynaloženého úsilí“ (2013: s. 240). Jedna         skupina učitelů je přesvědčena, že pokud chybí nadání, nedá se nic dělat. Jiná         skupina učitelů soudí, že snížené nadání je možné částečně kompenzovat pílí či         přístupem. Výjimečně učitelé uvažují o možnosti rozvoje nadání, mnohem častěji         jde o prostou náhradu nadání za snahu. Autorky si všímají, že učitelé paradoxně         hovoří o matematice jakožto předmětu, který rozvíjí logické myšlení, ale následně         s ní operují jakožto s něčím, co je logickým myšlením podmíněno.         Ve výpovědích učitelů rozlišily Hříbková a Páchová (2013) čtyři skupiny žáků:         žák nadaný a snaživý je žák školsky úspěšný, žák nenadaný a nesnaživý je žák         školsky neúspěšný. Dále učitelé uvádějí kategorii „hloupé snaživky“ – žák nena-         daný snaživý (učitelé takto častěji vnímají dívky) a „chytrého flinka“ – žák nada-         ný nesnaživý (takto vnímají častěji chlapce). Děvčata jsou často vnímána jako         snaživá, pečlivá, s ochotou učit se postupy, ovšem s horšími genetickými před-         poklady pro matematiku, neochotou přemýšlet. Chlapci jsou vnímáni jako nesna-         živí, líní, neochotní učit se postupy, ovšem s lepšími genetickými předpoklady         pro matematiku, ochotou přemýšlet, učit se s porozuměním (Hříbková \& Páchová,         2013: s. 251). Havigerová (2011) vysvětluje, že rozdíly v rodových dispozicích         jsou způsobeny rozdíly ve struktuře mozku. Ženy mají více bílé kůry mozkové,         která souvisí s mnohaúrovňovými úlohami a jazykovým nadáním, zatímco muži         mají více šedé kůry mozkové, která zodpovídá za nadání pro matematiku a pro-         storové úlohy. Genderové rozdíly však nemusí znamenat, že dívky jsou na mate-         matiku méně šikovné.            – 1 – 10  ŽÁCI NADANÍ NA MATEMATIKU                   A VÝUKA MATEMATIKY           Pokud by byli žáci správně identifikováni, jaký způsob vzdělávání by pro ně měl         být připraven? Zásadním principem vzdělávání nadaných je dle Mönkse a Katzka         (2005) individualizace a diferenciace. Pod pojmem diferencovaná výuka mate-         matiky rozumím vytvoření vhodných podmínek pro vzdělávání žáků v matema-         tice vhledem k jejich zvláštnostem a předpokladům. Ve školské praxi je realizo-         vána tzv. diferenciace vnější (podle typu škol, případně tříd – školy nebo třídy         s rozšířenou výukou matematiky) a diferenciace vnitřní (výuka matematiky         v rámci jedné třídy). Vnitřní diferenciace se uplatňuje tam, kdy v jedné třídě vzdě-         láváme žáky s různými předpoklady, schopnostmi, s různým tempem práce,           28            ┼","specifickými vzdělávacími potřebami aj. Vnitřní diferenciace se zpravidla reali-                zuje tzv. individualizovanou výukou (Průcha et al., 1998). Pod pojmem individu-                alizovaná výuka rozumím výuku žáka v běžné třídě, kdy se zaměřujeme na obsah                učiva, styl výuky, metody práce a specifické zvláštnosti žáka. Celý proces výuky                je přizpůsoben vzdělávacím potřebám konkrétního žáka. Zaměřujeme se na                výběr vhodných metod práce, které podporují rozvoj tvořivých schopností žáka                a zvyšování jeho samostatnosti při výuce matematiky (Průcha et al., 1998).                Rovněž Borland (2005) uvádí, že bychom se měli více zaměřovat na diferenciaci                kurikula, aby všechny skupiny žáků byly ve výuce uspokojeny. Kritizuje vzdělá-                vání žáků zaměřené na identifikaci nadaného žáka v rámci určité definice nadání,                zařazení do určité kategorie a podle toho do homogenní skupiny žáků, v níž bude                vzděláván: „Akceptování těchto (inteligenčních – poznámka autorky) testů jako                platného nástroje objektivní vědy vedlo k jejich rozšířenému užívání ve školách,                a to k diagnostikování, vedení, seskupování a snad i kontrolování dětí“ (s. 4).                Jako možné způsoby individualizace výuky matematiky se jeví zadávání kvalita-                tivně náročnějších úloh v rámci hodiny (ovšem s následnou diskusí nad řešením                úlohy) v souboru gradovaných úloh (Hejný, 2014), zadávání pracovních listů se                zajímavými úlohami, nabídka matematického kroužku, příprava žáků na matema-                tické soutěže apod. Ne každému žákovi lze však doporučit Matematickou olym-                piádu, která je vzhledem k náročnosti určena pro matematicky nadané žáky.                Neúspěch v soutěži může některé žáky silně demotivovat. Dalšími soutěžemi jsou                např. Matematický klokan či Pythagoriáda, jejichž náročnost je nižší, a tím jsou                vhodné pro širší spektrum žáků. Účast žáků na matematické soutěži může ovliv-                ňovat postoje žáků k matematice, třeba kvůli tomu, že se na soutěžích objevují                školsky netypické úlohy. Nováková (2016) například uvádí, že Matematický klokan                může přispět k celkové pozitivní změně pohledu na matematiku. Dále zmiňuje,                že úspěšní řešitelé Matematického klokana se nezřídka najdou i mezi žáky, kteří                mají na vysvědčení z matematiky trojku nebo čtyřku. Domnívá se, že tito žáci mají                podstatně vyšší potenciál, než mohou projevit v hodinách matematiky.                Aby mohl učitel efektivně pracovat nejen s žáky běžnými, ale i s žáky nadanými,                je nutné, aby k tomu byl důkladně teoreticky připraven, a navíc měl ochotu věno-                vat energii žákům, kteří nezapadají do středního proudu. U nadaných žáků je                navíc nezbytné, aby matematické znalosti a zkušenosti vyučujícího byly na dobré                úrovni, aby učitel mohl s nadanými žáky o matematice diskutovat.                   – 1 – 11  ŘEŠITELSKÉ STRATEGIE U NADANÝCH ŽÁKŮ                 Nadaní žáci mají rozdílné schopnosti, ze kterých vycházejí při řešení problémových                úloh. Podle některých studií jsou nadaní žáci úspěšní v těch částech řešení pro-                blémů, které jsou spojeny s organizováním dat, používáním pravidel, modifikací                zadání, s porozuměním komplexním problémům a vyhledáváním relevantních                údajů (Miller, 1990).                                                                                   29                                                                               ┼","Nadaní žáci jsou mnohdy schopni projevovat matematické dovednosti jako jejich         starší spolužáci (Sowell et al., 1990). Při řešení problému nejednou používají         matematický aparát, který zatím nebyl ve výuce probírán. To souvisí s akcelerací         rozumových schopností nadaných žáků, která se v matematice projevuje tím,         že žáci si osvojují učivo rychleji než vrstevníci. Jak uvádí Portešová (2011),         ze zkušeností s nadanými dětmi vyplývá, že většina dětí, u kterých se v útlém věku         projeví nápadná akcelerace rozumových schopností, si určitý vývojový náskok         před svými vrstevníky udrží trvale. Existují i děti, které v útlém věku projevují         v matematice zrychlený vývoj, ale v určité fázi se ve vývoji zpomalí a posléze         jsou jejich schopnosti srovnatelné se schopnostmi vrstevníků (Portešová, 2011).         U některých nadaných dětí se naopak můžeme setkat s pozdější akcelerací rozu-         mových schopností (Portešová, 2011). Renzulli (1978) uvádí, že nadaní žáci mají         dle některých autorů předpoklad být lepší řešitelé matematických problémů než         běžní žáci stejného věku, avšak upozorňuje, že tito žáci nemusí být úspěšní ve         standardizovaných testech. U těchto žáků může být tedy problém odhalit nadání         testováním.         Jelikož nadaní žáci mají rozvinutější dovednosti kvantitativního a kvalitativního         myšlení, jejich dovednost řešit problémy je mnohem větší než u běžných žáků         (Knepper, Obrzut \& Copeland, 1983).         Výzkumníci, kteří se zabývali řešením problémů nadanými žáky 2. stupně, se         většinou zaměřovali na řešení nerutinních problémů. Zjistili například to, že na-         daní žáci tráví více času čtením zadání a jeho interpretací vlastními slovy (Garo-         falo, 1993; Sriraman, 2003).         Linsell (2009) sledoval řešitelské strategie u úloh rovnicového charakteru a porov-         nával, jaké strategie volí žáci nadaní a jaké běžní žáci. Došel k závěru, že nadaní         žáci obvykle používali sofistikovanější strategie pro jednodušší úlohy a přešli         k metodě pokusu a omylu u složitějších úloh. Méně nadaní žáci používali metodu         pokusu a omylu u jednodušších úloh, zatímco složitější úlohy nebyli schopni řešit         žádnou strategií.         Autoři výzkumů většinou nerozlišují žáky nadané a matematicky nadané, přesto-         že matematické nadání je klíčové zejména při řešení problémových úloh.         V mém výzkumu jsem se věnovala způsobům řešení matematických úloh nada-         nými žáky. Zvažovala jsem, jaké typy úloh žákům zadávat, pokud chci sledovat         specifické přístupy i matematicky nadaných žáků. Dle literatury mají nadaní žáci         schopnost řešit s lehkostí a vhledem problémové úlohy. Z toho důvodu jsem vybra-         la úlohy rovnicového charakteru, které jsou typické tím, že je lze řešit aritmeticky         i algebraicky. Žáci tedy mají možnost vybrat řešitelskou strategii dle svých schop-         ností.         V následujícím textu pojednám o typech těchto úloh z teoretického hlediska.              30            ┼","– 2 –                  ÚLOHY                                        ROVNICOVÉHO                                        CHARAKTERU                            – 2 – 1  VYMEZENÍ POJMŮ                 Pod pojmem matematická úloha rozumím všechny úlohy, které je možné řešit                matematickými prostředky (Květoň, 1982). Jejich součástí je také úloha slovní.                Novotná (2000) uvádí, že pro slovní úlohy není sjednocena terminologie, a z toho                důvodu není v literatuře ustáleno jednotné vymezení pojmu slovní úloha. Blažko-                vá, Matoušková a Vaňurová (2011a) definují slovní úlohy jako úlohy, ve kterých je                souvislost mezi danými a hledanými údaji vyjádřena slovní formulací. Mnoho                autorů při vymezení pojmu slovní úloha vychází z názoru, že slovní úlohy jsou                takové úlohy, které mají svůj námět v nějakém reálném, či pseudo-reálném kon-                textu. Kuřina (1989) uvádí, že „slovní úloha je úloha, kde je obvykle popsána ur-                čitá reálná situace a úkolem řešitele je určit odpovědi na položené otázky“ (s. 61).                Postup, jenž z dané reálné situace s reálným problémem vede k úloze matematic-                ké nebo k matematické formulaci daných vztahů, se nazývá matematizace reálné                situace (Divíšek, 1989). K matematizaci situace může žák využít známý algoritmus,                může mu pomoci obrázek, ve kterém budou znázorněny vztahy mezi veličinami,                a může také použít logickou úvahu, pomocí níž si uvědomí hledané vztahy.                Každá slovní úloha obsahuje údaje, tj. čísla, která potřebujeme k tomu, abychom                mohli odpovědět na otázku. Často je volba operace ovlivněna tzv. signálním slo-                vem, neboli slovem, které má být spojeno s určitou operací. Toto slovo je v zahra-                niční literatuře označováno jako klíčové slovo (Adetula, 1990), případně verbální                vodítko (Nesher, 1976). Adetula uvádí, že žáci používají klíčová slova jako „více“,                „méně“, „získal“, „dohromady“, „ztratila“, atd. pro výběr operace na základě zku-                šenosti. Jestliže se např. ve slovní úloze vyskytne spojení „o 2 více než“, je to                signál k přičtení dvou. Uvádí příklad použití slova „více“ jako klíčového slova                (Adetula, 1990: s. 354): „Mlékař přivezl v neděli o 4 lahve mléka více než v pon-                dělí. V pondělí přivezl 7 lahví. Kolik lahví přivezl v neděli?“                                                                                       31                                                                               ┼","V případě, že takové slovo řešitele zavádí k jiné než správné operaci, jej nazveme         antisignálem (Hejný, 2014) nebo distraktorem (Adetula, 1990; Nesher, 1976).         Někteří zahraniční autoři označují úlohy s antisignálem jako nekonzistentní úlo-         hy (Fuson et al., 1996). Úloha s antisignálem může být formulována např. takto:         Anička má 15 korálků, což je o 3 více, než má Maruška. Kolik korálků má Maruš-         ka? Spojení „o 3 více než“ je signálem k přičtení 3. Ve skutečnosti se ale jedná         o antisignál a žák má od 15 odečíst 3.         Úloha může také obsahovat údaje nadbytečné. Jedná se o číselné údaje, které nejsou         k výpočtu potřeba. Pokud si žák nedokáže pro zadání vytvořit správnou aritmetickou         představu, tyto nadbytečné údaje může chybně využít.          Podle množství početních výkonů, které potřebujeme k řešení, dělíme slovní úlo-         hy na jednoduché a složené. Slovní úlohu považujeme za jednoduchou, jestliže         k jejímu řešení postačí použít jeden početní výkon (Divíšek, 1989). Složená slov-         ní úloha sestává z několika dílčích, jednoduchých, na sebe navazujících slovních         úloh.         Ve škole se žáci setkávají nejčastěji s typickými slovními úlohami, u nichž se         seznámí s algoritmem, který posléze aplikují. Problémové úlohy jsou úlohy, k je-         jichž řešení žák nemá osvojený potřebný algoritmus, typ úlohy nezná a úlohu musí         řešit vhledem.         Podle toho, zda v úloze plyne čas či nikoli, rozlišujeme dynamické slovní úlohy         neboli úlohy s plynoucím časem, a statické úlohy, odehrávající se v jednom čase.         Odděleně od úloh slovních bývají vnímány úlohy, které bych dle klasifikace Vy-         šína (1962) zařadila do kategorie aritmetické úlohy – úlohy, kde se má doplnit         neúplný algoritmus některého početního výkonu, nebo určit algoritmus, v němž         jsou jednotlivé číslice nahrazeny písmeny; jde tedy o úlohy, které slovně popisují         určité vztahy mezi čísly (např. úloha: Myslím si číslo. Když k němu přičtu 8 a vý-         sledek vydělím čtyřmi, dostanu 9. Které číslo si myslím?).         Dále budu používat termín algebraická slovní úloha, čímž myslím slovní úlohu,         která je řešitelná algebraickými prostředky. Speciálním případem algebraických         úloh jsou úlohy rovnicového typu či charakteru, jimiž Hejný (1990) chápe různé         úlohy, které je možné řešit pomocí rovnice. Rozlišuje úlohy rovnicového charak-         teru podle formy zadání na slovní a schematické či obrázkové.         Úlohou rovnicového charakteru budu tedy označovat slovní úlohu, případně arit-         metickou úlohu nebo početní geometrickou úlohu, která je řešitelná algebraicky,         a to sestavením rovnice nebo soustavy rovnic.                    32            ┼","– 2 – 2  HISTORICKÝ VÝVOJ ŘEŠENÍ ALGEBRAICKÝCH ÚLOH                 První „náznaky algebry“ spadají do doby kolem roku 2 000 př. n. l., kdy byly ře-                šeny úlohy, které dnes řešíme pomocí rovnic.                Zpočátku nebyly známy znaky pro početní výkony, zapsání rovnosti či nerovnos-                ti mezi čísly; všechny vztahy mezi matematickými veličinami byly vyjadřovány                slovy a větami. Toto období nazýváme obdobím verbalistickým (Polák, 2014).                V Rhindově papyru, pocházejícím ze starověkého Egypta přibližně z doby 1650                př. n. l., jsou obsaženy slovní úlohy na určení neznámé veličiny h (čte se „hau“).                Můžeme se zde setkat s úlohami vedoucími k lineární (výjimečně kvadratické)                rovnici, např.: Hromada a její čtvrtina dávají dohromady 15. V papyru je úloha                řešena metodou falešného (chybného) předpokladu (Polák, 2014). Řešitel nej-                prve předpokládá, že hledané množství je rovno čtyřem, protože ze čtyř určí jed-                noduše čtvrtinu. Dostává 4 + ∙ 4 = 5, tedy třetinový výsledek. Hledané číslo                                          1                                          4                musí být proto třikrát větší než 4, tj. 12. Uvedená metoda se používala v úlohách                se zlomky a její princip spočíval v tom, že „falešný předpoklad“ byl takové číslo,                aby dosazením ze zlomků vznikla celá čísla.                V Mezopotámii se od druhého tisíciletí př. n. l. řešily různé úlohy, vedoucí k lineár-                ní, kvadratické i kubické rovnici a také k soustavám rovnic, např.: Součet obsahů                dvou čtverců je roven 1 525 jednotek obsahu. Strana jednoho čtverce je o 5 délko-                vých jednotek větší než dvě třetiny strany druhého čtverce. Vypočtěte délky stran                obou čtverců (Polák, 2014). U většiny babylónských úloh nemůžeme jednoznačně                určit použitý postup řešení, neboť hliněné tabulky obsahují jen zadání a případně                výsledek. Čtverce z předchozí úlohy mají rozměry 30 a 25 délkových jednotek.                Kolem roku 500 př. n. l. řešili Řekové úlohy, které dnes řadíme do algebry, geo-                metrickými prostředky. K rozvoji algebraické symboliky sice nepřispěli, ale roz-                vinuli užívání geometrických úvah k řešení úloh algebraického charakteru.                Hovoříme o geometrické algebře Řeků (Polák, 2014). Až teprve Diofantos                z Alexandrie kolem roku 250 př. n. l. ve svém spisu o rovnicích nazvaném Aritme-                tika užil některé symboly, které dnes nazýváme algebraickými. Zavedl znak pro                neznámou a její mocniny, znak pro rovnost a znak pro odčítání (Kvasz, 2007).                Diofantem bylo zahájeno druhé období vývoje algebry, kdy některé vztahy mezi                matematickými veličinami byly popisovány slovy a větami, jiné byly již zapiso-                vány zvláštními symboly. Diofantos zavedl některé symboly, proto je někdy ozna-                čován za otce algebry (Mareš, 2011), avšak Kvasz (2013) oponuje, že v jazyce                Diofanta chybějí algebraické operace a jsou použity pouze operace s čísly. Proto                podle něj Diofantos představuje spíše jedno ze závěrečných stadií antické aritme-                tiky než zárodek algebry. Toto období nazýváme obdobím synkopickým (Polák,                2014). Trvalo až do konce 15. století n. l., tj. až do doby, kdy vývoj v matematice                dospěl k zavedení znaků pro operace a používání písmen ve významu čísel.                                                                                        33                                                                               ┼","Nejvýznamnějším matematikem synkopického období byl tádžický matematik         al-Chowárizmí (asi 780–850). Shromáždil praktické výpočetní postupy pro         numerické řešení matematických úloh. Vytvořil také praktické postupy pro počí-         tání (sčítání, odčítání, násobení a dělení) čísel, vypracoval podrobné mechanické         postupy při řešení rovnic a zvládl počítání se zlomky (Mareš, 2011).         Al-Chowárizmí nepoužíval znaky a vše popisoval slovně. Pro označení mocnin         neznámé používal různé termíny. Pro dnes užívané x používal slovo šai (věc)         a pro x  slovo mál (majetek). Při řešení úlohy tato slova vypisoval (Kvasz, 2013).               2         Al-Chowárizmí byl schopen řešit kvadratickou rovnici, a to tak, že ji nejdříve         převedl na tvar, ve kterém vystupovaly pouze kladné koeficienty a u nejvyšší         mocniny byla jednotka. Operace al-džabr, kterou při tom používal (pokud na         jedné straně rovnice vystupují členy, které je třeba ubrat, tak se k oběma stranám         přičte odpovídající hodnota), dala jméno celé nauce o rovnicích (Kvasz, 2013).         Nejvýznamnějším matematikem středověké Indie byl astronom a matematik         Brahmagupta (asi 596 – asi 668). Byl mezi prvními, kteří zkoušeli zavést algeb-         raickou symboliku, i když jinou, než jakou užíváme dnes. Také jeho následovník         Bhaskara II ve 12. století zaváděl symboly pro neznámé, avšak ve svých pracích         čtenáře spíše odrazoval od jejich používání, pokud je možné problém řešit arit-         metickým úsudkem, například s využitím poměru (Subramaniam \& Banerjee,         2011). Bhaskara II byl dalším z matematiků, kteří k řešení úloh využívali meto-         du falešného předpokladu. Řešil například následující úlohu (Juškevič, 1978):         Ze svazku čistých lotosů byly jedna třetina, pětina, resp. šestina postupně oběto-         vány bohům Šivovi, Višnovi či Šúrjovi a čtvrtina byla obětována Bhavanimu.         Zbývajících šest bylo darováno vysoce váženému hodnostáři. Rychle mi řekni,         kolik bylo lotosů? Bháskara za počet lotosů volí číslo 60, což je nejmenší společný         násobek čísel 3, 4, 5, 6. Při dosazení tohoto čísla do zadání zbývají tři lotosy a ne         šest, proto je řešením úlohy číslo 120.         V první polovině 13. století používal také Leonardo Pisánský (asi 1170–1250)         písmen k označení pro čísla, a to ve spisu Liber abaci. Největší zásluhu na důsled-         ném zavedení písmen ve významu čísel měl francouzský matematik Francois         Viète (1540–1603), který ve spise Logistica speciosa tato písmena používal. Sepsal         dílo Úvod do analytického umění (slovo analýza v té době označovalo algebru),         jehož cílem bylo sjednotit různé postupy, které se používaly k řešení rovnic.         Viètovou hlavní inovací bylo, že zavedl rozlišení neznámé a parametru (Kvasz,         2007). Navrhoval označovat známé veličiny velkými souhláskami (B, C, D atd.)         a neznámé veličiny velkými samohláskami (A, E, I atd.).          Algebraická symbolika byla dále zdokonalována v 17. století René Descartem         (1596–1650), který mimo jiné navrhl označovat známé veličiny písmeny z počátku         abecedy a neznámé veličiny z konce abecedy. Jeho symbolika ve velké míře pře-         trvala dodnes.              34            ┼","Třetí období vývoje algebraické symboliky se vyznačuje používáním symbolů                a znaků pro matematické operace, exponenty, využíváním písmen ve významu                čísel a trvá od 15. století až do dneška. Nazývá se obdobím symbolickým (Polák,                2014).                Nyní pojednám stručně o rovnicích. Rovnice se v historii velmi dlouhou dobu                zapisovaly slovně a jejich řešení se uváděla v podobě regulí, tedy postupů zapsa-                ných v přirozeném jazyce (Kvasz, 2013). Al-Chowárizmí například ve své knize                Krátká kniha o počtu algebry a al-muqábaly nepoužíval symboliku, ale vyjadřoval                vše slovně. Chápání řešení rovnice jako série úprav formálních výrazů se objevilo                až téměř 800 let po zrodu algebraického myšlení, a to v roce 1591 u Vièta.                 Kvasz (2013: s. 320) uzavírá: „Zdá se, že v tomto bodě se vyučování zcela rozchá-                zí s historií. Namísto kultivace algebraického myšlení, tedy řešení různých slovních                úloh (…) prostřednictvím přirozeného jazyka, se vyučování zpravidla zaměřuje                na nácvik formálních pravidel symbolické manipulace s algebraickými výrazy.                Namísto u Al-Chowárizmího, Pacioliho nebo Cardana začíná výuka algebry až od                Descarta. Tím odvádí pozornost od obsahu, tj. algebraického myšlení, k formě,                tj. symbolice, která, zdá se, rozvoji algebraického myšlení spíše brání, než napo-                máhá.“                  – 2 – 3  PROPEDEUTIKA ALGEBRAICKÉHO MYŠLENÍ                  Algebra jako taková se na 1. stupni základní školy nevyučuje. Z historických sou-                vislostí je však známo, že aritmetika v sobě skrývá algebraický způsob myšlení.                To znamená, že již na 1. stupni je možné v rámci aritmetiky působit na žáky tak,                aby postupně rozvíjeli předalgebraické a posléze algebraické myšlení.                Během prvních let primárního vzdělávání získávají žáci dovednost sčítat, odčítat,                násobit a dělit přirozená čísla. Žáci by měli pochopit vztah mezi operací danou                a k ní inverzní (sčítání – odčítání, násobení – dělení). Později pracují s více ope-                racemi současně. Pro pamětní sčítání nebo násobení mohou využívat komutativ-                nosti sčítání a násobení, asociativnosti sčítání a násobení, a distributivnosti náso-                bení vzhledem ke sčítání, např. 12 ∙ 5 = (10 + 2) ∙ 5 = 10 ∙ 5 + 2 ∙ 5 = 50 + 10 = 60.                Tím, že je například násobení komutativní a dělení nikoli, je pro žáka zpravidla                jednodušší pochopit vztah mezi danými operacemi ve směru od násobení k dělení                nežli naopak.                Po celou dobu výuky operací se může formovat algebraický pohled. Například už                při sčítání čísel je možné se na věc dívat dvojím způsobem – znám-li oba sčítance,                je jen jedna možnost výsledku, zatímco znám-li výsledek, existuje několik mož-                ností rozkladu daného čísla na součet. Zápis 2 + 3 =  čte žák 1. stupně zleva do-                prava a vnímá ho tak implikačně: Jestliže ke dvěma přičtu tři, musím dostat pět.                Někteří autoři soudí, že pokud se žáci při výuce sčítání setkávají pouze s tímto                způsobem zadávání, vzniká u nich implikační způsob myšlení a rovněž si osvo-                                                                                    35                                                                               ┼","jují nedostatečnou interpretaci symbolu rovná se. Booker (1987) nebo Booth (1988)         například zastávají názor, že tímto způsobem žák nabývá přesvědčení, že symbol         „rovná se“ znamená „spočítej“, spíše než by chápal, že se jedná o relaci ekvivalen-         ce. Zatímco v aritmetice můžeme znak rovnosti skutečně považovat za propojení         výpočtu s jeho výsledkem, v algebře má rovnost a ekvivalence velmi specifický         význam, což nemusí být zjevné, když se pro obojí používá stejný znak (Booker,         1987). Žáci 1. i 2. stupně základní školy mají často představu, že znak „rovná se“         pouze reprezentuje jednosměrný operátor, který ze vstupů na levé straně vytváří         výstup na pravé straně (např. Vergnaud, 1985).         Podobně je to u úloh dočítacích. Úlohu typu   + 3 = 5 žák 1. stupně promýšlí zleva         doprava, od zadání k výsledku, obvykle takto: Tři a kolik je pět? Zprava doleva žák         většinou  neuvažuje.  Jiná  situace  v  mysli  žáka  nastává,  je-li  úloha  zadána         tímto způsobem:  +  = 5. Nyní je žák nucen postupovat od výsledku k zadání, tj.         zprava doleva, a přemýšlí třeba takto: Číslo 5 mohu napsat jako 1 + 4, 4 + 1, 2  +  3,         3  +  2. Nahlížení na příklad zleva doprava a zprava doleva tedy není symetrické.         Také úlohy typu  + 7 = 5 + 6 či 9 + 5 = 7 +  nutí žáky přemýšlet o rovnosti         zleva doprava i zprava doleva.         Uvedené představy se u žáka upevňují především v prvních dvou letech 1. stupně.         Nejčastěji si žáci zafixují postup zleva doprava a tuto představu si přenášejí do         dalších let, což jim komplikuje pochopení charakteru rovnic, kdy rovnici upravu-         jeme jako celek tak, abychom dostali výraz, který je ekvivalentní s předchozím.         V 5. ročníku by žáci měli zvládat plynule sčítat, odčítat, násobit a dělit přirozená         čísla. Automatizace spojů je bezesporu důležitá součást žákovských dovedností         a je podstatná pro řešení úloh. Russel, Schifter a Batable (2011) se zamýšlejí nad         tím, jaké jsou důsledky toho, když žáci nezískají dostatečnou zkušenost s chová-         ním a vlastnostmi operací předtím, než se mají seznamovat s algebrou. Co se sta-         ne, když se klade důraz pouze na rychlost výpočtu a zapamatování algoritmů,         aniž by žák rozuměl podstatě operací? Jeden z pravděpodobných důsledků spat-         řují Russel a kol. (2011) v chybách, se kterými se často setkáváme ve výuce mate-         matiky a kterými jsou např. –3 + (–5) = 8, nebo 2(xy) = 2x2y, a mnoho dalších.         Takové chyby často přetrvávají i v případě, kdy byly opakovaně opravovány uči-         telem. Pokud žák nechápe správně operaci, snaží se pomoci si různými mnemo-         technickými pomůckami, jako je např. „minus a minus dá plus“ pro násobení dvou         záporných čísel. Uvedenou mnemotechnickou pomůcku mohou žáci nevhodně         rozšířit na úlohy typu (–a) + (–b).          Význam čísla ve slovních úlohách          Ve slovních úlohách, které žáci řeší na 1. stupni ZŠ, číslo nejčastěji udává počet         prvků, číslo je v pozici kardinálního čísla konečných množin. Matematizace pak         spočívá v tom uvědomit si, které počty jsou známy a které je nutno určit (Malino-         vá, 1983).          36            ┼","Číslo může již na 1. stupni vystupovat v úloze i v jiném kontextu než jako počet                prvků. Hejný (2014) udává následující třídění číselných představ: identifikátor                (např. doběhl na 5. místě), kvantita (počet nebo veličina), operátor (aditivní nebo                multiplikativní). Operátor lze dále rozdělit na porovnání (David je o dva roky                starší než Jakub, Eva je dvakrát starší než Soňa) a změnu (přibral 2 kg, je dvakrát                vyšší než před pěti lety). Hejný (2014) upozorňuje, že práce s operátorem je nároč-                nější než práce s kvantitou. Operátor změny totiž poukazuje na dvě další čísla: na                stav před změnou a stav po změně. Tyto údaje nejsou pro řešení nezbytně potřeb-                né, žák je však může postrádat. Obdobně operátor porovnání v sobě obsahuje                další dvě čísla, např. věk obou dětí, který ale nemusí být udán (Hejný, 2014).                  Využívání schémat k řešení algebraických úloh                 Vergnaud (2009) uvádí, že pro žáky je již od 1. stupně výhodné používat schema-                tické znázornění aritmetické úlohy, které může žákům pomoci později uchopo-                vat i úlohy s neznámou. Postup demonstruje na následující úloze: „John vyhrál                7 kuliček při hře s Meredith, nyní má 11 kuliček. Kolik kuliček měl před hrou?“                (Vergnaud, 2009: s. 86). Úloha je pro žáky 1. stupně náročná ze dvou důvodů:                obsahuje aditivní operátor změny (vyhrál 7 kuliček); dále se jedná o úlohu                s antisignálem, což je slovo „vyhrál“. Toto slovo mnoho žáků navede na přičítání,                tj. výpočet 11 + 7. Schematické znázornění situace může žákům pomoci se uve-                dené chybě vyhnout. Takzvaný šipkový diagram (Obr. 3), jak Vergnaud schéma                nazývá, od sebe dále odlišuje číslo jako počet a číslo jako operátor. Číslo jako                počet zapisujeme do obdélníčků a číslo jako operátor do elips.                                         Obr. 3 Šipkový diagram podle Vergnauda (2009)                  V diagramu lze sledovat počáteční stav P (neznámý), koncový stav K (11), přímou                transformaci T (+7), nepřímou transformaci T  (–7). Symbolicky lze zapsat takto:                                                       –1                Jestliže T(P) = K, potom T (K) = P. Zde již vnímáme algebraickou reprezentaci.                                       –1                Rovněž Kuřina (1989) doporučuje, aby pro řešení aritmetických úloh, obsahují-                cích čísla a operace, a později pro řešení jednoduchých lineárních rovnic byl pou-                žit jazyk šipek. Postup nazývá operační schéma. Například pro řešení rovnice                3x – 7 = 5 uvádí následující operační schéma (Obr. 4) (Kuřina, 1989: s. 33). Cílem                je osamostatnit neznámou. Stejné operace, které jsou prováděny s horním řádkem                schématu (levá strana rovnice), jsou prováděny také s dolním řádkem (pravá stra-                na rovnice).                                                                                     37                                                                               ┼","Obr. 4 Operační schéma pro řešení rovnice podle Kuřiny (1989)           Obě reprezentace (diagram i algebraická) ukazují, že existuje kontrast mezi způ-         soby symbolizace objektů a vztahů. Pro děti na 1. stupni není vhodná algebraická         reprezentace, nicméně šipkový diagram jim může znázornit význam postupu tam         a zpět. Žáci se dle Vergnauda (2009) mají setkávat s různými příklady, na nichž         vidí inverzní charakter operací sčítání a odčítání, násobení a dělení.         Využívání šipkového diagramu v určitém typu úloh kultivuje u žáků jednu ze         sofistikovaných aritmetických metod řešení – metodu řešení od konce. Kromě toho         může v pozdějších letech vzdělávání tvořit přímý most k algebraické metodě řeše-         ní rovnic. Kilpatrick, Swafford a Findell (2001) například uvádí, že žáci mohou         využít řešení problémů k rozvoji dovedností, které budou později potřebovat         v algebraických úvahách. „Při řešení problému jako ‚Přičteme-li tři k součinu pěti         s určitým číslem, součet je 38. Jaké je neznámé číslo?‘ mohou žáci vycházet ze         svých aritmetických poznatků a postupovat tak, že od 38 odečtou 3 a rozdíl vydě-         lí pěti. Postupují tedy v opačném pořadí, než je uvedeno v zadání, a používají         inverzní operace“ (s. 262). Uvedený způsob výpočtu bývá označován jako postup         od konce nebo také číselný had. Žák má v zadání nabídnuty operace a jeho úkolem         je vytvořit jejich inverze.         Při zadávání uvedené úlohy je třeba mít na paměti, že žáci budou mít sklony k im-         plikačnímu pojetí. Žák se snaží úlohu vyřešit ve stejném směru, jako ji čte. Tento         směr je pro žáka známý a učitel může předpokládat, že opačný postup je žákovi         rovněž zřejmý. Nemusí však tomu tak být. Implikační pojetí je do jisté míry složi-         tější, nestojí-li chybějící číslo na jedné straně samostatně. Také u Kilpatrickovy         úlohy by „zpětná cesta“ žákům mohla být přiblížena šipkovým diagramem (Obr. 5).         Tentokrát je ale třeba postupovat ve dvou krocích.                           Obr. 5 Šipkový diagram pro dvojkrokovou aritmetickou úlohu           Jestliže je v algebře zadána rovnice 5x + 3 = 38, žáci potřebují k vyřešení stejnou         dovednost jako při řešení uvedeného problému: od 38 odečíst 3 a rozdíl vydělit         číslem 5. Uvedený šipkový diagram je mezikrokem mezi implikačním pojetím         a ekvivalentním pojetím, které je potřeba k řešení rovnic.           38            ┼","Někteří autoři varují, že žáci se v rámci aritmetiky soustředí více na počítání                (hledání výsledku) než na vztahový aspekt operace. Kieran (2004) uvádí, že při                rozvoji algebraického způsobu myšlení je účelné: zaměřit se na vztahy a nejen                na výpočty a hledání výsledku; zaměřit se na operace stejně tak jako na jejich                inverze; zaměřit se na vytváření i řešení problémů, ne pouze na řešení zadaných                problémů; zaměřit se na písmena i čísla a nejen na čísla; nahlížet na znak rovnos-                ti jako na symbol pro ekvivalenci.                Výzkumy (např. Carraher et al., 2006) ukázaly, že dokonce i děti v prvních dvou                letech základní školy jsou schopny používat proměnné k tomu, aby vyřešily slovně                zadanou aritmetickou úlohu nebo rovnici. Carraher a kol. testovali po dobu třiceti                měsíců 69 žáků ve věku 8–10 let. Prostřednictvím řešení úloh byli žáci nenápadně                nuceni si neznámou či proměnnou hodnotu označovat, často k tomu sami od sebe                využívali písmeno. Pro žáky, kteří sami došli k závěru, že zápis pomocí písmene je                zjednodušující, bylo využívání algebraické symboliky přirozené a rozuměli jí.                Lee a kol. (2010) se naopak zabývali tím, proč žáci, kterým bylo od 4. ročníku                nabízeno aritmetické řešení podpořené grafickým znázorněním, které nazývají                schematická metoda, měli na 2. stupni problém přejít k tzv. symbolické metodě                (algebraické) a nadále využívali schematickou metodu. Jejich cílem bylo zjistit,                zda by bylo možné žáky podpořit v používání symbolické metody na 2. stupni                základní školy, například vynecháním schematické metody. Zkoumali činnost                mozku žáků během řešení úloh jednotlivými metodami. Symbolická metoda byla                namáhavější pro žáky 1. stupně i 2. stupně základní školy. Ukázalo se, že je spíše                vhodné žákům nechávat volnost ve výběru metody i poté, co jim byla nabídnuta                symbolická metoda, protože někteří přirozeně inklinují ke schematické metodě                a jiní k symbolické metodě.                Jedním z nejpatrnějších rozdílů mezi aritmetikou a algebrou je používání písmen                zastupujících určitou číselnou hodnotu. To, ve kterém ročníku se žák s písmenem                ve významu čísla poprvé setká, závisí na učiteli. Jsou učitelé, kteří písmena pou-                žívají průběžně od 1. ročníku, postupně žákům objasňují jejich význam. Jsou také                učitelé, kteří písmena začnou používat skutečně až s nástupem algebry ve vyšších                ročnících 2. stupně základní školy. Žáci mohou být výskytem písmen zmateni,                nechápou, co přesně znamenají, zda a jak s nimi mají počítat.                Pokud se písmena zavádějí na 1. stupni pouze formálně, mohou to žáci považovat                za zbytečné. Úlohy totiž často vyřeší jednoduše bez písmen, aritmetickými ope-                racemi, mnohdy i bez zápisu, tedy pamětně. Nechápou potom, proč si mají nezná-                mou označovat písmenem  a řešit úlohu složitěji, než je jim přirozené.                  Přístupy k zavádění školské algebry                 Moderní školská algebra je silně zaměřena na technický symbolický aparát. Pokud                se podíváme do historie, můžeme si všimnout, jaký důraz kladli například indičtí                matematici, jako Bhaskara nebo Brahmagupta, na porozumění a vhled do kvan-                                                                                    39                                                                               ┼","titativních vztahů. Algebraické symboly jsou pomůckou k tomuto pochopení.         „Algebra je základem pro aritmetiku, a ne pouze zobecnění aritmetiky, z čehož         plyne, že aritmetika sama musí být nahlížena očima algebry“ (Subramaniam         \& Banerjee, 2011: s. 94). Subramaniam a Banerjee (2011) uvádějí, že jestliže se         žáci učí manipulovat s proměnnými, písmeny a výrazy, jako by to byly objekty,         je pro ně snadné ztratit povědomí o tom, že se jedná o kvantity. Algebra přináší         nejen nové symboly ve formě písmen a výrazů (doposud byli žáci zvyklí jen na         čísla a symboly pro operace), ale také nové způsoby zacházení se symboly.         Bylo by vhodné. kdyby mezi aritmetikou a algebrou na základní škole byl plynulý         přechod. Zpočátku by se žáci měli učit pouze jinak zapisovat řešení úloh, která         ovládají aritmeticky.         Již od 2. ročníku se žáci mohou seznamovat s úlohami, které se učí nejdříve řešit         pamětně, později zapisovat aritmeticky, a nakonec zapisovat algebraicky. Násle-         dující tři zadání jsou navzájem ekvivalentní, liší se pouze mírou algebraizace zápisu:             1.  Myslím si číslo. Když ho vynásobím dvěma a přičtu 3, dostanu 13. Které              číslo si myslím? (2.–3. ročník, vhodná hra pro automatizaci násobilky).            2.   ∙ 2 + 3 = 13 (4. ročník, jedná se o zapsání předchozího zadání; dítě stále              uvažuje v mezích aritmetiky).            3.  2x + 3 = 13 (6. ročník, pokud byly provedeny předchozí dvě fáze; dítě pou-              ze nahradí volnou pozici písmenem x, stále může uvažovat v mezích arit-              metiky).         Algebraický výraz nebo rovnice je možné interpretovat dvojím způsobem. Jedním         z nich je „procedurální“ interpretace (Hiebert \& Lefevre, 1986; Kieran, 1992)         nebo „operacionální“ interpretace (Sfard, 1991). Algebraický výraz, např. x + 3, je         v této interpretaci chápán jako procedura nebo operace „k x přičti 3“. Druhým         je „strukturální“ (Sfard, 1987; Kieran, 1992) nebo také „konceptuální“ interpreta-         ce (Hiebert \& Lefevre, 1986). Algebraický výraz je v ní chápán jako objekt nebo         koncept v matematické struktuře. Stacey a MacGregor (2000) uvádějí, že někteří         autoři spojují procedurální či operacionální myšlení s aritmetikou a strukturál-         ní myšlení s algebrou. Mnohdy právě žáci, kteří ovládají algebraické postupy,         pohlížejí na řešení úlohy velmi algoritmicky, mají naučenou sekvenci kroků, kte-         ré použijí, přitom nemusí postupu rozumět.         Mnoho výzkumů v didaktice matematiky (např. Lee et al., 2010; Britt \& Irwin,         2011; Russel et al., 2011; Novotná, 2016) se zabývá otázkou, zda je pro žáky         k zvládnutí školní algebry dostačující osvojit si předepsané algoritmy nebo zda by         se školní matematika měla také zaměřovat na rozvíjení žákovské nezávislosti         a kreativity při řešení problémových úloh. Novotná (2016) uvádí, že z výsledků         mnoha výzkumů vyplývá důležitost vytváření podmínek pro tvořivé přístupy žáků         k řešení problémů. V opačném případě žáci ztrácejí motivaci pro řešení úlohy         v situacích, kdy jejich aktuální repertoár matematických znalostí neobsahuje algo-         ritmus vedoucí k řešení.           40            ┼","– 2 – 4  ÚLOHY ROVNICOVÉHO CHARAKTERU V RVP,                          STANDARDECH A VYBRANÝCH UČEBNICÍCH                 Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání ani Standardy pro základ-                ní vzdělávání se na 1. stupni nezabývají ani přechodem od aritmetiky k algebře,                ani typy úloh, které by žákům v tomto přechodu na 2. stupni pomohly. Rámcový                vzdělávací program pro základní vzdělávání vytyčuje na 2. stupni základní školy                následující očekávané výstupy pro oblast algebry a rovnice: M-9-1-07: Žák                matematizuje jednoduché reálné situace s využitím proměnných; určí hodnotu                výrazu, sčítá a násobí mnohočleny, provádí rozklad mnohočlenu na součin pomocí                vzorců a vytýkáním. M-9-1-08: Žák formuluje a řeší reálnou situaci pomocí rovnic                a jejich soustav. Oba výstupy jsou pro 9. ročník, a není tudíž zřejmé, ve kterém                ročníku žáci získávají potřebné znalosti a dovednosti.                K očekávanému výstupu M-9-1-07 najdeme ve Standardech následující indikátory:                1. Žák vypočte hodnotu výrazu pro dané hodnoty proměnných. 2. Žák využívá                při úpravě výrazů vytýkání a vzorce (a + b) , (a – b) , a – b . 3. Žák vybere odpo-                                                     2                                                            2                                                                  2                                                               2                vídající výraz, který popisuje jednoduchou reálnou situaci.                K očekávanému výstupu M-9-1-08 jsou ve Standardech tyto indikátory: 1. Žák                vyřeší rovnici a soustavu dvou jednoduchých lineárních rovnic pomocí ekviva-                lentních úprav. 2. Žák ověří správnost řešení slovní úlohy.                V Metodických komentářích ke Standardům pro základní vzdělávání (Fuchs \&                Zelendová, 2015) uvádí Vondrová, že je důležité, aby se písmeno v roli proměnné                dostávalo do hry přirozeně, a zmiňuje tři pilíře algebry. Jedním z nich jsou úlohy                na zobecňování: „Žák si uvědomuje nutnost symbolického zápisu (aby nemusel                vypisovat mnoho různých případů) i jeho podstatu (výraz zastupuje různé případy,                třeba i nekonečně mnoho). Učitel by měl žáky nechat dospět k symbolickému                zápisu až poté, co si žák vyzkouší dostatečný počet konkrétních případů“ (s. 26).                Jako propedeutiku oblasti řešení lineárních rovnic uvádí Vondrová úlohy typu                „myslím si číslo“, ale také jednoduché lineární rovnice (zapsané nejdříve po-                mocí čísel a např. prázdného obdélníku, posléze písmena x). Poznamenává, že tyto                úlohy mohou řešit již žáci na 1. stupni, přičemž využívají metodu pokusu                a omylu, později také systematický experiment. Upozorňuje, že dalším pilířem                pro rozvoj algebraického myšlení na ZŠ jsou číselné výrazy a jejich aritmetika.                Přitom ale nelze v tomto ohledu algebru chápat jako zobecněnou aritmetiku,                protože algebraické procesy se v mnoha ohledech od aritmetických liší. Tuto pro-                blematiku uvádí Vondrová na příkladu číselného výrazu 2(3 + 5) a algebraického                výrazu 2(x + 5). Zatímco v číselném výrazu může žák chápat „plus“ jako pokyn                k sečtení čísel 3 a 5, ve výrazu x + 5 musí žák nejdříve vědět hodnotu x, aby mohl                sčítat, a výraz může jedině roznásobit.                                                                                         41                                                                               ┼","Za důležitý model pro zavedení ekvivalentních úprav rovnic považuje Vondrová         váhy. Váhy dle ní mohou usměrnit představu žáků o znaku „rovná se“. Žáci si         často vytvoří na základě svých předchozích zkušeností představu, že znaménko         „rovná se“ odděluje proceduru (výpočet) nalevo od výsledku napravo. O rovnosti         neuvažují jako o ekvivalenci, ale jako o implikaci (viz také výše).           – 2 – 4 – 1   Kroky vedoucí k pochopení řešení rovnic a jejich zastoupení                    v učebnicích pro 1. a 2. stupeň ZŠ         Výuka rovnic by neměla začít až v 7. nebo 8. ročníku (podle školy a jejího školní-         ho vzdělávacího plánu), ale měla by k ní vést řada kroků, začínajících již v 1. roč-         níku základní školy a gradujících vzhledem k abstrakci, která je od žáků vyžado-         vána. Na 1. stupni se jedná o následující typy úloh:            •  Dočítací úlohy.            •  Úlohy typu „myslím si číslo“ řešené pamětně.            •  Úlohy typu „myslím si číslo“ řešené pomocí zakreslení do řetězce (šipko-              vého schématu).            •  Řešení algebraických slovních úloh s akcentem na využívání řízeného              experimentu a aritmetických postupů.         Na 2. stupni se potom jedná o tyto typy úloh:            •  Řešení úloh s vahami.            •  Řešení jednoduchých rovnic, v nichž je vynecháno jedno číslo               (např. 3 ∙  + 6 = 15) a které je možné řešit pamětně.            •  Řešení jednoduchých rovnic, v nichž je neznámé číslo zapsáno písmenem              x, postupné zavádění ekvivalentních úprav.         Podívejme se nyní, zda a jak se v učebnicích matematiky objevují úlohy, které         bychom mohli považovat za propedeutické k řešení rovnic. Uvedu příklad dvou         řad učebnic 1. stupně a dvou řad učebnic 2. stupně, které se používají na řadě zá-         kladních škol a mají odlišné pojetí výuky matematiky.         V učebnicích matematiky pro 1. stupeň základní školy se nejčastěji setkáváme         s úlohami zaměřujícími se na procvičování aritmetických operací. V některých         učebnicích se potom můžeme setkat s úlohami, které mohou u žáků pěstovat po-         stupy, které budou využitelné při výuce algebry a rovnic na 2. stupni. V učebnicích         nakladatelství Alter (Blažková, Matoušková \& Vaňurová, 2011b) můžeme najít         úlohy, které lze chápat jako propedeutiku budoucího učiva rovnic (Obr. 6)                   42            ┼","Obr. 6 Alter, Pracovní sešit pro 3. ročník, 1. díl                  Dále v těchto učebnicích lze najít úkoly pro přemýšlivé. Na Obr. 7 se jedná o slov-                ní úlohy, které vedou na řešení pomocí soustavy dvou rovnic o dvou neznámých                (Blažková, Matoušková \& Vaňurová, 2011c). Žáci tento aparát neovládají a úlohu                musí řešit aritmeticky. Jedná se opět o propedeutiku budoucího učiva, avšak za                podmínky, že jsou žáci seznamováni s efektivními metodami řešení, v tomto pří-                padě s metodou řízeného experimentu.                                               Obr. 7 Alter, Pracovní sešit pro 3. ročník, 2. díl                  Od 3. a 4. ročníku se začíná cíleně používat tzv. řetězců, a to také v souvislosti                s řešením rovnic (Obr. 8).                                                  Obr. 8 Alter, učebnice pro 4. ročník, 1. díl                                                                                     43                                                                               ┼","Výjimku mezi učebnicemi tvoří řada učebnic, která je v souladu s tzv. vyučováním         založeným na budování schémat a byla vytvořena na základě teorie poznávacího         procesu, tzv. teorie generických modelů (Hejný, 2014). Pro metodu se vžilo pojme-         nování Hejného metoda. V ní se již v rámci 1. stupně můžeme setkávat s úlohami,         které mají algebraickou podstatu, přestože je žák vyřeší aritmetickými prostředky.         Učebnice podle Hejného metody jsou založeny na určitých didaktických prostředích.         Od 2. ročníku se žáci seznamují s prostředím děda Lesoň. Děda Lesoň je ochrán-         ce zvířátek. Postupně je zavedeno osm druhů zvířat: myš, kočka, husa, pes, koza,         beran, kráva, kůň. Každé z těchto zvířat je reprezentováno obrázkem, ikonou,         písmenem a hodnotou, která odpovídá jeho „síle“. Žáci tyto hodnoty postupně         odhalují na základě vztahů, které jsou znázorněny na Obr. 9.                                              Obr. 9 Děda Lesoň (Hejný, 2014: s. 21)            Nejnižší hodnotu má myš, platí M = 1, dále kočka K = 2 atd. Jestliže žák vytváří         stejně silná družstva zvířat, řeší vlastně modelové rovnicové situace  (Hejný, 2014).                                                                 4         V Hejného učebnicích se již na 1. stupni setkáváme s dalšími algebraickými pro-         středími, jako jsou pavučiny (Obr. 10), hadi, nebo algebrogramy. V těchto prostře-         dích mají žáci možnost pohlížet na číslo nejen jako na známou hodnotu, případně         jako na hodnotu, kterou vypočítají ze dvou známých hodnot, ale také jako na ne-         známou hodnotu.              4    Kuřina (2016) však upozorňuje, že v prostředí děda Lesoň je zaměňována množinová ope-            race sjednocení s aritmetickou operací sčítání. Dodává, že sčítat neznamená dávat dohro-            mady. „Dám-li dohromady dva zajíčky a lišku, dostanu dva zajíčky a lišku (nenastane-li            nějaká katastrofa), dám-li dohromady 2 a 1, dostanu 21“ (Kuřina, 2016: s. 86). Za proble-            matické považuje Kuřina i zavedení zápisu na Obr. 9 pro skutečnost, že např. „kočka je tak            silná jako dvě myši“. „Práci s veličinami (navíc nepojmenovanými) nepovažuji za dobrou            propedeutiku řešení rovnic“ (Kuřina, 2016: s. 86).          44            ┼","Obr. 10 Řešení pavučiny žákem 2. ročníku                  Žáci při řešení pavučin obvykle postupují experimentálně. Dopisují si čísla, která                by mohla v daném kolečku být, a postupně kontrolují všechny výpočty (viz Obr. 10).                Opakovaným řešením pavučin si žáci mohou automatizovat spoje pro sčítání.                Nyní se podíváme na učebnice 2. stupně. Některé přistupují k určité propedeutice                algebraického myšlení od 6. ročníku. Odvárko a Kadleček (1997) například volí                v 6. ročníku úlohy, jako hledání všech přirozených čísel x, pro která platí x < 5,                 nebo určení zpaměti takového čísla x, aby platilo: 47 – x = 30. V 7. ročníku                  (Odvárko \& Kadleček, 1998) potom v učivu zlomků zadávají následující úlohy:                                                           2                                                                                                                   = 0, = 1                                                                                                  2                                                = 0, = 1 2                      Urči číslo x tak aby platilo:   = 0, = 1; Najdi takové nejmenší a) prvočíslo x,                                              2        2                                2  2                                                 2  18                                                     = 0, = 1    b) složené číslo x, aby zlomek   byl v základním tvaru; Urči číslo x tak, aby p 2la- 2  18  =  2                                                16                                18 =     3                                                  16                                                                                   = 3                                                         2                                                   4                    2  18 ; Urči číslo x, pro kt 4eré platí  :      = . V kapitole Celá čísla lze najít                                                                                               3                                       16                tilo  =                         2  16                3                  4 :      = :  2      =   7  7                                                7                                          7  4  2          úlohy typu: Vypiš všechna celá čísla, která můžeš dosadit za x tak, aby platilo                                             7                                       7  :      =  7  7          |x| + 4 = 8. A tak dále.                Jestliže učitel tyto úlohy průběžně zadává, žák má dva roky na to, aby si zvykl                neznámé číslo či proměnnou veličinu označovat písmenem x.  Když se začíná                                                                      5                probírat učivo rovnic, žák je již seznámen se způsobem zápisu rovnic. Odvárko                a Kadleček (2000) ilustrují řešení rovnic na několika příkladech s vahami                (Obr. 11) a dále pokračují zaváděním jednotlivých ekvivalentních úprav.                   5    Poněkud omezující je v těchto učebnicích fakt, že je stále používáno pouze písmeno x.                                               5                                                Poněkud omezující je v těchto učebnicích fakt, že je stále používáno pouze písmeno     .                                                            5  Poněkud omezující je v těchto učebnicích fakt, že je stále používáno pouze písmeno     .                                   5  Poněkud omezující je v těchto učebnicích fakt, že je stále používáno pouze písmeno     .  5  Poněkud omezující je v těchto učebnicích fakt, že je stále používáno pouze písmeno     .    45                                                                               ┼","Obr. 11 Odvárko a Kadleček (2000), Soubor úloh pro 8. ročník základní školy           V Hejného metodě na 2. stupni ZŠ (Hejný et al., 2015) jsou rovnice uvedeny po-         mocí tzv. „mincových rovnic“ a „váhových rovnic“ (Obr. 12). U mincových rovnic         má žák určit hodnotu neznámé mince. U váhových rovnic je úkolem určit, jak         těžká je jedna krychle.                              Obr. 12 Ukázka mincové rovnice (nahoře) a váhové rovnice (dole)           Dále v těchto učebnicích žáci mohou řešit tzv. „šipkové grafy“. Na Obr. 13 jsou         uvedeny dva šipkové grafy, první vede na rovnici (x + 5) ∙ 2 = 4x + 6, druhý na         rovnici (x + 4) ∙ 3 = 4x + 6.               46            ┼","Obr. 13 Šipkové grafy                  Samotné řešení rovnic uvádí Hejný úlohami, ve kterých neznámé číslo „schovává“                do obálky. Například úlohy  + 2 = 7 nebo 6 +  = 1 (Hejný et al., 2015: s. 37)                mohou žáci řešit pamětně, obálka se postupně nahrazuje písmenem x.                Na ukázkách z učebnic jsme viděli, že ačkoli kurikulární dokumenty (RVP                a Standardy) neuvádějí, že by se žák měl v průběhu 1. i 2. stupně setkávat s úloha-                mi, které ho postupně připravují na přechod k algebraickému a rovnicovému                způsobu myšlení, je možné v některých učebnicích najít úlohy, které tak činí. To,                zda se žáci s těmito úlohami seznamují, je však nakonec věcí přesvědčení a roz-                hodnutí učitele.                   – 2 – 5  MATEMATICKÁ ÚLOHA A JEJÍ ŘEŠENÍ                 Při řešení matematické úlohy by měly být dodržovány určité kroky, které žákovi                pomohou vypořádat se s různými typy úloh. Není přitom ani tak důležité vyžado-                vání šablonovitého zápisu, ale spíše sledování určité posloupnosti úkonů.                Dnes již klasický popis řešení úloh pochází od maďarského matematika George                               6                Polyi. Polya (2016 ) zformuloval postup, který považuje za vhodný při řešení ma-                tematických úloh:                1.  Porozumění úloze. Žák si musí uvědomit, co je neznámá, jaké jsou známé                   údaje, jaké jsou podmínky. V této fázi je vhodné nakreslit si obrázek a zavést                   vhodné označení zadaných a hledaných údajů.                2.  Navržení plánu řešení. Žák hledá souvislosti mezi známými údaji a neznámou.                   Může přemýšlet nad tím, zda nezná nějakou příbuznou úlohu, jejíž řešení by                   mohl využít. Nakonec sestaví plán řešení.                3.  Realizace plánu řešení. Žák realizuje svůj plán, kontroluje své kroky.                4.  Pohled zpět. Žák přezkouší nalezené řešení, zkontroluje, zda odpověděl na otáz-                   ku a zda je odpověď reálná.                   6    Původní vydání v anglickém jazyce je již z roku 1945.                                                                                    47                                                                               ┼","– 2 – 6  ÚLOHY ROVNICOVÉHO CHARAKTERU A ZPŮSOBY                   JEJICH ŘEŠENÍ          Úlohu rovnicového charakteru je obvykle možné řešit různými strategiemi. Ty         můžeme rozdělit na aritmetické a algebraické. Aritmetické strategie dělíme dále         dle míry sofistikovanosti na experimentální a neexperimentální (dále je budu         pro zkrácení nazývat jednoduše aritmetické). Experimentování má mnoho různých         podob, v základním dělení rozlišujeme neřízený a řízený experiment. Aritmetic-         ké strategie mohou mít řadu různých forem, v závislosti na typu úlohy a rovněž na         způsobu vizualizace vztahů.         Nejjednodušší, nejméně sofistikovanou a na matematický aparát nejméně náročnou         je strategie neřízeného experimentu, která bývá také označována jako metoda         pokusu a omylu. Žáci se snaží najít řešení slovní úlohy tak, že odhadnou výsledek.         Podle Novotné (2000) může mít tento postup tři různé průběhy: 1) řešitel uvede         odhadnutý výsledek za řešení slovní úlohy, neprovádí zkoušku správnosti;         2) řešitel provede zkoušku správnosti, která mu potvrdí správnost výsledku – buď         hledá další řešení, obvykle jinou strategií, nebo další řešení nehledá; 3) řešitel         provede zkoušku správnosti a odhalí, že jeho řešení nevyhovuje zadání úlohy – dále         buď řešení vzdá, nebo se ho snaží hledat jinou strategií.         Jiný pohled na strategii pokusu a omylu má Hejný (2014). Dělí ji na náhodnou,         částečně organizovanou, organizovanou. Při volbě této strategie žákovi dle něj         ulehčí počítání, když si sestaví tabulku, ve které může sledovat vztahy mezi veliči-         nami. Tím se z pokusu a omylu může stát řízené (systematické) experimentování.         Řízený experiment je strategie, která po řešiteli vyžaduje větší zkušenost a cíle-         vědomější vyhodnocování získaných výsledků. Žák vyhodnocuje přesnost svého         odhadu a postupně se přibližuje ke správnému výsledku.         Aritmetické strategie jsou takové, kdy není pro řešení použita rovnice. Žák hledá         vztahy mezi zadanými údaji a volí vhodné operace k výpočtu neznámých hodnot.         Vztahy mezi veličinami je také možné znázornit graficky, pak se strategie nazývá         grafická, případně aritmetická s grafickým znázorněním. Při algebraické strate-         gii řešitel při řešení úlohy používá jednu nebo více rovnic.         Břehovský, Eisenmann, Novotná a Přibyl (2015) a Novotná (2016) shrnují přehled-                                    7         ně heuristické strategie řešení  pro řešení problémových úloh:            •  Pokus – kontrola – oprava: Principem této strategie je přibližovat se hle-              danému řešení. V prvním kroku provede řešitel náhodnou volbu. V druhém                7    Heuristické strategie jsou v didakticko-matematické literatuře hojně zkoumány a využívá-            ny (Kopka, 1999, 2007; Hejný, 2014; Polya, 2016).          48            ┼","kroku zkontroluje, zda je výsledek správný. Pokud ne, zjišťuje, jak moc se                      odchýlil. Ve třetím kroku vybírá novou hodnotu, v závislosti na velikosti                      chyby při první volbě.                   •  Postup od konce: Tato strategie je velmi často používána v případech, kdy                      je známý koncový stav a my se snažíme dostat z konce na začátek. Autoři                      však za tuto metodu nepovažují metodu založenou na používání inverzních                      operací, kterou nazývají číselný had. Číselný had dle jejich názoru testuje                      pouze znalost inverzních operací.                   •  Zavedení pomocného prvku: Základní myšlenkou této strategie je zave-                      dení takového pomocného prvku, který zpřístupní řešiteli hledané řešení                      a pomůže mu získat vhled. Pomocný prvek je definován jako objekt, který                      není zahrnut v zadání, ale my doufáme, že zjednoduší řešení.                   •  Využití analogie: Žák může použít analogickou úlohu, jejíž řešení zná.                   •  Přeformulování problému: Žák zjednoduší zadání tak, aby pro něj bylo                      snadné k řešení. Může například zmenšit čísla a poté se vrátit k původnímu                      zadání.                   •  Řešitelský obrázek: Grafickou reprezentaci používáme k vizualizaci pro-                      blému. Většinou se jedná o ilustrativní obrázek, který znázorňuje zadání.                      Někdy je řešení problému patrné přímo z tohoto obrázku. Ve většině přípa-                      dů nicméně musíme s obrázkem manipulovat a problém vyřešíme s modi-                      fikovaným obrázkem. Tento obrázek nazýváme řešitelský obrázek. V pří-                      padě řešení rovnic se velmi často jedná o úsečkový model, který znázorní                      vztahy mezi veličinami a tvoří propojení mezi aritmetickým a algebraickým                      přístupem.                Hejný (2014) rozděluje řešitelské strategie na rutinní (řešení bez porozumění,                s porozuměním, tvořivě), nerutinní, pokus-omyl (náhodný, částečně organizovaný,                organizovaný), rozklad na dílčí úlohy, řešení od konce aj.                Výše bylo uvedeno, že úlohami rovnicového charakteru chápu algebraické slovní                úlohy, aritmetické úlohy (úlohy, které slovně vyjadřují početní operace s čísly)                a početní geometrické úlohy řešitelné rovnicemi. Nyní uvedu nejčastější typy                těchto úloh, způsoby jejich řešení a možné obtíže žáků.                  – 2 – 6 – 1   SLOVNÍ ÚLOHY                 Slovních úloh, které jsou řešitelné algebraicky, je mnoho typů. Na 1. stupni je                obvykle výhodnější tyto úlohy řešit aritmeticky. Na 2. stupni se potom žáci setká-                vají s typy úloh, u nichž je jednodušší řešení pomocí rovnic (např. úlohy o pohybu,                úlohy o společné práci, úlohy o směsích aj.). Jako typické úlohy, které se objevily                také v mém testu, vyberu úlohy s dělením celku na nestejné části a dynamické                slovní úlohy.                                                                                      49                                                                               ┼","Nejdříve se podívejme na řešení slovních úloh obecně. Žáci na 1. stupni základní         školy řeší nejdříve jednoduché slovní úlohy, obsahující jednu aritmetickou operaci.         V rámci těchto slovních úloh se učí aplikovat početní výkony sčítání a odčítání,         později násobení a dělení. Často se k volbě správného výkonu využívá signálních         slov, která mají žáka navést: „přinesl“, „dostal“, „má více než“ má žáka navést         na sčítání. Stačí úlohu mírně přeformulovat a signální slovo se stane antisignálem:         Eva má 5 kuliček, což je o 3 více, než má Roman. Kolik kuliček má Roman? V uvedené         úloze je třeba použít výpočet 5 – 3 = 2, přestože zadání obsahuje slovo „více“.         Postupně se přistupuje k řešení složených slovních úloh. Za složenou slovní úlohu         obvykle považujeme takovou slovní úlohu, k jejímuž řešení žák potřebuje použít         alespoň dva početní výkony (Divíšek, 1989). S těmito slovními úlohami žáky se-         znamujeme od 2. ročníku ZŠ. Na 1. stupni ZŠ jsou to však téměř vždy jen úlohy         řešitelné dvěma, maximálně třemi početními výkony (Divíšek, 1989).         Složená slovní úloha sestává z několika dílčích jednoduchých, na sebe navazujících         slovních úloh. Podstatnou částí řešení složené slovní úlohy je analýza složené         slovní úlohy a její rozklad na jednoduché úlohy.          Řešení slovní úlohy probíhá obvykle ve fázích, které však nemusí být vždy stejně         významné a patrné, zvláště při řešení série analogických úloh. Divíšek rozlišuje         pět fází (1989):            1.  Rozbor úlohy spočívá v pochopení textu a ujasnění si toho, co známe,              a toho, co máme vypočítat. Snažíme se objevit vztahy mezi zadanými úda-              ji, které bychom vyjádřili matematicky. Rozbor vede učitel formou otázek,              žáci se postupně učí tyto otázky klást sami.            2.  Matematizace problému úlohy spočívá v převedení slovní úlohy do úlohy              matematické. Úkolem je uvědomit si, které údaje jsou známy a které je              nutno určit, a sestavit početní příklad, později například rovnici. Matema-              tizace úlohy může být v některých případech provedena i graficky.            3.  Řešení matematicky formulované úlohy znamená řešení vytvořeného počet-              ního příkladu, rovnice, nebo nalezení výsledku na grafickém znázornění. 8            4.  Zkouška, že nalezené číslo je skutečně řešením dané úlohy, by měla potvrdit              jednak správnost numerickou (správnost řešení matematické úlohy), jednak              správnost věcnou. Ne každý výsledek matematické úlohy musí být řešením              dané reálné úlohy, i když byl vypočten matematicky správně. Je nutné posou-              dit smysluplnost výsledku v kontextu úlohy a případně také v realitě.            5.  Odpověď vede žáka k tomu, aby konfrontoval výsledek se zadáním úlohy.              8    Pokud úloha obsahuje jednotky (Kč, kg, m, aj.), většinou se postupuje pro zjednodušení tak,            že se jednotky v průběhu výpočtu nezapisují a matematické zápisy se provádějí jen s čísly.            Jednotky se uvádějí až v odpovědi.          50            ┼","Fáze řešení problémových úloh nadanými žáky popisuje Mayer (1982). Uvádí, že                žák by měl mít čtyři typy znalostí důležité pro řešení problémů. Těmito znalostmi                jsou sémantické znalosti, znalosti schématu, algoritmické znalosti a strategic-                ké znalosti. Tyto znalosti by neměly být vzájemně oddělovány.                Prvním krokem při řešení problému je porozumění problému. V této fázi řešení je                důležitá sémantická znalost řešitele. Žák musí nejen dokázat interpretovat dané                informace, ale v případě algebraických úloh také správně označit neznámou.                Znalost schématu spočívá ve vytváření struktury podobných problémů nebo                schémat řešení problémů. Podle Mayera (1992) znalost schématu znamená, že žák                řeší různé slovní problémy pomocí stejné aritmetické operace. Jestliže řešitel ví,                jaký druh problému řeší, znamená to, že používá znalost schématu. Riley a Greeno                (1988) tvrdí, že znalost schématu je důležitá pro plánování způsobů postupu.                Po dvou prvních krocích, kdy žák porozumí zadání, zorientuje se v problému,                vybere podstatné a nepodstatné informace a, pokud je to možné, využije znalost                schématu, musí sestavit rovnici a tuto rovnici řešit. K tomu potřebuje algoritmic-                kou znalost. Žák musí znát algoritmus postupu neboli jednotlivé kroky, které                vedou k řešení.                Poslední znalost nazývá Mayer (1992) strategickou znalostí a spočívá podle něj                v plánování a kontrole řešení problému.                  Hejný a Stehlíková se podrobněji zabývají procesem uchopování slovní úlohy,                který rozložili do čtyř etap (1999: s. 40):                   1.  Řešitel si vytvoří představu o tom, čeho se úloha týká. Vzpomíná, zda již                      podobnou úlohu řešil.                   2.  Řešitel eviduje objekty úlohy. Zapíše, označí nebo nakreslí, co je dáno a co                      se má najít. Někdy uvede i pomocné objekty, které sice v úloze nevystupují,                      ale které může použít při řešení.                   3.  Řešitel eviduje vztahy mezi objekty a tyto si nějak vyznačí, například pomocí                      šipek, kterými propojí již na papíře napsané objekty. Někdy připíše i pomocné                      vztahy.                   4.  Řešitel si utváří představu o úloze jako celku a z této představy se snaží                      vyvodit řešitelskou strategii, tj. směr, kterým bude dále postupovat.                  Typické algebraické slovní úlohy, které jsou řešitelné aritmetickými strategiemi,                jsou úlohy s dělením celku na nestejné části a dynamické úlohy. Nyní uvedu mož-                nosti řešení těchto typů úloh.                                                                                           51                                                                               ┼","Dělení celku na nestejné části – řešení s využitím úsečkového modelu         Příkladem grafické metody je využití úsečkového modelu (Novotná, 2010) nebo         také obdélníkového modelu, který se dá využít například při řešení úloh s dělením         celku na nestejné části. Využití demonstruji na úloze:           Příklad 1.  Sourozenci Renata, Pavel a Karel nasbírali dohromady 161 karet.                    Pavel nasbíral o 3 karty méně než Renata a Karel nasbíral dvakrát                    tolik karet než Renata. Kolik karet nasbíral každý z nich?          Pokud žák ovládá pouze aritmetické metody, může pro něj být obtížné zaznamenat         vztahy. Je vhodné, aby žák postupoval od známé aritmetické metody k neznámé         algebraické metodě pozvolna. Pomoci mu může vizualizace založená na úsečkovém         (obdélníkovém) modelu. Pomocí obrázku může algebraizovat zápis:          Rozbor úlohy:                            Renata … x                                                   Pavel … o 3 méně než                                                  Karel … dvakrát více než           Pokud žák umí použít grafické znázornění, může dále postupovat aritmeticky         nebo algebraicky. Aritmeticky postupuje od výsledné hodnoty: 161 – 3 ∙ 3 = 152,         152 : 4 = 38. To je počet karet Pavla. Počet karet Renaty je 38 + 3 = 41 a počet         karet Karla je 2 ∙ 41 = 82.         Algebraicky postupuje opět z obrázku tak, že označí počet Renatiných karet jako         x a sestaví rovnici: x + (x – 3) + 2x = 161.         Získali jsme odpověď, že počet Renatiných karet je 41. Je nutné zkontrolovat všech-         ny údaje ze zadání: R … 41; P … 41 – 3 = 38, K … 2 ∙ 41 = 82, 41 + 38 + 82 = 161.         Nyní zapíšeme odpověď: Renata nasbírala 41 karet, Pavel 38 karet a Karel 82 karet.         Lze uvažovat také jinak: Kdyby měl Pavel o tři karty více, měl by stejně jako         Renata. Úvahu zakreslíme do úsečkového diagramu a počítáme: 161 + 3 = 164,         164 : 4 = 41. Renata má 41 karet, Pavel  karet 41 – 3 = 38, Karel 82 karet.                   Přestože úsečkový model je velmi účinným nástrojem pro řešení slovních úloh         s dělením celku na nestejné části, učitelé nejsou zvyklí jej používat. Stejnou zku-         šenost získala také Novotná (2010).          52            ┼","Dynamické úlohy                Dynamická úloha byla jedna z úloh, kterou jsem zařadila do svého výzkumu. Tyto                úlohy jsou pro žáky náročnější než úlohy statické, ve kterých se vše odehrává                v jednom čase. U dynamických úloh je pro žáky největší problém uchopení časových                hladin (Hejný, 2003).                Z důvodu problematického uchopování vztahů v dynamických úlohách je pro žáky                vhodné zpočátku využívat experimentální metodu. Nemělo by se však jednat                o nahodilé experimentování, žák by měl systematicky kontrolovat své kroky. Postup                demonstruji na následující úloze:                  Příklad 2.  Otci a synovi je dohromady 54 let. Za 5 let bude otec třikrát tak stár                            než syn. Kolik let je každému z nich?                  Pokud úlohu řešíme experimentem, je vhodné údaje zapsat do tabulky. V prvním                kroku odhadneme, jaký věk by mohl mít syn.                    Synův věk nyní                            8                9                 Otcův věk nyní                        54 – 8 = 46      54 – 9 = 45                 Synův věk za 5 let                       13               14                 Otcův věk za 5 let                       51               50                 Trojnásobek synova věku za 5 let       39 ≠ 51          42 ≠ 50                  Pokud by žák postupoval neřízeným experimentem, postupně by synovi přidával                po 1 roku, až by dospěl ke sloupci, ve kterém by v posledním řádku nastala rovnost.                V řízeném experimentu se snažíme ne základě získaných výsledků učinit co nej-                dříve správný odhad. Po zapsání druhého sloupce budeme uvažovat: Zvýšili jsme                věk syna o 1 rok, rozdíl věků v posledním řádku se zmenšil o 4 ze 12 na 8. To zna-                mená, že po dalších dvou krocích bude rozdíl nulový. Věk syna je tedy 8 + 3 = 11 let.                Opět provedeme zkoušku všech údajů ze zadání: 54 – 11 = 43, 11 + 5 = 16,                43 + 5 = 48, 3 ∙ 16 = 48.                Zapíšeme odpověď: Synovi je 11 let a otci je 43 let.                   Jestliže žák získá určitou zkušenost s řešením tohoto typu úlohy, je možné přistou-                pit k aritmetickému řešení. Opět nám poslouží obdélníkový model. Zakreslíme                do něj situaci „za 5 let“:                                                                                        53                                                                               ┼","Z něj můžeme vyčíst vztahy: 64 : 4 = 16, 16 – 5 = 11, 54 – 11 = 43. Otci je nyní         43 let.         Pomocí grafického znázornění můžeme přejít také k algebraickému řešení. Pokud         označíme věk syna jako x a věk otce jako y, můžeme z obrázku zapsat: x + y = 54,         3 (x + 5) = y + 5.         Uvedla jsem pouze ukázku dvou úloh rovnicového charakteru a možnosti jejich         řešení. U každé takové úlohy obvykle existuje možnost využít experimentálního,         aritmetického i algebraického postupu.           Problémy žáků při řešení slovních úloh          Prvním problémem při řešení slovních úloh je důkladné pochopení textu úlohy.         Je důležité, aby žáci rozuměli všem pojmům v zadání. Při řešení úloh se setkává-         me s neschopností žáků číst matematický text s porozuměním. Přestože jednodu-         chá slovní úloha může žákům pomoci najít v matematických operacích smysl,         neschopnost analyzovat matematický text a situaci si představit jim brání v úspěš-         ném řešení. Hejný a Stehlíková (1999) uvádějí: „Schopnost číst s porozuměním         matematický text je bytostně závislá na schopnosti žáka číst s porozuměním běž-         ný text – třeba pohádku. Bez této schopnosti není snaha naučit žáka číst matema-         tický text s porozuměním nadějná“ (s. 39).         Problematické jsou pro žáky slovní úlohy na porovnávání pomocí vztahů „o n větší         než“, „o n menší než“, „nkrát větší než“, „nkrát menší než“. Adetula (1990) uvádí,         že děti se prostřednictvím zkušenosti seznamují s mnoha polarizovanými termí-         ny porovnávání, jako jsou „více“, „méně“, „před“, „po“, „nad“, „pod“, „vyhrát“,         „prohrát“. Žáci mohou mít problém s pochopením významu těchto slov. I v pří-         padě, že slova chápou, mohou mít problémy s interpretací věty, ve které je slovo         použito. Adetula to dává do souvislosti se signálními slovy a antisignály a ukazu-         je to na příkladu dvou zadání: „Které číslo je o tři více než čtyři?“ „O kolik je sedm         více než čtyři?“ (Adetula, 1990: s. 355). Zatímco v prvním případě je slovo „více“         signální slovo a navádí na sčítání 3 + 4, ve druhém případě je slovo „více“ antisig-         nál a hledanou operací je odčítání 7 – 4. Také Lewis a Mayer (1987) ukázali, že         žáci mají větší problémy s úlohami, které nazývají jako nekonzistentní slovní         problém, v nichž je neznámá předmětem druhé věty souvětí a termín vztahu         (např. „více než“) je v konfliktu s operací, nežli s konzistentními slovními pro-         blémy, v nichž je neznámá podmětem druhé věty a termín vztahu je konzistentní         s potřebnou operací.             54            ┼","Také učitelé považují slovní úlohy za náročné a u žáků neoblíbené. Čeští učitelé                poukazují na nízkou čtenářskou gramotnost žáků, na fakt, že žáci velice málo čtou                (Hříbková \& Páchová, 2013). Řešení slovních úloh představuje pro mnoho žáků                problém, možná nejen kvůli nízké čtenářské gramotnosti. Někteří učitelé dokonce                soudí, že častější řešení slovních úloh od 4. ročníku ZŠ vede k tomu, že se mate-                matika stává neoblíbeným předmětem (Hříbková \& Páchová, 2013). Zatímco                v prvních třech ročnících většina žáků uvádí matematiku jako oblíbený předmět,                od 4. ročníku její obliba znatelně klesá.                V případě složených slovních úloh učitelé často soudí, že se je žák nejlépe naučí                řešit tím, že vyřeší velké množství úloh stejné struktury bezprostředně za sebou.                Divíšek upozorňuje na nebezpečí této metody, „že stále prosazovaný a opakovaný                postup žáky zbavuje povinnosti promýšlet situaci popsanou v úloze a uvážlivě                volit pracovní i početní postup. Bezmyšlenkovité procvičování určitého typu vede                sice rychle k vypěstování dovednosti řešit typizované úlohy, ale fakticky zne-                možňuje řešit praktickou reálnou úlohu, která obvykle typizovaná není“ (Divíšek,                1989: s. 137).                  – 2 – 6 – 2   Aritmetické úlohy                 Aritmetická úloha řešitelná již od 1. stupně je úloha typu „myslím si číslo“.                Na 2. stupni se mohou objevovat náročnější aritmetické úlohy, ve kterých jsou                vyjádřeny vztahy mezi čísly.                Úloha typu „myslím si číslo“ je aritmeticky řešitelná s pomocí šipkového diagramu,                často s využitím inverzních operací.                   Příklad 3.  Myslím si číslo. Když jej vydělím třemi a k výsledku přičtu 7, dostanu                            13. Které číslo si myslím?                Vztahy mezi čísly uvedené v zadání znázorníme pomocí šipkového diagramu, jako                na Obr. 14.                                    Obr. 14 Znázornění úlohy pomocí šipkového diagramu                  Při výpočtu budeme postupovat z tohoto znázornění, a to inverzními operacemi:                13 – 7 = 6, 6 ∙ 3 = 18. Hledané číslo je 18. Zkoušku provedeme tak, že budeme                vycházet ze zadaných vztahů: 18 : 3 = 6, 6 + 7 = 13.                Algebraicky je možné úlohu řešit sestavením a řešením rovnice x : 3 – 7 = 13.                                                                                     55                                                                               ┼","Na 2. stupni se žáci mohou setkávat s náročnějšími aritmetickými úlohami, u nichž         není možné jednoduše použít inverzní operace:            Příklad 4.  Třetina neznámého čísla zvětšená o 60 % vzniklého čísla je 8. Jaké                    je neznámé číslo?           Obdobně jako v předchozí úloze budeme postupovat od konce. Jestliže číslo zvětším                                                                8                                                                    5                               8                                                           8 ∶ =                                    8                                                                 8 8 ∙ = 5                                                                      5                                                                8 ∶ = 8 ∙ = 5                                                                    8                                                              5                               5         o 60 %, je výsledkem   tohoto čísla. Potřebuji tedy určit  8 ∶ = 8 ∙ = 5. Číslo 5                                                                 5 5                                                           8 8                            8 8                                                                      8                                                                 5                                  5                                                         8 ∶ = 8 ∙ = 5                                                            5 5                                                                  8 8                            5 5          je třetinou neznámého čísla, výsledkem je tedy číslo 15. Provedeme zkoušku:          ∙ 15 = 5, 1,6 ∙ 5 = 8   .       1        ∙ 15 = 5, 1,6 ∙ 5 = 8         1   1 1 3  3      ∙ 15 = 5, 1,6 ∙ 5 =     ∙ 15 = 5, 1,6 ∙ 5 = 8   8   3 3                                                                    0,6 ∙ = 8   .                                                                                   Úlohu je možné řešit algebraicky sestavením a řešením rovnice  +                                                                     3   + 0,6 ∙ = 8                                                                      3                                                                       3             3                                                             + 0,6 ∙ = 8   8                                                               + 0,6 ∙ =                                                            3 3    3 3         Problémy žáků při řešení aritmetických úloh         Problémy žáků s tímto typem úloh pramení nejčastěji z nezkušenosti. Jestliže se         žáci s těmito úlohami nesetkávají v nižších ročnících a nejsou seznamování s mož-         nostmi aritmetického řešení, mohou mít ve vyšších ročnících problémy s určením         neznámé a sestavením rovnice.         – 2 – 6 – 3   Početní geometrické úlohy         Typů početních geometrických úloh, které jsou řešitelné algebraicky, existuje celá         řada. V zásadě lze ale říci, že se jedná o úlohy, v nichž je potřeba určovat obvody         či obsahy rovinných útvarů, případně povrchy a objemy prostorových těles, nebo         dopočítat například délku některé z úseček. Úlohy z této kategorie jsou velmi         často školsky netypické, a tudíž problémové. Žáci si na nich mohou ověřovat svo-         ji schopnost orientovat se v neznámé situaci a znalosti z geometrie. Pokud není         geometrie zařazována do výuky pravidelně, geometrické znalosti žáků mohou být         nízké. Jestliže nejsou ve výuce řešeny problémové či netradiční úlohy, mohou mít         žáci odmítavý postoj k jiným než typickým úlohám. To jsou dva nejčastější zdro-         je problémů žáků při řešení těchto úloh.         Ve výzkumné části se budu zabývat tím, jaké metody řešení žáci využívají při         řešení úloh rovnicového charakteru. Budou představeny úlohy, které řešili žáci         základní školy. Při vyhodnocování řešení jsem sledovala, jaké strategie žáci pre-         ferovali, zda byli schopni efektivně používat experimentální metody, zda ovládali         korektní aritmetická řešení a zda byli ve vyšších ročnících schopni využít algeb-         raického aparátu. Rovněž jsem pozorovala, zda žáci uváděli zkoušku správnosti         úlohy a odpověď.         56            ┼","VÝZKUMNÁ ČÁST                    – 3 –                  VÝZKUMNÉ ŠETŘENÍ                                        NA 1. STUPNI                                        ZÁKLADNÍ ŠKOLY                        V letech 2012 a 2013 jsme s kolegyněmi z PdF MU ve spolupráci s FSS MU ved-                ly na základních školách matematický kroužek, který byl primárně určen pro                nadané žáky 4. a 5. ročníku. Byly osloveny vybrané školy Jihomoravského kraje.                Podmínkou toho, aby se škola mohla do projektu zapojit, bylo, že na 1. stupni je                alespoň jeden nadaný žák, diagnostikovaný odborným pracovištěm. Tito odborně                identifikovaní žáci navštěvovali kroužek automaticky, možnost zapojit se do krouž-                ku byla rovněž dána dalším žákům. Celkem se do matematického kroužku zapo-                jilo 14 škol a 135 žáků (podrobněji bude specifikováno níže).                Žáci navštěvovali kroužek ve své škole jedenkrát týdně po dobu osmi týdnů.                Celkově bylo zadáno 63 úloh, které se týkaly všech témat školské matematiky                a dále kombinatoriky a teorie grafů. Některé z úloh byly motivační, vycházely ze                základního učiva (pro nenadané žáky, kteří neměli rozvinuté matematické myšle-                ní), jiné úlohy byly školsky netypické.                Školy dostávaly každý týden jeden pracovní list s osmi (jednou se sedmi) úlohami                (Blažková \& Budínová, 2014). Učitelé byli informováni, že by žákům na vypraco-                vání testu měli nechat 45 minut času a během řešení by neměli do průběhu nijak                zasahovat. Žáci měli dostat instrukci od učitele, aby zapisovali postup řešení,                aby uváděli odpověď i zkoušku. Po odevzdání měla proběhnout společná diskuse                zúčastněných žáků a učitele o možných přístupech žáků k řešení a mělo být odha-                leno správné řešení. Učitelé měli vše zapisovat. Jak se později ukázalo, v této                otázce byli někteří učitelé velmi precizní, popisovali způsoby uvažování žáků,                zatímco u jiných bylo patrné, že test se sebral a žádná diskuse neproběhla. Tento                přístup některých učitelů značně komplikoval následnou analýzu úloh. To, zda                diskuse s žáky proběhla či nikoli, jsme poznaly z výsledků testů. Typy úloh se                totiž opakovaly, a když žák udělal v určitém typu úlohy chybu a učitel s ním roze-                bral možnosti správného řešení, žák se ponaučil z chyby a příště se jí už nedopus-                til. Jiní žáci stejné chyby opakovali stále znovu.                                                                                     57                                                                               ┼","Mezi úlohami se pravidelně objevovaly také úlohy rovnicového charakteru různé         náročnosti. Ve výzkumném šetření jsem se zaměřila právě na tyto úlohy.           – 3 – 1  CÍL A VÝZKUMNÉ OTÁZKY          Cílem výzkumného šetření bylo zjistit, v jakých úlohách rovnicového charakteru         budou žáci nadaní  úspěšnější než žáci, kteří jako nadaní nebyli identifikováni, ale                        9         účastnili se výše zmíněného kroužku. Dalším cílem bylo zjistit, zda nadaní žáci         preferují určitý přístup k řešení těchto úloh, zda se u nich projeví nějaké opakující         se fenomény a zda lze nalézt souvislost mezi typem nadání žáka a strategiemi,         které preferuje.         Položila jsem si následující výzkumné otázky:            •  Budou v řešení vybraných úloh nadaní žáci úspěšnější než ostatní?            •  Bude mezi úlohami taková, v níž budou nadaní žáci výrazně úspěšnější než              nenadaní žáci?            •  Které řešitelské strategie budou nadaní žáci preferovat?            •  Lze mezi diagnostikovanými žáky najít zástupce typů nadaných žáků podle              Bettse a Neihartové (2017) (viz oddíl 1.6)? Pokud ano, lze je charakterizovat              tím, jaké přístupy k řešení různých úloh využívají? 10         Dále jsem zpracovala výsledky statisticky a vyslovila jsem následující hypotézu,         vztahující se ke každé úloze zvlášť:         Nadaní žáci budou v řešení dané úlohy statisticky významně úspěšnější než nena-         daní žáci.           – 3 – 2  VÝZKUMNÝ VZOREK          Kroužek zmíněný v úvodu kapitoly probíhal ve dvou bězích, v každém běhu se         účastnily jiné školy a jiní žáci. Celkem se kurzů účastnilo 14 škol, dvě v obou bě-         zích. Prvního běhu se účastnilo celkem 55 žáků a druhého 80 žáků. Jako nadaní         byli označeni ti žáci, kteří byli pedagogicko-psychologickou poradnou diagnosti-         kováni jako nadaní – všeobecně, matematicky, nebo i jinak (viz Tab. 4 a Tab. 5).         V prvním běhu se účastnilo 17 nadaných žáků 4. ročníku a 15 nadaných žáků         5. ročníku. Ve druhém běhu se účastnilo 22 nadaných žáků 4. ročníku a 16 nada-         ných žáků 5. ročníku. Navštěvovat kroužek bylo umožněno i žákům, kteří nebyli         diagnostikováni v PPP, a to na základě jejich zájmu. V dalším textu je budu ozna-         čovat jako nediagnostikované, protože je pravděpodobné, že někteří z nich byli         také nadaní, pouze nebyli identifikováni.            9    Nadanými žáky budu v této části textu označovat ty, kteří byli odborně identifikováni v PPP.         10   Vzhledem k charakteru této výzkumné otázky ji pojednám zvlášť (v oddíle 3.7).          58            ┼","Tab. 4 Školy a nadaní žáci účastnící se prvního běhu                 Škola         Typ školy        Ročník  Počet žáků   Nadání dle PPP                   1           Běžná ZŠ            5         1         Všeobecné                         ZŠ s Daltonským plánem              2         Matematické                   2                               4                         a rozšířenou výukou mat.            1          Jazykové                   3           Běžná ZŠ            5         1         Matematické                   4           Běžná ZŠ            4         1         Matematické                   5           Běžná ZŠ            5         1         Všeobecné                   6     ZŠ s Daltonským plánem    4         1         Mimořádné                   7           Běžná ZŠ            4         1         Matematické                                                   4        11         Všeobecné                   8     ZŠ s třídami pro nadané                                                   5        12         Všeobecné                               Tab. 5 Školy a nadaní žáci účastnící se druhého běhu                  Škola         Typ školy        Ročník  Počet žáků   Nadání dle PPP                   3           Běžná ZŠ            4         1         Matematické                                                   4        10         Všeobecné                   8     ZŠ s třídami pro nadané                                                   5        14         Všeobecné                   9           Běžná ZŠ            4         1         Matematické                                                             1         Všeobecné                                                   4                  10   ZŠ s matematickými třídami            4         Matematické                                                   5         2         Matematické                  11           Běžná ZŠ            4         2         Matematické                  12           Běžná ZŠ            4         1         Všeobecné                  13           Běžná ZŠ            4         1         Všeobecné                  14           Běžná ZŠ            4         1         Matematické                  Počty všech zúčastněných žáků jsou uvedeny v Tab. 6. V jednotlivých týdnech se                počty žáků řešících dané úlohy mohou lišit, neboť někteří žáci byli nemocní nebo                se neúčastnili kroužku v daném týdnu z jiného důvodu.                             Tab. 6 Počty žáků účastnících se matematického kroužku                                        1. běh                       2. běh                            4. ročník  5. ročník  Celkem  4. ročník  5. ročník  Celkem                 Nadaní        17        15       32        22       16        38                 Ostatní       14        9        23        21       21        42                 Celkem        31        24       55        43       37        80                                                                                         59                                                                               ┼","Výsledky jsem zaznamenávala zvlášť pro nadané a ostatní, poté jsem ještě analy-         zovala výsledky matematicky nadaných žáků, neboť matematické nadání by teo-         reticky mělo být nejlepším předpokladem k úspěšnému řešení úloh v matematice.         Rodiče všech žáků, kteří byli zapojeni do výzkumu, podepsali informovaný souhlas         s testováním dítěte a použitím jeho výsledků pro výzkumné záměry.           – 3 – 3  VÝBĚR A CHARAKTERISTIKA ÚLOH          Úlohy, které jsem vybrala pro výzkum, byly rovnicového charakteru. Nyní uvedu         jejich znění a stručnou charakteristiku:            1.  Myslím si číslo. Když je vynásobím 5 a odečtu 25, dostanu 100. Které číslo              si myslím? (Aritmetická úloha vedoucí ke dvojkrokové rovnici.)            2.  Myslím si číslo. Jestliže k němu přičtu 7, tento součet vydělím třemi a nako-              nec vynásobím pěti, dostanu 45. Které číslo si myslím? (Aritmetická úloha              vedoucí k trojkrokové rovnici.)            3.  Roman říká: „Aby mi bylo sto let, musel bych žít ještě devětkrát tak dlouho,              než jsem doposud žil, a ještě 10 roků.“ Kolik je mu roků? (Dynamická slov-              ní úloha.)            4.  Mamince a tatínkovi je dohromady 80 roků. Tatínek je o 4 roky starší než              maminka. Kolik roků je mamince a kolik tatínkovi? (Slovní úloha s dělením              celku na nestejné části.)            5.  Kapr váží 2 kilogramy, a ještě půl kapra. Kolik kilogramů váží celý kapr?              (Problémová úloha.)          První úlohu jsem vybrala z toho důvodu, že jsem předpokládala, že většina žáků         si u řešení vystačí s jednoduchými aritmetickými představami, které vychází         z faktu, že 4 ∙ 25 = 100. Dalo se tedy předpokládat, že značná část žáků bude úlo-         hu řešit pamětně.         Druhá úloha je sice stejného typu jako první úloha, ale žák musí uvažovat ve více         krocích. Proto jsem očekávala, že již nebude tolik žáků, kteří úlohu vyřeší pamět-         ně, a budou tedy muset postupovat například metodou od konce.         Třetí úloha je dynamická úloha se dvěma časovými hladinami (nyní a až mi bude         100 let). Z toho důvodu se dalo očekávat, že úloha bude pro žáky obtížná. Také         aritmetické vztahy v úloze obsažené nejsou zcela triviální.          U čtvrté úlohy jsem očekávala, že budou úspěšní žáci, kteří si dokážou vytvořit         aritmetickou představu. Z toho důvodu jsem si myslela, že by úloha mohla odlišit         nadané žáky od ostatních.         Pátá úloha byla problémová a dalo se očekávat, že bude náročná pro nenadané         i pro nadané žáky. Zajímalo mě, jak v ní uspějí matematicky nadaní žáci, jejichž         matematické představy by měly být na nejvyšší úrovni.          60            ┼","Analýza úloh a priori                1.  Slovní zadání lze přepsat do matematického zápisu 5 ∙ □ – 25 = 100. Poté je                   možné úlohu řešit pamětně například tak, že se na prázdné místo doplňují různá                   čísla a kontroluje se rovnost.                   Úlohu je také možné řešit od konce, pomocí inverzních operací: 100 + 25 = 125,                   125 : 5 = 25.                   Je možné postupovat i algebraicky, sestavením rovnice 5x – 25 = 100. Jedná se                   o rovnici, která by byla řešena ve dvou krocích:                                         5x – 25 = 100 /+25                                              5x = 125 /:5                                               x = 25                   Hledané číslo je tedy 25. Provedeme kontrolu dosazením do zadání: 25 ∙ 5 = 125,                   125 – 25 = 100.                2.  Zadání lze přepsat do matematického zápisu [(□ + 7) : 3] ∙ 5 = 45. Je možné po-                   stupovat aritmeticky. Zaměříme se na číslo 45, které je možné napsat v sou-                   činovém tvaru jako 9 ∙ 5 = 45. V hranaté závorce je tedy číslo 9, které získáme,                   když 27 vydělíme třemi. Neznámé číslo tedy musí být 20. Pro žáky je dovednost                   vnímat čísla v součinovém či součtovém tvaru podstatná a při řešení rovnic                   může usnadňovat výpočty.                   Další aritmetický postup je pomocí metody od konce: 45 : 5 = 9, 9 ∙ 3 = 27,                   27 – 7 = 20.                   Úlohu můžeme řešit i algebraicky sestavením rovnice [(x + 7) : 3] ∙ 5 = 45.                   Pomocí formálních operací by se rovnice řešila ve třech krocích:                                      [(x + 7) : 3] = 45 / : 5                                           (x + 7) = 9 / ∙ 3                                                x = 27 / – 7                   Hledané číslo je 20. Prověříme správnost dosazením do zadání: 20 + 7 = 27,                   27 : 3 = 9, 9 ∙ 5 = 45.                3.  Úlohu je možné přepsat do matematického zápisu 9 ∙ □ + 10 = 100 a úloha je                   řešitelná stejnými metodami jako úloha 1. Velký rozdíl pro žáky ale předsta-                   vuje způsob zadání. Zatímco úloha 1 byla zadána ve formě aritmetické slovní                   úlohy, úloha 3 je dynamická. Žáci se tedy v první řadě musí vyznat v časových                   hladinách, což by mohl být problém, a úloha je proto náročnější než úloha 1.                   Dalším ztěžujícím faktem je použití kondicionálu (nereálné podmínky), který                   je pro žáky daného věku náročný. Kaslová, Fialová, Čížková a Korda (2007)                   uvádí možnost vědomého používání podmínky od 5. ročníku ZŠ a rozlišují                   podmínky reálné (když ano, když ne) a nereálné (kdyby ano, kdyby ne). V úlo-                   ze je použita podmínka nereálná – sta let se dožije velmi málo lidí. Odpověď:                   Romanovi je 10 let.                                                                                       61                                                                               ┼","4.  Jedná se o dělení celku na nestejné části. V zadání je obsažen operátor po-            rovnání, přičemž neznáme věk ani jednoho z rodičů. Tím je úloha pro žáky            1. stupně netypická a náročná. Úlohu je možné řešit tak, že 80 vydělíme dvěma.            Pokud by rodiče byli stejně staří, měli by 40 let. Jestliže tatínek je o 4 roky            starší než maminka, musíme mamince 2 roky ubrat a tatínkovi tyto 2 roky            přidat. Mamince je tedy 38 let a tatínkovi 42.            Úlohu můžeme také řešit pomocí úsečkového modelu, ze kterého vyčteme            aritmetické vztahy:                   Platí: 80 – 4 = 76, 76 : 2 = 38, 38 + 4 = 42. Mamince je 38 let a tatínkovi 42.            Novotná (1997) uvádí, že ze dvou výše zmíněných postupů, tj. 80 : 2 = 40,            40 – 2 = 38, 40 + 2 = 42 a 80 – 4 = 76, 76 : 2 = 38, 38 + 4 = 42, je druhý postup            univerzálněji využitelný, lze jej zobecnit i pro dělení celku na více než dvě            části. První postup je navíc rizikovější z hlediska udělání chyby, kdy žáci in-            klinují k nesprávnému výpočtu 80 : 2 = 40, 40 – 4 = 36, 40 + 4 = 44.            Algebraicky lze úlohu řešit rovnicí x + (x + 4) = 80, kde neznámá x je věk ma-            minky, nebo soustavou rovnic x + y = 80, y = x + 4, kde x značí věk maminky            a y věk tatínka.            Provedeme zkoušku slovní úlohy: 38 + 42 = 80, 42 – 4 = 38.         5.  Jedná se o problémovou úlohu. Úloha je pro žáky 1. stupně netypická tím, že            číslo se v ní vyskytuje jak v roli kvantity (2 kilogramy), tak operátoru (polovi-            na kapra). Kromě toho je zadání netypicky formulováno a vyžaduje jazykový            cit. Úlohu je účelné graficky znázornit, což je možné pomocí vah, nebo pomo-            cí obdélníku jako na Obr. 15. Odtud je také zřejmé, že kapr váží 4 kilogramy.                                        2 kg                         Obr. 15 Grafické znázornění problémové úlohy            U každé z uvedených úloh lze sledovat linii řešitelských strategií experiment →         aritmetické strategie → algebraické strategie. V tomto směru budu rovněž posu-         zovat sofistikovanost použitých strategií. Na matematické znalosti a dovednosti je         nejméně náročná a také nejméně sofistikovaná experimentální strategie, za nejso-         fistikovanější lze považovat algebraické strategie (ovšem za předpokladu, že žák         chápe, co provádí, a nemá jen naučenou sekvenci kroků pro určité typy úloh). Také             62            ┼","v rámci jednotlivých kategorií se sofistikovanost řešení může lišit. Například                u aritmetické metody budu jako sofistikovanější chápat ty strategie, které více                souvisejí se způsobem řešení rovnice, jako jsou šipkové diagramy, postup od kon-                ce či úsečkový diagram, nežli početní postupy, jako je třeba rozklad čísla na součin                (viz úloha 2).                   – 3 – 4  ANALÝZA DAT                 Písemná řešení žáků jsem analyzovala z hlediska použitých metod řešení a chyb,                kterých se žáci dopouštěli. Přitom jsem si všímala i částí řešení, které byly škrt-                nuty, pokud mi poskytly vhled do žákova uvažování. Žáci dostali pokyn, aby za-                psali i postup řešení, nejen výsledky, a většinou tak činili.                Výsledky analýz žákovských řešení jsem dávala do souvislostí s písemnými zá-                znamy učitelů. Jak jsem již uvedla, ne všichni učitelé respektovali pokyn, aby                s žáky diskutovali o jejich metodách řešení. Z 16 zapojených učitelů komentovalo                průběh řešení 7, z toho 2 učitelé podávali záznamy velmi podrobné (popsali osob-                nost každého žáka, jeho projevy při řešení, jak se vyrovnával s tím, že nemůže                objevit řešení, na co se v průběhu řešení ptal, jak reagoval v následné diskusi),                ostatních 5 učitelů poskytovalo výpovědi stručné (např. pouze zapsali, když žák                položil nějakou neočekávanou otázku). Žáci se v pracovním listu vyjadřovali                k náročnosti úloh a v rámci diskuse s učitelem mělo být také rozebráno, které                úlohy se jim jevily náročné a proč.                U každé úlohy jsem sledovala, zda existuje statisticky významný rozdíl mezi vý-                sledky žáků nadaných a nediagnostikovaných. Na hladině významnosti 0,05                byla testována nulová hypotéza H : Úspěch v úloze X a nadání spolu nesouvisí                                             0                proti alternativní hypotéze H : Úspěch v úloze X a nadání spolu souvisí pro žáky                                         1                4. a 5. ročníku zvlášť i pro obě skupiny dohromady. Byl použit chí-kvadrát  testu                                                                               11                nezávislosti. V případě, že nebyly splněny podmínky dobré aproximace, byl pou-                žit Fisherův přesný test.                Žáci u každé úlohy dokreslovali smajlíky podle toho, jak se jim úloha líbila. Obli-                bu úloh dle smajlíku jsem vyhodnocovala, protože ale tyto výsledky nejsou pro                práci podstatné, nebudu se jimi zabývat.                          11   Jedná se o test významnosti, který ověřuje, zda se četnosti, které byly získány měřením                   v pedagogické realitě, odlišují od teoretických četností, které odpovídají dané nulové hy-                   potéze.                                                                                    63                                                                               ┼","– 3 – 5  VÝSLEDKY          Některé výsledky, které uvádím, byly již publikovány časopisecky (Budínová, 2016).          Úloha 1:  Myslím si číslo. Když je vynásobím 5 a odečtu 25, dostanu 100. Které                 číslo si myslím?         Nejčastěji žáci řešili úlohu pomocí zápisu □ ∙ 5 – 25 = 100, kde na prázdnou pozici         doplnili číslo 25, tedy 25 ∙ 5 – 25 = 100. U tohoto řešení není zcela jasné, jak žák         postupoval. Buď mohl volit strategii pokusu a omylu, nebo řešení od konce, které         však nezapsal. Občas se objevilo také explicitně zadané řešení od konce, tj. úvaha         100 + 25 = 125, 125 : 5 = 25.         Úspěšnost žáků v úloze 1 je uvedena v Tab. 7. Přestože počet žáků je v některých         skupinách nízký, úspěšnost je uvedena v procentech, aby mohly být výsledky         rychle porovnány.                                  Tab. 7 Úspěšnost, úloha 1                            Počet žáků                    Úspěšnost                    Celkem   4. ročník  5. ročník  Celkem  4. ročník  5. ročník         Nadaní       28        13        15     22 (79 %)  9 (69 %)  13 (87 %)         Ostatní      20        13        7      17 (85 %) 11 (85 %)  6 (86 %)          Různé strategie řešení, které žáci používali, jsou uvedeny v Tab. 8.                               Tab. 8 Různé strategie řešení, úloha 1                                                  Nadaní          Ostatní                                             4. ročník 5. ročník 4. ročník 5. ročník         Správně, úsudkem se zápisem □ ∙ 5 – 25 = 100  7  3      5       5         Správně, od konce                      0       4        1       1         Správně, s použitím x                  0       1        0       0         Správně, bez uvedení postupu           2       5        5       0         Neřešeno                               2       1        2       1         Chybná úvaha                           2       1        0       0           Z tabulky 8 vidíme, že jednoznačně převažovaly aritmetické strategie řešení. Jeden         nadaný žák 5. ročníku řešil úlohu algebraicky, a to pomocí rovnice 5x – 25 = 100.         To znamená, že se někde (např. při rozhovoru s rodiči nebo při čtení matematické         knihy) setkal s algebraickým řešením a to použil.         Není patrný markantní rozdíl v přístupu k řešení mezi nadanými a ostatními žáky.         Na hladině významnosti 0,05 se nepotvrdil rozdíl mezi výsledky nadaných           64            ┼","a ostatních žáků . Nejsofistikovanější použitou metodou byl postup od konce.                              12                U tohoto postupu můžeme sledovat, že mírně převažují počty nadaných žáků                5. ročníku nad ostatními skupinami.                  Úloha 2:  Myslím si číslo. Jestliže k němu přičtu 7, tento součet vydělím třemi                         a nakonec vynásobím pěti, dostanu 45. Které číslo si myslím?                Souhrnné výsledky úspěšnosti jsou uvedeny v Tab. 9 a použité strategie v Tab. 10.                                          Tab. 9 Úspěšnost, úloha 2                                   Počet žáků                    Úspěšnost                           Celkem  4. ročník 5. ročník  Celkem   4. ročník  5. ročník                  Nadaní     36       21       15     32 (89 %)  17 (81 %)  15 (100 %)                  Ostatní    37       18       19     28 (76 %)  14 (78 %)  14 (74 %)                  Při pohledu do Tab. 9 je patrné, že se mírně liší výsledky nadaných a ostatních                žáků. Rozdíl však není statisticky významný na hladině významnosti 0,05.                                                                                13                  12   Nadaní žáci 4. a 5. ročníku byli při řešení úlohy 1 úspěšní v 78,57 %, ostatní žáci v 85,00 %                   případů. Na hladině významnosti 0,05 testujeme nulovou hypotézu H : „úspěch v úloze 1                                                                      0                   a nadání spolu nesouvisí“ proti alternativní hypotéze H : „úspěch v úloze 1 a nadání spolu                                                           1                   souvisí“. Pearsonův chí-kvadrát = 0,316, p = 0,573. Nulovou hypotézu nezamítáme na hla-                   dině významnosti 0,05.                   Nadaní žáci 4. ročníku byli při řešení úlohy 1 úspěšní v 69,23 %, ostatní žáci v 84,62 %                   případů. Na hladině významnosti 0,05 testujeme nulovou hypotézu H : „úspěch v úloze 1                                                                      0                   a nadání spolu nesouvisí“ proti alternativní hypotéze H : „úspěch v úloze 1 a nadání spolu                                                           1                   souvisí“. Pro testování této hypotézy používáme Fisherův přesný test, protože nejsou spl-                   něny podmínky dobré aproximace. p = 0,645, nulovou hypotézu nezamítáme na hladině                   významnosti 0,05.                   Nadaní žáci 5. ročníku byli při řešení úlohy 1 úspěšní v 86,67 %, ostatní žáci v 85,71 %                   případů. Na hladině významnosti 0,05 testujeme nulovou hypotézu H : „úspěch v úloze 1                                                                      0                   a nadání spolu nesouvisí“ proti alternativní hypotéze H : „úspěch v úloze 1 a nadání spolu                                                           1                   souvisí“. Pro testování této hypotézy používáme Fisherův přesný test, protože nejsou spl-                   něny podmínky dobré aproximace. p = 1,000, nulovou hypotézu nezamítáme na hladině                   významnosti 0,05.                13   Nadaní žáci 4. a 5. ročníku byli při řešení úlohy 2 úspěšní v 88,89 %, ostatní žáci v 75,68 %                   případů. Pearsonův chí-kvadrát = 2,176, p = 0,140. Nulovou hypotézu nezamítáme na hla-                   dině významnosti 0,05.                   Nadaní žáci 4. ročníku byli při řešení úlohy úspěšní v 80,95 %, ostatní žáci v 77,78 %                   případů. Pro testování této hypotézy používáme Fisherův přesný test, protože nejsou spl-                   něny podmínky dobré aproximace. p = 1,000. Nulovou hypotézu nezamítáme na hladině                   významnosti 0,05.                   Nadaní žáci 5. ročníku byli při řešení úlohy 2 úspěšní v 100,00 %, ostatní žáci v 73,68 %                   případů. Pro testování této hypotézy používáme Fisherův přesný test, protože nejsou spl-                   něny podmínky dobré aproximace. p = 0,053. Nulovou hypotézu nezamítáme na hladině                   významnosti 0,05.                                                                                   65                                                                               ┼","Sledovala jsem ještě to, jak byli úspěšní matematicky nadaní žáci. Těch bylo 8         a všichni úlohu řešili správně. Nejčastěji postupovali od konce, v jednom případě         se objevilo také algebraické řešení, a to u nadaného žáka 5. ročníku.                             Tab. 10 Různé strategie řešení, úloha 2                                                 Nadaní           Ostatní                                            4. ročník 5. ročník 4. ročník 5. ročník         Správně, experimentem [(□ + 7) : 3] ∙ 5 = 45  4  1     5        3         Správně, od konce 45 : 5, 9 ∙ 3, 27 – 7  7    12       6        8         Správně, přes x                       0        1       0        0         Správně, bez popisu                   6        1       3        3         Chybně                                4        0       4        5          Nejčastějším postupem byl postup od konce (Obr. 16), který lze zde vnímat jako nej-         sofistikovanější aritmetickou metodu. Nejčastěji ho používali nadaní žáci 5. ročníku.                      Obr. 16 Žák postupuje od konce. Matematicky nadaný žák 4. ročníku, ZŠ           Často se také objevoval výsledek bez zapsání postupu a experimentální řešení, v němž         žák hledal číslo, které bude splňovat požadované aritmetické vztahy. V tomto případě         však není průkazné, jak žák vlastně postupoval. Mohlo to být metodou pokusu         a omylu, kdy za neznámé číslo žák postupně dosazoval, či postupem od konce, který         však nebyl zapsán. Jednotlivé možnosti se podstatně liší svojí sofistikovaností.         Na Obr. 17 vidíme řešení experimentem – žák si nechal volnou pozici, do které         doplnil číslo. Lze si všimnout, že zápis neobsahuje závorky, ale žák postupuje tak,         jako by tam byly.                   Obr. 17 Žák postupuje experimentálně. Nediagnostikovaný žák 4. ročníku, ZŠ          Žáci také často používali postup od konce. V mnoha případech přitom využívali         implikační zápis. Na Obr. 18 je ukázka chyby, které se někteří žáci dopustili. Žák         použil „obrácený způsob“, jak uvádí, aplikoval tedy inverzní operace, ale u posled-         ní operace vyměnil odčítání za sčítání.          66            ┼","Obr. 18 Úloha řešená od konce s chybně volenou operací, implikační zápis.                                   Všeobecně nadaný žák 4. ročníku, ZŠ                 Jeden nadaný žák 5. ročníku řešil úlohu algebraicky, pomocí rovnice. Na Obr. 19                vidíme, že provedl všechny operace v jednom kroku. Je otázkou, zda neměl pouze                štěstí, když se dopracoval ke správnému výsledku. Ze zápisu například není prů-                kazné, zda zvažoval přednost jednotlivých operací, protože zápis opět neobsahuje                závorky.                                 Obr. 19 Algebraické řešení úlohy s nekorektním zápisem.                            Všeobecně nadaný žák 5. ročníku, ZŠ, třída pro nadané                  Úloha 3:  Roman říká: „Aby mi bylo sto let, musel bych žít ještě devětkrát tak dlou-                         ho, než jsem doposud žil, a ještě 10 roků.“ Kolik je mu roků?                 Někteří žáci měli problém uchopit dvě časové hladiny, což byl jeden z důvodů                snížení úspěšnosti jinak jednoduchého matematického příběhu.                                         Tab. 11 Úspěšnost, úloha 3                                    Počet žáků                    Úspěšnost                           Celkem   4. ročník  5. ročník  Celkem  4. ročník  5. ročník                  Nadaní     32        17       15     17 (53 %)  8 (47 %)  9 (60 %)                  Ostatní    20        14        6     11 (55 %)  10 (71 %)  1 (17 %)                  Na to, abych mohla činit zásadní závěry, je počet žáků malý. Přesto si lze všimnout                skutečnosti, že nejúspěšnější byli v řešení této úlohy nenadaní žáci 4. ročníku.                U této úlohy nepomohlo, že žáci 5. ročníku již ovládají širší spektrum matematic-                kých poznatků. Schopnost vyřešit matematickou úlohu nesouvisí pouze s matema-                                                                                    67                                                                               ┼","tickými poznatky, ale také například se schopností či ochotou začít hledat řešení         úlohy, která je pro žáka zcela neznámá.          Nadaní žáci nebyli v této úloze úspěšnější než ostatní žáci, ani v případě 5. roční-         ku nebyl rozdíl statisticky významný.  Mezi nadanými žáky bylo 7 dětí matema-                                        14         ticky nadaných, z nichž 5 dětí řešilo úlohu správně.         Nejčastěji jsem se setkávala s chybným řešením vycházejícím z nesprávné úvahy         (žáci použili aritmetické operace se zadanými čísly, ale volba operací nebyla         správná). Nejsofistikovanější aritmetickou metodou je v případě této úlohy opět         postup od konce, který použili pouze nadaní žáci (Tab. 12).                            Tab. 12 Různé strategie řešení, úloha 3                                                  Nadaní           Ostatní                                            4. ročník 5. ročník 4. ročník 5. ročník         Správně, experimentem 9 ∙ 10 + 10 = 100  3     3       6        0         Správně, od konce                     2        3       0        0         Správně, bez postupu                  3        3       4        1         Numerická chyba                       0        0       0        1         Neřešeno                              1        2       0        0         Chybně                                8        4       4        4           V případě správných řešení byla nejčastější úvaha 9 ∙ 10 = 90, 90 + 10 = 100, ke které         může vést strategie pokusu a omylu, ale také vhled, či řešení od konce (100 – 10 = 90,         90 : 9 = 10). Na Obr. 20 vidíme použití strategie od konce, můžeme sledovat im-         plikační zápis, kdy je pro žákyni symbol „=“ jen pokynem k počítání, nechápe jej         jako znak pro rovnost (10 ∙ 9 na levé straně není rovno 100 na pravé straně).                                   Obr. 20 Postup od konce s implikačním zápisem.                          Nediagnostikovaná žákyně 5. ročníku, ZŠ           14   Nadaní žáci 4. a 5. ročníku byli při řešení úlohy 3 úspěšní v 53,13 %, ostatní žáci v 55,00 %            případů. Pearsonův chí-kvadrát = 0,174, p = 0,895.            Nadaní žáci 4. ročníku byli při řešení úlohy 3 úspěšní v 47,06 %, ostatní žáci v 71,43 %            případů. Pearsonův chí-kvadrát = 1,872, p = 0,171.            Nadaní žáci 5. ročníku byli při řešení úlohy 3 úspěšní v 60,00 %, ostatní žáci v 16,67 %            případů. Pro testování této hypotézy používáme Fisherův přesný test, protože nejsou spl-            něny podmínky dobré aproximace. p = 0,149.          68            ┼","Na Obr. 21 je uvedeno slovně popsané řešení od konce, které uvedl matematicky                nadaný žák. Můžeme vidět pravopisnou chybu ve slově „vydělíme“. Někteří žáci                opakovaně chybovali v předponách vy- a vý-, ale i v dalších pravidlech českého                pravopisu.                           Obr. 21 Slovně popsaný postup od konce. Matematicky nadaný žák 5. ročníku, ZŠ                  Na Obr. 22 je ukázán postup mimořádně nadaného žáka, který při rozhovoru                s učitelkou řekl, že z matematiky má nejraději příklady na „krát a děleno“. I v tom-                to případě vidíme, že uplatňuje nejdříve dělení a poté sčítání, avšak ne správně.                Výsledek nezkontroloval zkouškou. V zápise opět můžeme sledovat chápání                symbolu „=“ jakožto pokynu k počítání, žák jej nechápe jako znak pro rovnost                (100 : 9 není rovno 21). V tomto případě se jedná o aritmetické řešení bez vytvo-                ření aritmetické představy.                                  Obr. 22 Žák bere čísla ze zadání a provádí s nimi aritmetické operace.                          Mimořádně nadaný žák 4. ročníku, ZŠ s Daltonským plánem                  Úloha 4:  Mamince a tatínkovi je dohromady 80 roků. Tatínek je o 4 roky starší                         než maminka. Kolik roků je mamince a kolik tatínkovi?                 Úspěšnost úlohy 4 je uvedena v Tab. 13.                                         Tab. 13 Úspěšnost, úloha 4                                   Počet žáků                    Úspěšnost                           Celkem  4. ročník 5. ročník  Celkem   4. ročník  5. ročník                  Nadaní     37       21       16     33 (89 %)  17 (81 %)  16 (100 %)                  Ostatní    42       21       21     18 (43 %)  9 (43 %)   9 (43 %)                                                                                     69                                                                               ┼","Úloha 4 byla jediná z úloh, u níž se statisticky potvrdil rozdíl mezi výsledky na-         daných a ostatních žáků. Na hladině významnosti 0,05 byla zamítnuta nulová         hypotéza jak pro všechny žáky dohromady (Pearsonův chí-kvadrát 6,461538,         p = 0,00002), tak pro žáky 4. ročníku (Pearsonův chí-kvadrát 18,45495, p = 0,01102)         a 5. ročníku (Pearsonův chí-kvadrát 13,53143, p = 0,00023). Nadaní žáci obou         ročníků jsou tedy statisticky významně úspěšnější v úloze 4 než ostatní žáci.         Mezi nadanými žáky 4. i 5. ročníku bylo 8 žáků matematicky nadaných. Zkontro-         lovala jsem i jejich výsledky a všichni úlohu řešili správně. U těchto žáků převa-         žovalo sofistikovanějšá řešení výpočtem.         V této úloze mnoho žáků neuvedlo postup řešení, a to zejména žáci 4. ročníku.         Neuvedený postup může mít v podstatě tři vysvětlení:            a)  žák řešil experimentálně metodou pokusu a omylu;            b)  žák si výpočet zapisoval stranou a do pracovního listu napsal jen výsledek;            c)  žák vyřešil úlohu zpaměti.         Mnoho nediagnostikovaných žáků (platí to zejména pro žáky 5. ročníku) uvedlo         nesprávný postup, kdy 80 vydělili dvěma a pak od 40 jednou odečetli 4 a podruhé         přičetli 4. Dostali pak výsledek 36 a 44, jak ukazuje Obr. 23. Pokud žáci nepro-         vedli zkoušku splnění podmínek slovní úlohy, nebo provedli jen zkoušku jedné         z podmínek, a to 36 + 44 = 80, nepoznali, že výsledek není správný.                                          Obr. 23 Řešení s chybou v úvaze.                    Nediagnostikovaný žák 5. ročníku, ZŠ, matematická třída           V případě správného řešení se objevily dvě možnosti výpočtu:              1) 80 : 2 = 40, 40 – 2 = 38, 40 + 2 = 42,              2) 80 – 4 = 76, 76 : 2 = 38, 38 + 4 = 42.         Řešení jsou ukázána na Obr. 24.                    70            ┼","Obr. 24 Dva způsoby správného řešení úlohy 4.                         Nahoře matematicky a jazykově nadaná žákyně 4. ročníku, ZŠ.                          Dole neidentifikovaný žák 5. ročníku, ZŠ, matematická třída                   Někdy žáci zvolili zcela nesprávnou úvahu. Jeden z případů je demonstrován                na Obr. 25. Žák neprovedl zkoušku a nezkontroloval, zda je skutečně možné, aby                mamince bylo 72 let a tatínkovi 76 let.                                             Obr. 25 Úloha vyřešená pomocí nesprávné úvahy.                          Nediagnostikovaná žákyně 4. ročníku, ZŠ, matematická třída                  Různé strategie řešení jsou uvedeny v Tab. 14.                                                                                            71                                                                               ┼","Tab. 14 Různé strategie řešení, úloha 4                                             Nadaní              Ostatní                                        4. ročník  5. ročník  4. ročník  5. ročník         Správně, výpočtem 80 : 2 = 40,    4         7         2        3         40 – 2, 40 + 2         Správně, výpočtem (80 – 4) : 2 = 38  2      4         1        4         Správně, bez postupu              11        5         6        2         Chybně: 36 a 44                   1         0         5        10         Chybně                            1         0         7        2         Neřešeno                          2         0         0        0           Úloha poměrně dobře odlišuje nadané děti od ostatních. Zatímco někteří nadaní         v následném rozhovoru s učitelem uvedli, že úloha pro ně byla velmi jednoduchá,         mnoho nediagnostikovaných dětí se v zadání ztrácelo. V tabulce můžeme zejména         vidět, že mnoho těchto dětí si neuvědomilo, že když dělí dvěma součet let (80 : 2),         musí také vydělit dvěma rozdíl let (4 : 2).           Úloha 5: Kapr váží 2 kilogramy, a ještě půl kapra. Kolik kilogramů váží celý kapr?           Uvedená úloha se řadí do problémových úloh. Úloha byla pro mnoho žáků nároč-         ná, nedokázali najít aritmetickou představu, která by jim v řešení pomohla. Jak už         bylo uvedeno výše, netypické je pro žáky 1. stupně zejména to, že zde najdeme         číslo ve formě kvantity (2 kilogramy) a číslo jakožto operátor (polovina kapra).         Dále je zadání popsáno pro žáky netypickým jazykem. Patrně z tohoto důvodu         několik žáků (a to i nadaných) napsalo, že je úloha nejasně zadaná.         Celkové výsledky úspěšnosti jsou uvedeny v Tab. 15.                                  Tab. 15 Úspěšnost, úloha 5                           Počet žáků                    Úspěšnost                    Celkem  4. ročník 5. ročník  Celkem   4. ročník  5. ročník           Nadaní     27       12       15     7 (26 %)   3 (25 %)   4 (27 %)           Ostatní    20       11       9      2 (10 %)   1 (9 %)    1 (11 %)           Žáci měli největší problém zvolit základ, ze kterého určují polovinu. Nejčastěji se         z tohoto důvodu objevovala nesprávná úvaha: celý kapr váží 2 kg, polovina kapra         tedy váží 1 kg a dohromady jsou to 3 kg. Postup je demonstrován na Obr. 26.               72            ┼","Obr. 26 Řešení úlohy nesprávnou úvahou.                          Všeobecně nadaná žákyně 5. ročníku, ZŠ, třída pro nadané                  Často se objevovaly i jiné chybné výsledky, ale u nich lze těžko odhadovat, jak                k nim žáci dospěli. Když byl uveden například výsledek 68 kg, vypadalo to spíše                na recesi.                 Několik žáků bylo schopno ke správnému výsledku dospět úvahou, jak je znázor-                něno na Obr. 27.                                          Obr. 27 Správně vyřešená úloha se slovním popisem úvahy.                          Všeobecně nadaná žákyně 5. ročníku, ZŠ, třída pro nadané                  Dva žáci se k výsledku dopracovali tak, že si znázornili rovnoramennou váhu                (Obr. 28). Z nízkého počtu žáků využívajících obrázek vyplývá, že žáci nejsou                zvyklí používat ve svých řešeních grafická znázornění, která by jim mohla pomo-                ci se v úloze orientovat.                                                                                              73                                                                               ┼","Obr. 28 Správné řešení se znázorněním pomocí vah.                          Všeobecně nadaná žákyně 5. ročníku, ZŠ           Použité strategie řešení jsou uvedeny v Tab. 16.                             Tab. 16 Různé strategie řešení, úloha 5                                        Nadaní                 Ostatní                                  4. ročník   5. ročník  4. ročník  5. ročník         Správně, úvahou             2           2          0          1         Správně, váhy               0           1          1          0         Správně, bez postupu        0           1          0          0         Chybně: 3 kg                5           7          6          2         Chybně                      3           4          3          5         Neřešeno                    1           0          1          1            Úspěšnost řešení byla nízká jak u žáků nenadaných, tak u žáků nadaných; ani         matematicky nadaní žáci, kterých bylo 5, nebyli příliš úspěšní – pouze dva z nich         dokázali úlohu správně řešit. Z toho důvodu jsem neprováděla statistické výpočty.         Úloha je pro žáky 1. stupně základní školy svým charakterem náročná.            – 3 – 6  DISKUSE A ZÁVĚRY          Nyní je možné odpovědět na výzkumné otázky, které jsem si položila. První vý-         zkumná otázka zjišťovala, zda budou nadaní žáci při řešení vybraných úloh úspěš-         nější než ostatní žáci. Obecně nelze tvrdit, že u vybraných úloh by nadaní žáci byli         při řešení úspěšnější než ostatní žáci. To může být samozřejmě dáno malým         vzorkem zkoumaných žáků, ale spíše se domnívám, že tento závěr skutečně odrá-         ží realitu. Nadaní a bystří žáci se od sebe svými výkony v matematice nemusí            74            ┼","příliš lišit. Nadaní žáci, zejména pak matematicky nadaní, častěji používají sofis-                tikovanější metody řešení, avšak nejsou neomylní, dopouští se chyb logických                i početních.                Druhá otázka se zaměřovala na jednotlivé úlohy a zjišťovala, zda mezi nimi bude                taková, v níž budou nadaní žáci výrazně úspěšnější než nediagnostikovaní žáci.                Viděli jsme, že u některých úloh byly výsledky nadaných a ostatních žáků srov-                natelné, v některých dokonce ostatní žáci dopadli lépe. Nejvíce odlišovaly nadané                a ostatní žáky úlohy 2 a 4. Statisticky významný byl rozdíl pouze u úlohy 4.                Úloha 2 je aritmetická úloha, vedoucí k tříkrokové rovnici. Domnívám se, že prá-                vě tři kroky vedou k tomu, že pro žáky je náročnější řešit úlohu zcela pamětně.                Nejčastěji žáci využívali sofistikovanou metodu řešení od konce. Úloha 4 je slov-                ní úloha a k úspěšnému řešení je potřebná správná aritmetická představa. Pokud                tuto představu žák nemá, nepřijde na to, jaké aritmetické operace má použít.                Takové chyby v úvaze se častěji dopustili nediagnostikovaní žáci. Nadaní žáci                nejčastěji použili buď jednu z uvedených výpočtových metod, nebo zapsali výsle-                dek bez postupu, což může korespondovat s pamětným řešením.                Poslední otázka se ptala, které řešitelské strategie budou nadaní žáci preferovat.                Vybraná strategie závisela na typu úlohy. U jednoduchých úloh převažovalo expe-                rimentální pamětní řešení, kdy žák zkoušel dosazovat různá čísla a kontroloval                uvedené vztahy. V případě úlohy 2 byl často využívaným řešením postup od                konce, v případě úlohy 4 aritmetické výpočty. U nejnáročnějších úloh, což byly                úlohy 3 a 5, se mnoho žáků nepokusilo o řešení, případně neúspěšně experimen-                tovalo. Úloha 3 je dynamická úloha. Někteří žáci měli problém uchopit dvě časové                hladiny, což byl jeden z důvodů snížení úspěšnosti. To koresponduje se závěry                Hejného (2003), podle nějž jsou kvůli uchopování časových hladin dynamické                úlohy pro žáky náročnější než statické úlohy. Úloha 5 je netypická problémová                úloha. Pro žáky byl mnohdy problém vůbec pochopit zadání úlohy, které je for-                mulováno nezvyklým způsobem. U této úlohy byli úspěšnější žáci, kteří si situaci                dokázali zakreslit, ale těch mnoho nebylo.                V případě úloh 3 a 5 vzrostlo procento žáků, kteří se řešení nepokusili hledat.                Pokud se na základní škole učí převážně standardní úlohy, pak mohou mít žáci pro-                blémy s řešením problémových úloh. Někteří žáci potom vyžadují pro každou úlohu                znalost algoritmu. V úloze se snaží známý algoritmus aplikovat, a pokud ho nena-                jdou, úlohu opustí bez řešení nebo ji „nějak“ vyřeší, bez ohledu na smysl úlohy.                 V různých případech jsem se setkávala s nezvládnutou gramatikou zápisu. Jedna-                lo se nejčastěji o používání zkrácených implikačních zápisů a nepoužívání závo-                rek, jestliže mělo mít sčítání přednost před násobením. Zkrácený implikační zápis                většinou nebývá vnímán jako závažná chyba, spíše jako pomocný zápis, ve kterém                se žák vyzná. Kuřina (1989) tuto chybu označuje jako syntaktickou chybu a uvádí,                že je pro žáky přirozená. „Žák úlohu postupně řeší, zapisuje dílčí výsledky a na ně                navazuje dalším postupem“ (Kuřina, 1989: s. 32). Tento zápis je však matematicky                                                                                      75                                                                               ┼","nesprávný, protože je porušena tranzitivita relace rovnosti. Řešiteli může zápis         dávat smysl, neboť řešitel rovnítko chápe jako implikaci. Je nutné si ale uvědomit,         že pokud se žák naučí vnímat symbol „=“ jako jednosměrnou šipku ⇒, může         mít problémy v rovnicových zápisech, kde je neznámá na obou stranách rovnice,         a nelze tedy postupovat zleva doprava.         V testování se projevilo, že žáci neumí používat závorky. Stejnou zkušenost zís-         kala Žalská (2015) ve svém výzkumu, kde se projevily problémy žáků s aktivním         používáním závorek (tedy použitím závorky jako symbolu pro celistvý algebraic-         ký nebo aritmetický objekt), v menší míře i s pasivním používáním závorek         (tj. interpretací závorek a jejich významu v aritmetické a algebraické syntaxi         při aplikaci distributivního zákona a pořadí operací). Potíž měli žáci s pořadím         operací, kdy nezřídka postupovali zleva doprava a sčítali před násobením (např.         6 + 3 (2 + 1) = 9 (2 + 1)). Nevyužívání závorek žákům na 2. stupni způsobuje pro-         blémy také v algebře, když už není možné provést naznačené operace a je například         nutné roznásobit závorku.         Několik nadaných žáků využívalo algebraické zápisy. Často bylo patrné, že tito         žáci si umí správně označit neznámou a sestavit rovnici, problémy měli obvykle         jen s gramatikou zápisu (jak bylo již uvedeno, např. nepoužívali závorky). Rogers         a Novotná (2003) uvádí čtyři stupně přechodu od aritmetického k algebraickému         způsobu využívání písmen v písemném záznamu zadaných informací:         1)  Řešitel používá jedno písmeno k označení více neznámých, písmeno je pro něj            označení jakékoli obecné neznámé.         2)  Řešitel používá jedno nebo více písmen ve fázi kódování textu, ale nepracuje            s nimi ve fázi transformace, neznámá je použita pouze jako označení něčeho,            co se má hledat. Řešení je aritmetické.         3)  Řešitel vědomě používá písmena pro označování hledaných hodnot a pro popis            zadaných vztahů, avšak stále jsou pro něj důležité aritmetické modely, proto je            použito aritmetické řešení.         4)  Řešitel používá písmena k označení hodnot, uplatňuje algebraické operace.            V tomto případě jsou splněny podmínky pro správné používání algebraických            metod.         Jestliže žák 1. stupně používá písmena k řešení problému, není zcela jisté, na kte-         rém stupni přechodu od aritmetického k algebraickému způsobu využívání písmen         se nachází. Pokud se jedná o umělé urychlení poznávacího procesu (např. žák         zápisu nerozumí, ale líbí se mu, že ho používá mezi vrstevníky pouze on), vzniká         riziko upevnění nesprávných představ o algebraických metodách. Zejména se         jedná o přednost operací a používání závorek.         Závěrem zmíním, že žáci neprováděli zkoušku správnosti svých výpočtů. Z toho         důvodu mnohdy neodhalili chybu, které se dopustili. Leckdy si žáci nevšimli ani         výsledku, který byl v kontextu zadání nesmyslný.            76            ┼","– 3 – 7  TYPY NADANÝCH ŽÁKŮ A JEJICH PŘÍSTUPY                          K ŘEŠENÍ ÚLOH                 Jak bylo uvedeno výše, Betts a Neihart (2017) určili v roce 1988 šest profilů nada-                ných dětí, které se od sebe liší školními projevy a výkony: úspěšné děti, autonomní                děti, skrývači nadání, defenzivní odpadlíci, provokatéři, děti s dvojí výjimečností.                Kategorie se mezi sebou mírně prolínají a, jak uvidíme na případových studiích,                není vždy jednoduché žáka zařadit do konkrétního profilu. Poslední výzkumná                otázka se týkala identifikace zástupců těchto typů ve výzkumném vzorku žáků                navštěvujících výše zmíněný kroužek a charakteristiky jejich přístupů k řešení.                  – 3 – 7 – 1   Identifikace zástupců jednotlivých profilů                 Analyzovala jsem řešení všech žáků (diagnostikovaných i nediagnostikovaných)                z výše uvedeného výzkumu, a to u všech úloh, nejen úloh rovnicového charakteru.                Mezi žáky byli takoví, kteří mě téměř od začátku zaujali tím, že se něčím zásadně                lišili od ostatních žáků. Jejich výkony v pracovních listech byly v určitém aspektu                výjimečné a nezvyklé. Také z výpovědí učitelů (u všech vybraných žáků učitelé                poskytovali komentáře) bylo patrné, že se jedná o jedinečné žáky.                Poté, co proběhl kroužek na školách, jsme na Pedagogické fakultě MU pořádali                kurz pro mimořádně nadané, kterého se mohli účastnit vybraní žáci, kteří vyplňo-                vali pracovní listy. Pokusila jsem se všechny tyto nevšední žáky do kurzu zapojit.                Někteří z nich se kurzu opravdu účastnili, a měla jsem proto možnost je poznat                i osobně a dlouhodoběji je pozorovat. Někteří bohužel zájem neměli a kurzu se                neúčastnili.                Z šesti profilů Bettse a Neihartové jsem mezi těmito žáky objevila tři až pět pro-                filů (pokusím se ukázat, že zařazování žáků není jednoznačné). Poslední žákyni                uvádím jako příklad nadané žákyně, která má podprůměrné matematické schop-                nosti. Z tohoto důvodu z hlediska matematiky nespadá ani do jednoho profilu,                přesto se jedná o inspirativní ukázku toho, jak různorodé jsou projevy nadání.                Uvedená jména žáků jsou smyšlená.                  – 3 – 7 – 2   Mini-případové studie                 LUCKA, 5. ročník, bez absolvování odborné identifikace nadání v PPP                Lucka ani její rodiče neměli zájem o testování nadání v pedagogicko-psychologic-                ké poradně. Kurzu se účastnila kvůli zájmu o matematiku. V pracovních listech                vyřešila největší počet úloh ze všech žáků, a to 59 z 63, tedy 94 % úloh. Na zákla-                dě toho a lehkosti, s jakou řešila všechny typy úloh, soudím, že se jednalo o žáky-                ni s matematickým nadáním. Přestože jsme rodiče Lucky kontaktovali a doporu-                čili jim odbornou identifikaci, neměli zájem.                                                                                     77                                                                               ┼","Lucka byla specifická například tím, že si dokázala velmi účinně uspořádat data.         Na Obr. 29 vidíme ukázku úlohy, v níž selhalo velké procento žáků. Lucka si pře-         hledně zapsala všechny informace a úlohu zpaměti vyřešila. To poukazuje na         schopnost analýzy.                                           Obr. 29 Přehledné řešení náročné úlohy           Obdobně na Obr. 30 vidíme efektivní řešení úlohy kombinatorického rázu, u níž         je právě uspořádání informací podstatné.                                     Obr. 30 S nadhledem řešená kombinatorická úloha           Úlohy, které se mnoha jiným žákům jevily jako neřešitelné, řešila Lucka většinou         zpaměti, což nejpravděpodobněji ukazuje na experimentální metodu založenou         na dobrých aritmetických představách (Obr. 31).                             Obr. 31 Pamětní řešení náročné úlohy – nejspíše experimentální           78            ┼","Rovněž následující úlohu (Obr. 32) vyřešilo správně velmi málo žáků. Zde se se-                tkáváme se zkráceným implikačním zápisem: 5 ∙ 10 = 50 – 4 = 46.                                                        Obr. 32 Řešení jedné z náročnějších úloh                  V případě úlohy náročné na trpělivost a cílevědomost, v níž mnoho žáků selhalo                kvůli neschopnosti vytrvat v hledání všech řešení, se Lucka projevila jako velmi                houževnatá řešitelka a našla správné řešení. Můžeme si všimnout, že v úloze                na Obr. 33 nepostupovala analyticky, jak by mohla (v celou hodinu je celkem                66 úderů, mezitím je vždy 6 úderů, to nastane jedenáctkrát, celkem tedy 132 úde-                rů), ale vypisovala postupně, kolik úderů se ozve každou hodinu.                                                         Obr. 33 Postupné a trpělivé hledání výsledku                                                                                       79                                                                               ┼","Velmi náročná byla pro většinu žáků úloha na Obr. 34. Lze sledovat, že Lucka         hledá vztahy mezi jednotlivými veličinami, postupuje experimentálně.                                                 Obr. 34 Experimentálně řešená úloha           Lucka často využívala k řešení grafického znázornění. Na Obr. 35 je řešení pro-         blémové úlohy, která, jak bylo ukázáno výše, byla pro drtivou většinu žáků nejas-         ná, protože nechápali vztahy mezi jednotlivými čísly.                                             Obr. 35 Elegantní řešení problémové úlohy                         80            ┼","Také úlohu na Obr. 36 se Lucka rozhodla řešit aritmeticky s grafickým znázorně-                ním.                                                            Obr. 36 Grafické řešení úlohy                  Když se podíváme globálně na přístupy Lucky k řešení úloh, můžeme sledovat                následující fenomény:                   •  Byla schopna zapsat zadání úlohy srozumitelně a přehledně, což jí pomá-                      halo v následných úvahách.                   •  U některých náročnějších úloh přehledně rozepisovala zadané údaje (jako                      na Obr. 29), což může korespondovat se schopností analýzy.                   •  Velmi často volila k řešení řízenou experimentální strategii.                   •  Mnoho úloh, a to i těch náročnějších, byla schopna řešit pamětně, což může                      souviset s rozvinutými aritmetickými představami.                   •  V případě některých úloh volila grafické řešení, což jí dopomáhalo ke správ-                      nému výsledku.                   •  U pracných a časově náročných úloh byla ochotna systematicky hledat ře-                      šení.                   •  Téměř se nedopouštěla numerických chyb.                Lucku bych zařadila do profilů „úspěšné děti“ (oblíbené u učitelů, obdivované                spolužáky i rodiči, mají excelentní výsledky ve škole) nebo „autonomní děti“                (obdivované pro své schopnosti, mají dobré sebevědomí, vysokou vnitřní motiva-                ci). Lucčini rodiče bohužel neměli zájem, aby se účastnila kurzu pro mimořádně                nadané, neměla jsem tedy možnost ji poznat osobně a upřesnit si obrázek o ní.                                                                                           81                                                                               ┼","VAŠEK, 5. ročník, všeobecné nadání         Vašek byl pedagogicko-psychologickou poradnou identifikován jako všeobecně         nadaný. Paní učitelka o něm říkala, že je to „třídní šašek“. Když měl plnit úkoly,         často začal raději vyrušovat nebo se předvádět. Dával najevo svoji rozladěnost,         když se mu nedařilo najít způsob výpočtu nebo výsledek. Několikrát se stalo, že         odmítl nabízený papír na pomocné výpočty a pak si jimi popsal celou levou paži.         Býval roztěkaný, někdy si nepřečetl správně zadání.         V našich pracovních listech dokázal správně vyřešit 51 z 63 úloh (84 %). Zajímavé         bylo, že pomocí smajlíků u většiny úlohy vyjádřil to, že se mu úloha nelíbila.         Všimla jsem si, že nejčastěji „šklebáka“ nakreslil u „počítacích“ úloh. „Usměváč-         ka“ naopak nejčastěji nakreslil u geometrických úloh, ale pouze v případě, že ne-         musel nic kreslit nebo rýsovat. Líbily se mu také úlohy typu „výměnný obchod“ .                                                                            15         Jeho přístupy k řešení nyní konkrétně demonstruji.         Úprava Vaškových řešení byla velmi často neúhledná, jak můžeme vidět na ukáz-         ce z Obr. 37. Často škrtal, nepsal na řádek, psal různě velké číslice, někdy vyměnil         psací potřebu v průběhu zápisu jedné úlohy.                                           Obr. 37 Vaškův neúhledný zápis řešení úlohy          Vašek často používal experimentální metodu, a to spíše neekonomickým způsobem.         Byl schopen vypsat všechny možnosti, aniž by sledoval jakékoli zákonitosti, které         by mu pomohly urychlit hledání řešení. Všechny možnosti vypisoval na volný papír,         případně na levou paži. Na Obr. 38 uvádí, že zkoušel „všechny čísla“. Skutečně,         k pracovnímu listu byl přiložen papír A4, který byl celý hustě popsán různými         možnostmi součtů a rozdílů dvou trojciferných čísel (např. 700 + 300 = 1 000, 700         – 300 = 400, 701 + 299 = 1 000, 701 – 299 = 398 atd.). Není divu, že se mu úloha         nelíbila. Vzhledem k tomu, že jsem Vaška poznala osobně a vím, jak byl bystrý         při řešení matematických úloh, není mi jasné, proč zde postupoval tak mechanicky.            15   Jednalo se o úlohy typu: Jedno pero stojí dvě tužky a jedna tužka stojí tři gumy. Za kolik            gum lze vyměnit dvě pera?          82            ┼","Obr. 38 Ukázka úlohy řešené neřízeným experimentem                  Na Obr. 39 vidíme další ukázku Vaškova neúhledného a neekonomického zápisu,                ve kterém řeší kombinatorickou úlohu.                                                    Obr. 39 Zápisy měl neekonomické, neúhledné                 V některých případech se Vaškovi přece jen podařilo najít určitou zákonitost, jako                je tomu v případě na Obr. 40. Nejdříve zvolil experimentální metodu a opět dosti                svébytný způsob zápisu, kdy sčítal počet roků a příslušný počet měsíců. Pokračo-                val stále dál, když si všiml, že pro počet roků 4 u Marka je celkový počet roků 52,                což je polovina oproti zadání. Tím, že se mu podařilo odhalit určitou zákonitost,                se mu úloha zřejmě zalíbila, což ohodnotil „usměváčkem“.                                              Obr. 40 Úloha řešená řízeným experimentem                                                                                    83                                                                               ┼","Občas se stalo, že během zdlouhavého experimentování udělal Vašek numerickou         chybu a nenašel správné řešení, jako např. na Obr. 41. Chybu najdeme hned ve         druhém sloupci a pátém řádku, Vašek tudíž nemohl objevit správné řešení.                                          Obr. 41 Experiment s numerickou chybou           Úlohy, které byly řešitelné algebraicky, byl Vašek v jednodušších případech scho-         pen řešit rovnicemi. Na Obr. 42 vidíme nekorektní zápis bez závorek (na druhém         řádku by mělo být (100 + 25) : 5 = x), což, jak jsme viděli výše, je problém u dětí,         které již na 1. stupni samovolně přecházejí k algebraickému řešení. Přestože pou-         žil správnou úvahu, výsledek zapsal špatně.                           Obr. 42 Algebraicky řešená úloha (zápis bez závorek, chyba v zapsání výsledku)           U problémových úloh dosahoval Vašek slabých výsledků, ve většině případů ne-         objevil správnou logickou úvahu, která by jej dovedla k cíli. Navíc si většinou         nebyl ani vědom, že nenašel správné řešení. Na Obr. 43 vidíme řešení problémové         úlohy pomocí nesprávné úvahy (Vašek určil polovinu ze 2, měl ale určovat polo-         vinu kapra). Po odevzdání pracovního listu Vašek učitelce řekl, že se mu úloha         nelíbila, protože byla příliš jednoduchá.                84            ┼","Obr. 43 Řešení problémové úlohy                  U Vaška jsme pozorovali tyto fenomény:                   •  Používal experimentální metodu, a to mnohem častěji než Lucka. Jeho                      experimentování bylo neřízené, nesystematické, nehledal v něm žádnou                      zákonitost, která by mu pomohla řešení urychlit.                   •  Jeho zápis byl neúhledný, používal nekorektní matematické zápisy.                   •  Přestože většina jeho řešení byla nesofistikovaná, u některých úloh byl                      schopen použít algebraické řešení, občas s nekorektním zápisem.                Vašek měl jistě velký potenciál k rozvoji matematického myšlení. Bohužel tento                potenciál zůstával ležet poněkud ladem, jeho řešení byla nesofistikovaná (často                používaná experimentální metoda, avšak bez hledání zákonitosti). Při osobním                kontaktu jsem si všimla, že Vašek je rád, když se rozebírá jeho způsob řešení, aniž                by se mu hned prozradilo, že postupoval špatně a kde má chybu. Z toho důvodu                jsem přesvědčena, že Vaškův potenciál by byl více zužitkován, pokud by se s ním                diskutovalo nad různými možnostmi řešení. Vašek měl také určité osobnostní                a charakterové potíže, které se projevovaly jeho chováním v hodinách matematiky.                Oproti Lucce byl tedy Vašek typ žáka, u něhož nebylo nadání patrné. Zařadila bych                ho do profilu „defenzivní odpadlík“ (vnímáni jako neposlušní, nepřijímají je ani                dospělí, ani vrstevníci; jsou stále v opozici, mají na vše vztek; objevuje se u nich                nesoulad mezi inteligencí a školními výsledky, jsou vynikající v mimoškolních                aktivitách) nebo „provokatér“ (mívají problémy s disciplínou, působí jako iritující;                ve škole se rychle začnou nudit, jsou netrpěliví, často v opozici, mají nízké sebevě-                domí). Jednoznačně bych si jej netroufla zařadit, vykazoval znaky obou kategorií.                  PATRIK, 5. ročník, matematické nadání                Patrik měl pedagogicko-psychologickou poradnou diagnostikováno matematické                nadání. V našich testech obdržel 49 z 63 bodů (78 %). Byl u něj vidět velký pokrok,                v prvním pracovním listu se mu příliš nedařilo, ale neustále se zlepšoval.                Patrika jsem měla možnost poznat i osobně, účastnil se našeho kroužku pro mimo-                řádně nadané děti. Zde působil opravdu jako dítě mimořádně nadané pro matema-                tiku, rychle chápal zákonitosti, svými matematickými znalostmi byl minimálně                tři roky před vrstevníky. Vysokou rychlostí se učil – během čtvrt hodiny byl napří-                klad schopen s využitím Montessori pomůcky Binomická krychle odvodit obecný                                                                                    85                                                                               ┼","vztah pro druhou mocninu dvojčlenu, (a + b)  = a  + 2ab + b . Přitom na začátku                                               2                                                   2                                                            2         aktivity ani nevěděl, co to je mocnina, a byl s tímto pojmem teprve seznámen.         Patrikovi se zpočátku řešení úloh z pracovních listů moc nedařilo. V úloze         na Obr. 44 přeformuloval zadání, ale i tak udělal v úvaze chybu. Nejdříve zvýšil         počet dětí na 32, aby byl dělitelný čtyřmi. Neuvědomil si, že počet dětí bez Adama         má vydělit pěti. Všimněme si, jak zapisoval slova „vydělil“ nebo „vyšlo“. S obdob-         nými chybami se budeme v Patrikových řešeních setkávat i v dalších ukázkách.                                            Obr. 44 Úloha řešená špatnou úvahou          Rovněž v následující úloze, která je řešitelná aritmeticky, nebyl Patrik úspěšný.         Nejdříve úlohu zapsal tak, jako by chtěl postupovat algebraicky, ale nakonec ji řešil         experimentálně. Narazil možná na nedostatečné aritmetické představy a možná také na         nedostatečnou dovednost sčítat a odčítat čísla s přechodem přes základ 10 nebo 100.         Pokud by provedl řádně zkoušku a sčítal 888 + 222 = 1 110, mohl by dále postupo-         vat například úvahou, neboť je zřejmé, že každý ze sčítanců je nutné zmenšit o 55.                              Obr. 45 Algebraický zápis, experimentální postup, nesprávný výsledek           S poměrně těžkopádným řešením se u Patrika setkáváme také u úlohy s věžními         hodinami. Není jasné, proč desetkrát dokola sčítal počet úderů mezi hodinami         a nenásobil šest jedenácti. Ani údery v celých hodinách nespočítal správně, výsle-         dek má špatně.            86            ┼","Obr. 46 Složitě řešená úloha se špatným výsledkem                  V následující úloze začal Patrik tím, že si vypočítal, o kolik let je maminka starší                než dcera. Chvíli se snažil s tímto údajem operovat, ale pochopil, že pro řešení                není relevantní. Nakonec se mu podařilo experimentálně objevit některá řešení                (chybí 25 a 52).                                                  Obr. 47 Experimentálně řešená úloha                   V mnoha úlohách však Patrik prokázal své vysoce rozvinuté logické myšlení.                V úloze na Obr. 48 začal úvahou, která mu pomohla v následném řešení pomocí                pokusu a omylu.                                                                                                 87                                                                               ┼","Obr. 48 Úloha řešená částečně úvahou a částečně experimentálně           Velmi úspěšný byl Patrik při řešení problémových úloh. Na Obr. 49 nepotřeboval         ani podporu v podobě grafického znázornění, úlohu vyřešil pamětně.                                     Obr. 49 Správně řešená problémová úloha           Pokud se podíváme na Patrikovy přístupy k řešení, můžeme sledovat následující         jevy:            •  Většinu úloh řešil metodou pokusu a omylu, často podpořenou dobrými              aritmetickými představami, někdy úvahou.            •  Velmi rychle se zlepšoval v řešení úloh.            •  Problémové úlohy obvykle vyřešil správně.            •  Geometrické úlohy rovněž obvykle vyřešil správně.         Vzhledem k diagnostikovanému matematickému nadání a také k tomu, jak se         projevoval v našem kroužku, se domnívám, že také Patrik se pohyboval pod hra-         nicí svého potenciálu. V Patrikových pracích se opakovaně objevovaly pravopisné           88            ┼","chyby (např. „viděli“ místo „vydělil“ a mnoho dalších). Je tedy možné, že Patrik                patřil k žákům s dvojí výjimečností a mohl mít poruchu učení. Pokud ji měl, do-                statečně ji kompenzoval vysokým intelektem.                Patrika bych zařadila do profilu „autonomní děti“ (jsou obdivované pro své schop-                nosti, jsou vnímány jako ti, kteří uspějí; mají dobré sebevědomí, vysokou vnitřní                motivaci; mívají dobré známky), případně „děti s dvojí výjimečností“.                  VANDA, 5. ročník, jazykové nadání                 Vanda byla žákyní 5. ročníku s diagnostikovaným jazykovým nadáním. V kurzu                získala 18 bodů z 48 (dvakrát chyběla), tj. 38 %. Jednalo se o jeden z nejslabších                výsledků, a to u nadaných i nediagnostikovaných dětí. Zařazuji ji sem z toho důvodu,                že někdy nálepka „nadání“ na učitele působí tak, že žákovi musí jít ve škole vše.                Při řešení se Vanda snažila uplatnit operace známé ze školy, úlohy se příliš nesna-                žila analyzovat. V úloze zobrazené na Obr. 50 využila čísla ze zadání a vydělila                31 : 4. Možná se nechala ovlivnit antisignálem ze zadání „čtyřikrát větší než“, ale                tím si nemohu být jista. Dále je zvláštní, že výsledek „na 4. místě“ neodpovídá                výsledku dělení „7 (zbytek 3)“.                                                 Obr. 50 Nesprávně řešená úloha.                  Další úloha je řešena částečně správně, přestože zápis není matematicky správný                (např. 5 ∙ 5 není rovno 41). Vanda ale nenašla všechna řešení a uvedla jedno, ve                kterém se vrací peníze, což zadání neumožňuje.                                                  Obr. 51 Řešení kombinatorické úlohy                                                                                     89                                                                               ┼","Logické myšlení i aritmetické představy Vandy byly zřejmě na nízké úrovni, což         se projevilo v řešení úlohy na Obr. 52. Zadání nebylo pochopeno, nalezená čísla         nesplňují ani jednu z podmínek.                                            Obr. 52 Nesprávně řešená úloha           Ve výjimečných případech se Vandě podařilo najít obecnou zákonitost v řešení         úlohy, jako např. na Obr. 53. Vanda se jen dopustila malého přepisu, místo 63 na-         psala 62.                                         Obr. 53 Úloha vyřešená správnou úvahou           Nejúspěšnější byla Vanda v řešení geometrických úloh, jak demonstruje Obr. 54.         Úlohy na geometrickou představivost měla prakticky vždy správně. Dle Gardne-         rovy teorie multiplikativní inteligence jsou logicko-matematická inteligence         a prostorová inteligence nezávislé složky celkové inteligence a, jak je vidět, pro         některé žáky slabé v aritmetice může být geometrie příležitostí jak v matematice         dosahovat dobrých či výborných výsledků.                     90            ┼","Obr. 54 Správně vyřešená problémová geometrická úloha                   Při řešení některých aritmetických úloh využila Vanda grafické znázornění, které                jí pomohlo v hledání správného výsledku. Na Obr. 55 postupovala tak, že nejdříve                nakreslila 12 čepic a pak jim postupně přikreslovala rukavice, dokud nebyl celko-                vý počet kusů 30.                                                               Obr. 55 Graficky řešená úloha                                                                                           91                                                                               ┼","Problémové úlohy  byly pro Vandu neřešitelné (Obr. 56).                        16                                             Obr. 56 Nesprávně vyřešená problémová úloha           Pokud se podíváme na Vandina řešení celkově, můžeme si všimnout následujících         jevů:            •  Co se aritmetických úloh týče, správně dokázala řešit ty, které vycházely              z běžného školního učiva a u nichž mohla bez problému aplikovat aritme-              tickou operaci. Ty tvořily menšinu, proto většinu aritmetických úloh neu-              měla správně řešit.            •  Některé aritmetické úlohy vyřešila správně pomocí grafického znázornění.            •  U většiny úloh našla „nějaké“ řešení, nekontrolovala jeho správnost.            •  Úspěšná byla v případě geometrických úloh.            •  Problémové úlohy neuměla řešit.            •  Vzhledem ke smajlíkům, které kreslila, se nejspíše jednalo o velmi kreativ-              ní dívku.         Na případu Vandy lze sledovat, že je-li dítě nadané, nemusí to znamenat, že mu         půjde ve škole vše. Z výsledků lze usuzovat, že Vanda neměla rozvinuté matema-         tické ani logické myšlení. Byla sice nadaná, ale v rámci zcela jiné složky inteligen-         ce. Aritmetické schopnosti měla podprůměrné, dobré výsledky měla v oblasti         geometrické představivosti.         Velice sympatické bylo, že ráda navštěvovala kurz. Domnívám se, že pokud by         s ní úlohy byly rozebírány, mohla by se zlepšovat v oblasti matematického myšle-         ní, i když pomalejším tempem.             16   Za problémové jsem považovala úlohy, které žák musel řešit vhledem a pro něž neměl ze            školy osvojen matematický aparát.          92            ┼","– 3 – 8  ZÁVĚR A OMEZENÍ VÝZKUMU                 Z výsledků žáků vyplynulo, že diagnostikované nadání není jediným předpokladem                k úspěšnému řešení matematických úloh. Jak je v literatuře popsáno, nadání má                různé podoby a žák může vynikat jen v některých oblastech. To platí dokonce                i pro matematiku, kdy mají žáci zvýšené schopnosti obvykle jen pro některé části                matematiky. Bylo patrné, že nadaní žáci podávali v úlohách rozličné výkony                a nebylo je mnohdy ani jednoduché odlišit od žáků bystrých. Nejlepší předpokla-                dy pro řešení matematických úloh mají žáci s matematickým nadáním. Ve vybra-                ných úlohách rovnicového charakteru byli matematicky nadaní žáci vždy procen-                tuálně nejúspěšnější, ale vzhledem k jejich malému počtu a charakteru výzkumu                nemohu tento závěr zobecnit. Pro některé nadané žáky bylo charakteristické,                že byli schopni využívat algebraické postupy již na 1. stupni základní školy, ve                4. nebo 5. ročníku. Problémy přitom měli s gramatikou matematického zápisu,                nezvažovali přednost operací, nepoužívali závorky a operace prováděli v pořadí,                v jakém byly zapsány.                Významným omezením výzkumu bylo rozdělení žáků do skupin nadaných (dia-                gnostikovaných) a ostatních (nediagnostikovaných). Ve skupině nediagnostikova-                ných žáků se totiž objevovali žáci, kteří sice pedagogicko-psychologickou poradnou                nebyli diagnostikováni, avšak jejich výsledky během celého kurzu odpovídaly                tomu, že nadaní byli. Tím mohlo dojít ke zkreslení mezi sledovanými výsledky                diagnostikovaných a ostatních žáků. Problém je v tom, že někteří žáci a jejich                rodiče nemají o testování v poradně zájem.                Druhým podstatným omezením byla v případě mnoha žáků absence rozhovoru po                odevzdání pracovního listu. Přestože někteří učitelé byli velmi svědomití, zapiso-                vali průběh celého testování i následný rozhovor, jiní učitelé toto nepovažovali za                důležité, a na analýzu jsem tak dostala pouze vyplněné testy. Bez rozhovoru je                však mnohdy prakticky nemožné analyzovat některá řešení. Bohužel, dodatečné                rozhovory už nebylo možné realizovat a je také málo pravděpodobné, že takto malé                děti by s časovým odstupem byly schopny své řešení zpětně vysvětlit.                                                                                                         93                                                                               ┼","","– 4 –                  VÝZKUM                                        NA 2. STUPNI                                        ZÁKLADNÍ ŠKOLY                           V roce 2017 proběhlo testování žáků na 2. stupni základní školy s cílem zjistit, jak                jsou bystří a nadaní žáci schopni řešit aplikační úlohy rovnicového charakteru                různé náročnosti a jaké řešitelské strategie preferují. Výzkum byl uskutečněn                ve druhém pololetí školního roku. Výzkumným nástrojem byl didaktický test.                Test byl zadán žákům 6.–9. ročníku základní školy. Testování se účastnily základ-                ní školy, víceletá gymnázia a matematická gymnázia (tj. víceletá gymnázia s tří-                dami s rozšířenou výukou matematiky) v Jihomoravském kraji, kraji Vysočina                a Moravskoslezském kraji.                Původním záměrem bylo vyhledávat pro testování žáky nadané, pokud možno                odborně identifikované v pedagogicko-psychologické poradně. Odborná identifi-                kace měla sjednotit úroveň „nadprůměrnosti“ žáků, která se mohla mezi školami                zásadně lišit. Brzy se ale ukázalo, že odborně identifikovaných žáků je na 2. stup-                ni základní školy malý počet. V České republice bylo například ve školním                roce 2015/2016 pedagogicko-psychologickými poradnami diagnostikováno 1 503                intelektově nadaných žáků, z toho 884 žáků bylo z 1. stupně a 255 žáků bylo                z 2. stupně . Na většině škol jsme se proto s odborně identifikovaným žákem ne-                         17                setkali, podařilo se nám najít jen 13 žáků s odbornou identifikací. V této situaci                jsem se rozhodla vybírat žáky do výzkumného vzorku v rámci daných tříd v ná-                sledujících krocích:                   1)  Jestliže byli ve třídě, kde nám bylo umožněno testování, odborně diagnos-                      tikovaní nadaní žáci, byli do výzkumu zahrnuti všichni identifikovaní žáci.                   2)  Jestliže ve třídě nebyl žádný odborně diagnostikovaný žák, učitel vybral                      všechny žáky, kteří dle jeho úsudku byli nadaní způsobem, který se proje-                      voval výbornými výkony v matematice.                      17   Neuvádím počty nadaných středoškoláků a vysokoškoláků.                                                                                    95                                                                               ┼","3)  Jestliže ve třídě nebyl žádný žák, kterého by učitel označil jako nadaného,              byli učitelem vybráni tři žáci nejlepší v matematice. Učitel musel také uvést,              z jakého důvodu žáka vybírá, a dále byl výzkumníkem požádán, aby              u každého vybraného žáka podal co nejširší charakteristiku jeho projevů              v matematice. Snahou bylo, aby se do výzkumného vzorku nedostali žáci              v matematice průměrní nebo dokonce podprůměrní.           – 4 – 1  VÝZKUMNÉ OTÁZKY A HYPOTÉZY          Zajímalo mě, jaké budou řešitelské strategie žáků při řešení úloh rovnicového         charakteru. Zejména jsem se chtěla soustředit na to, zda bude možné vysledovat         nějaký vývoj v používání experimentální, aritmetické a algebraické strategie         v jednotlivých ročnících 2. stupně základní školy. Vyslovila jsem následující oče-         kávání: Matematicky nadaní žáci budou více inklinovat k algebraickým strategiím,         a to od 6. ročníku. Nadaní žáci budou v řešení úspěšnější než ostatní žáci, budou         u nich převažovat experimentální a aritmetické strategie. Ostatní žáci budou ve         většině případů využívat experimentální strategie.         Dále byly stanoveny výzkumné otázky:              O1.   Jakého průměrného výsledku dosáhli žáci v jednotlivých úlohách testu?               O2.  Jakého průměrného výsledku dosáhli žáci v jednotlivých úlohách                    testu vzhledem k ročníku?              O3.   Jakého průměrného výsledku dosáhli žáci v jednotlivých úlohách                    testu vzhledem k nadání?              O4.  Jaké strategie řešení volili žáci vzhledem k nadání?         Předpokládala jsem, že úspěšnost v testu se bude zvyšovat od 6. do 9. ročníku.         V 6. ročníku se ještě neprobírá žádná část algebry. Žáci zpravidla nejsou vedeni         k tomu, aby algebraické úlohy (např. úlohy rovnicového charakteru) řešili aritme-         tickými metodami. Z toho důvodu jim u některých typů úloh zbývá jen experimen-         tální strategie. V 7. ročníku se na některých školách začíná probírat učivo lineárních         rovnic. Žáci se postupně seznamují s ekvivalentními úpravami, ale učivo zatím         není využíváno v aplikačních úlohách. V 8. ročníku se pokračuje v probírání li-         neárních rovnic, výuka se rozšiřuje také na slovní úlohy vedoucí k rovnicím, po-         znatky o lineárních rovnicích krystalizují (Hejný, 2014). V 9. ročníku se potom         žáci seznamují s řešením soustav rovnic o více neznámých. Žáci 9. ročníku tedy         mají k dispozici nejširší spektrum matematického aparátu, navíc mají největší         matematickou zkušenost.         Dále jsem předpokládala, že v řešení úloh budou úspěšnější matematicky nadaní         žáci. Jedná se totiž o úlohy, které nejsou typické na běžných základních školách         (úlohy viz oddíl 4.4). Také jsem předpokládala, že některé z úloh budou pravdě-         podobně neznámé i pro žáky matematického gymnázia. V tom případě rozhodne           96            ┼","o správnosti řešení žákova tvořivost a zkušenost s postupy. Obojí by měli mít                nejrozvinutější právě matematicky nadaní žáci.                 Bylo také možno předpokládat, že mezi čtyřmi typy škol budou nejúspěšnější žáci                matematického gymnázia (tj. víceletého gymnázia s posílenou výukou matemati-                ky). Jedná se o výběrovou školu a žáci se mohou lišit od žáků jiných škol svojí                motivací pro studium, znalostmi aj. Hodinová dotace matematiky je na tomto typu                školy nejvyšší, výuce matematiky je věnována největší pozornost a žáci se setká-                vají se širší nabídkou úloh.                 Pro zodpovězení výzkumných otázek byla využita smíšená metodologie.                  – 4 – 2  VÝZKUMNÝ VZOREK                  Základní soubor tvořili žáci 2. stupně základní školy a odpovídajících ročníků                víceletých gymnázií. Výběrový soubor byl sestaven dostupným výběrem z 34 škol,                celkem se 165 žáky. Výzkumu se zúčastnilo 28 základních škol, 1 základní škola                s rozšířenou výukou matematiky, 3 víceletá gymnázia, 2 víceletá gymnázia s roz-                šířenou výukou matematiky.                Ve vzorku se vyskytovalo 109 chlapců a 56 děvčat. Mezi žáky bylo 50 žáků                6. ročníku, 31 žáků 7. ročníku, 19 žáků 8. ročníku a 65 žáků 9. ročníku. Vidíme                rozdílné zastoupení žáků podle pohlaví i podle ročníku. Nerovnoměrnost v přípa-                dě pohlaví byla pravděpodobně zapříčiněna vžitou představou, že v matematice                jsou chlapci nadanější než dívky. Nerovnoměrné zastoupení ročníků bylo způso-                beno dostupností vzorku, neboť testování mi bylo umožněno jen ve třídách,                kde vyučující nebyl v časovém tlaku. Vzhledem k charakteru úloh navíc učitelé                volili raději nejzkušenější žáky 9. ročníku.                Výzkumu se účastnilo 28 žáků s matematickým nadáním, 55 žáků se všeobecným                nadáním a 82 „ostatních“ nadprůměrných žáků. Žáků, kteří měli nadání identifi-                kováno v pedagogicko-psychologické poradně, bylo pouze 13. Devět z těchto žáků                mělo všeobecné nadání a čtyři byli matematicky nadaní. Zastoupení žáků podle                nadání je uvedeno v Tab. 17.                                 Tab. 17 Žáci rozdělení podle nadání a podle školy                                                 ZŠ   MZŠ      G     MG     Celkem                 Mat. nadaní identifikovaní      2      1      –      1                 Mat. nadaní neidentifikovaní    3      –      1     20       28                 Všeob. nadaní identifikovaní    8      –      1      –       55                 Všeob. nadaní neidentifikovaní  9      3      2     31                 Ostatní                         72     4      4      3       82                 Celkem                          94     8      8     55       165                                                                                     97                                                                               ┼","Jak jsem již uvedla, nebylo možné vybírat jen žáky identifikované PPP. Proto byli         žáci zařazeni do příslušné kategorie na základě doporučení učitele, který tak učinil         na základě projevů žáka v matematice a jiných předmětech. Učitelé byli požádáni,         aby identifikovali žáky všeobecně nadané, matematicky nadané. Pokud žádné tako-         vé žáky ve třídě neměli, tak vybírali tři nejlepší žáky, které jsem zařadila do katego-         rie „ostatní“. V posledním případě měli učitelé své rozhodnutí zdůvodnit, což mi         umožnilo jejich návrh posoudit a kategorii ostatních ještě rozdělit na tři typy: bystrý         (myslí mu to rychleji než ostatním, matematika mu jde, v matematice je šikovný),                                                                            18         logický (má dobré logické myšlení, ale v počtech moc dobrý není), jedničkář .         Žáci, kteří učiteli nebyli nominováni jako nadaní, měli toto zastoupení (Tab. 18).                   Tab. 18 Podkategorie kategorie „ostatní žáci“ a jejich zastoupení                                 Ostatní  Bystrý   50                                   Jedničkář                                                   29                                   Logický typ                                                    3         Dále jsem se u všech předchozích skupin soustředila také na vedlejší specifikace,         jako jsou poruchy učení, ADHD, autismus a charakterové či jiné specifikace, jako         nezájem o školu, lenost, účast na matematických soutěžích apod. (toto rozlišování         pro mě bylo důležité zejména v kvalitativní analýze řešení). Každý žák byl zařazen         do právě jedné kategorie. Jednotlivé podkategorie jsou uvedeny v Tab. 19.                        Tab. 19 Počet žáků v jednotlivých podkategoriích                                                          Mat. nadání   ident.  Mat. nadání   neident.  Všeob.   nadání ident.  Všeob.   nadání neid.  Ostatní         Skupina podkategorií       Podkategorie                                       Dysgrafie                     1        1         Specifické poruchy učení   Dyslexie                 1    1        2                                    Dysortografie                 1                                    Aspergerův syndrom       1             1         Poruchy autistického spektra                                    Autismus                               1         Poruchy pozornosti         Porucha pozornosti                1    2                                    s hyperaktivitou                                    Lenivý                        2         Charakter                                    Bez zájmu            1   1    2         Stupeň nadání              Extrémně nadaný          4          18   Kategorie „jedničkář“ byla volena v případě, kdy žák nebyl nadaný, neměl ani obzvlášť rozvi-            nuté matematické myšlení, ale v matematice měl jedničku. To znamená, že i žáci z jiných            kategorií mohli mít jedničku z matematiky, ale nebyl to jediný parametr, díky němuž se do            vzorku dostali.          98            ┼","V některých případech jsem váhala, do které skupiny žáka zařadit. Například                u specifikace „je jedničkář, matematika ho baví, ale má celkově ke všemu dost                laxní přístup“ jsem se rozhodovala mezi kategoriemi jedničkář a bystrý. Kategorie                „jedničkář“ totiž u většiny učitelů evokovala snaživého žáka, který usiluje o dob-                rý prospěch. Uvedený žák zřejmě příliš snaživý nebyl, přesto měl v matematice                výborné výsledky, což může souviset s bystrostí, mohlo by se však také jednat                o skryté nadání. Žák byl posouzen jako „bystrý, lenivý“. Je zřejmé, že rozřazová-                ní žáků bylo v mnoha případech náročné a nejednoznačné.                Rodiče všech žáků, kteří byli zapojeni do výzkumu, podepsali informovaný souhlas                s testováním dítěte a použitím jeho výsledků pro výzkumné záměry.                   – 4 – 3  PŘEDVÝZKUM                 Didaktický test byl sestavován tak, aby obsahoval úlohy rovnicového charakteru                – slovní či geometrické úlohy, které je možné řešit sestavením rovnice či soustavy                rovnic, ale zároveň je možné je řešit aritmetickými metodami, které jsou přístupné                i žákům nižších ročníků. Mým záměrem bylo vybrat většinu úloh školsky nety-                pických, neboť jsem chtěla sledovat žákovskou strategii řešení v neznámé situaci.                Úlohy byly seřazeny tak, aby gradovaly co do náročnosti. Vybrala jsem dvě arit-                metické úlohy, jednu slovní úlohu, jednu dynamickou úlohu a dvě geometrické                početní úlohy. Test pro předvýzkum obsahoval následujících šest úloh:                1.  Když dvě čísla sečteš, dostaneš 15. Když od většího odečteš menší, dostaneš 3.                   Jaká to jsou čísla?                2.  Když dvě různá čísla sečteš, dostaneš 10 000. Když od většího odečteš menší,                   dostaneš 6 666. Která jsou to čísla?                3.  Jolanka je šestkrát mladší než maminka, babička je dvanáctkrát starší než Jo-                   lanka. Všem třem dohromady je 95 let. Kolik roků je každé z nich?                4.  Otec je o 9 let starší, než je trojnásobek synova věku. Za 17 let bude otec dvakrát                   tak starý než jeho syn. Kolik let je otci a kolik synovi?                5.  Obdélník na obrázku je rozdělen na tři obdélníky a čtverec. Urči obsah čtverce,                   jsou-li známy obsahy tří obdélníků (v centimetrech čtverečních). Zapiš výpočet.                   (Vlevo je varianta pro nižší ročníky a vpravo je varianta pro 9. ročník.)                                    18        27          18         27                                    54                    72                                                                                        99                                                                               ┼","6.  Obdélník na obrázku je rozdělen na 12 čtverců. Délka strany tmavě šedých            čtverců je 5 cm. Urči obsah bílého čtverce. Zapiš výpočet.                        Předvýzkumu se účastnilo 77 žáků získaných na základě dostupnosti z jiných škol,         než byly školy v hlavním výzkumu. Z tohoto počtu bylo 20 žáků ze základní         školy, 6 žáků ze základní školy s třídami s rozšířenou výukou matematiky, 10 žáků         z osmiletého gymnázia a 41 žáků osmiletého gymnázia s třídami s rozšířenou vý-         ukou matematiky. 31 žáků bylo ze 6. ročníku, 5 žáků bylo ze 7. ročníku, 6 žáků bylo         z 8. ročníku a 35 žáků bylo z 9. ročníku. Struktura žáků byla tedy podobná jako ta,         kterou jsem plánovala pro vlastní výzkum. Při vyhodnocování mě zajímala pouze         celková úspěšnost žáků v jednotlivých úlohách a případné neočekávané jevy.                  Tab. 20 Procentuální úspěšnost pro jednotlivé úlohy předvýzkumu                                 Úloha   Úspešnost v %                                 1            91                                 2            77                                 3            82                                 4            30                                 5            13                                 6            14          Po provedení předvýzkumu byl ověřen výzkumný nástroj. V didaktickém testu by         měly být obsaženy pouze úlohy, jejichž index obtížnosti leží v intervalu P ∈ (20,80)         (Chráska, 1999). Index obtížnosti přitom určuje, jaké procento žáků bylo schopno         úlohu úspěšně řešit. Úlohy, pro něž je P < 20, jsou považovány za velmi obtížné         a úlohy, pro něž je P > 80, jsou považovány za velmi jednoduché. Doporučuje se,         aby didaktický test začínal jednoduchou úlohou, jejíž účel je motivační.         Z testu jsem se rozhodla vyřadit úlohu 1, neboť byla pro mnoho žáků triviální         a řešili ji pamětně. Proto nebylo z písemného řešení zjevné, jakou metodu řešení         preferují, a výsledky byly nevypovídající. Druhá úloha v testu zůstala, protože již         nebyla pro žáky triviální, nemohli ji řešit pamětně a museli volit jednu z metod –         experimentální, aritmetickou či algebraickou. Úloha 3 měla sice také poměrně         vysokou úspěšnost, avšak v testu jsem se ji rozhodla nechat, a to z důvodu moti-         vace slabších žáků. Čtvrtá úloha byla pro žáky výrazně náročnější. V testu zůsta-          100             ┼","la, neboť ve způsobech řešení bylo patrné, že žáci volili buď experimentální, nebo                algebraickou strategii, a pak bylo vidět, že žáci buď postup znali (např. z Mate-                matické olympiády) a řešili zcela mechanicky, nebo řešení neznali a pak pro ně                byl mnohdy problém vyznat se ve vztazích a správně sestavit rovnice. Na Obr. 57                vidíme řešení úlohy matematicky nadanou žákyní  9. ročníku, která si údaje za-                                                           19                psala přehledně do tabulky a poté z nich sestavila rovnici.                                    Obr. 57 Algebraicky řešená úloha (pomocí jedné rovnice s jednou neznámou)                                  matematicky nadanou žákyní 9. ročníku                 Algebraickou strategii řešení pomocí rovnice nebo soustavy dvou rovnic o dvou                neznámých volili i nadaní žáci 6. ročníku. Protože ale učivo neměli systema-                ticky probráno, jejich zápis byl často nekorektní, jak vidíme na Obr. 58. Rovnice                (s + 17) ∙ 2 = s ∙ 3 + 9 je nesprávně sestavena, v dalším kroku je s ní provedena                chybná úprava. Souhrou těchto dvou pochybení žák dospěl ke správnému výsledku.                                          Obr. 58 Úloha s nekorektním postupem řešená soustavou dvou rovnic                          o dvou neznámých matematicky nadaným žákem 6. ročníku                  19   V rámci předvýzkumu jsem neprováděla rozřazování žáků do skupin podle nadání, pouze                   v některých případech jsem znala specifikaci žáků.                                                                                  101                                                                              ┼","U této úlohy se vyskytly i další případy špatné úvahy se správným výsledkem.         Nejčastěji se vyskytující chyba v úvaze je ukázána na Obr. 59. Ve druhé rovnici         nebylo přičteno 17 let k věku syna (y). Špatnou úpravou rovnic však žák opět dospěl         ke správnému výsledku.                                  Obr. 59 Pokus o algebraické řešení s nesprávně sestavenou rovnicí                  a správným výsledkem všeobecně nadaným žákem 6. ročníku           Z uvedených příkladů se potvrzuje, že při vyhodnocování testů se není možné         zaměřovat pouze na výsledek.         Na Obr. 60 matematicky nadaný žák 6. ročníku používá úvahu, že 17 let je součtem         věku syna a 9 let ze zadání. Tento vztah opravdu platí, ale není triviální k němu dospět.         Vztahy mezi veličinami můžeme ukázat například takto: Za 17 let bude synovi         s + 17 let a otci s + 17 + s + 17 (otec je dvojnásobně stár). Zároveň je otci 3s + 9 + 17.         Když porovnáme obě vyjádření věku otce za 17 let, je zřejmé, že s + 9 = 17.                           Obr. 60 Matematicky nadaný žák 6. ročníku využívá k řešení zajímavou úvahu           Pokud se stalo, že žák napsal přímo vztah s + 9 = 17, jako je tomu na Obr. 60, ne-         bylo zřejmé, zda se jedná o zjednodušenou či nesprávnou úvahu, nebo zda žák         dokázal předchozí vztahy zachytit pouze mentálně, bez zápisu. V takovém případě         je nutné v rámci výzkumného řešení zjistit tuto informaci v následném rozhovoru.          102             ┼","V několika případech se objevilo pamětní experimentální řešení – žáci obvykle                začali na věku syna 5 let (jinak by byl otec nesmyslně mlád), zkoušeli vztahy                a rychle dospěli ke správnému výsledku. Z tohoto důvodu jsem se rozhodla ve                výzkumu zvýšit věk syna tak, aby šlo o dvojciferné číslo a pamětní experimento-                vání nebylo tak jednoduché.                Nejslabších výsledků dosáhli žáci v páté úloze. Výsledky však byly velmi silně                ovlivněny tím, že žáci 9. ročníku dostali druhou variantu, která umožňovala pou-                ze algebraické řešení. Někteří z nich se snažili úlohu řešit aritmeticky a když                zjistili, že to není možné, úlohu opustili (např. řešení na Obr. 61). Správně sestavit                soustavu rovnic a správně ji vyřešit dokázali pouze tři matematicky nadaní žáci                9. ročníku.                                            Obr. 61 Žák 9. ročníku se pokusil řešení najít aritmeticky                   Obdobně postupovala žákyně na Obr. 62. Nejdříve začala algebraickým zápisem,                poté postupovala aritmeticky. Když nedokázala úlohu vyřešit, usoudila, že je úlo-                ha špatně zadaná. Ani ji nenapadlo, že by strany obdélníků mohly mít iracionální                délky.                                                Obr. 62 Žákyně 9. ročníku nenalezla správné řešení                                                                                     103                                                                              ┼","Někteří žáci sestavili soustavu tří rovnic o třech neznámých, ale neuměli ji vyřešit.         Vzniklá soustava je totiž v rámci učiva základní školy netypická. Několik mate-         maticky nadaných žáků si nicméně se soustavou poradilo. Na Obr. 63 můžeme         sledovat algebraické řešení s velmi ekonomickým zápisem, použité matematicky         nadaným žákem 9. ročníku.                             Obr. 63 Ekonomické algebraické řešení matematicky nadaného žáka 9. ročníku          Do výzkumu jsem z důvodu obtížnosti algebraického výpočtu zařadila pouze         první, jednodušší verzi úlohy, která umožňovala aritmetické řešení.         Také šestá úloha byla pro žáky velmi náročná. Přesto jsem se ji rozhodla v testu         ponechat, protože někteří matematicky nadaní žáci snadno našli vztahy mezi ve-         ličinami a úlohu řešili algebraicky. Úlohu bylo dále možné řešit odhadem nebo         aritmeticky. Výsledky úlohy byly zajímavé z toho důvodu, že někteří žáci byli         schopni úspěšně řešit úlohu aritmetickou strategií, zatímco jiní volili algebraickou         strategii.            – 4 – 4  TEST A ANALÝZA ÚLOH A PRIORI          Ve vlastním výzkumu bylo použito pět úloh. V tomto oddíle provedu jejich analý-         zu a priori.          Úloha 1 (dále U1)          Když dvě různá čísla sečteš, dostaneš 10 000. Když od většího odečteš menší,         dostaneš 6 666. Která jsou to čísla?          Možnosti řešení U1         Jednou z možných experimentálních strategií je strategie pokusu a omylu, kdy         žák vybere dvě čísla, provede s nimi naznačené úkony, a pokud čísla neodpovída-         jí, vybírá další dvě čísla. Řízené experimentální řešení mohlo spočívat v tom, že           104             ┼","žák našel čísla, která jsou blízká hledaným číslům, a dle výsledku vybraná čísla                upravil; např. 8 000 a 2 000, 8 000 + 2 000 = 10 000, 8 000 – 2 000 = 6 000, což                je o 666 méně, než je uvedeno v zadání. Nyní tedy stačí většímu číslu přidat 333                a menšímu číslu ubrat 333. Hledaná čísla jsou tedy 8 333 a 1 667.                Další  experimentální  metoda  spočívá  ve  sledování,  jak  se  chovají  součty                a rozdíly v menších řádech, a následném transferu výsledku na vyšší řád. Tedy                8 + 2 = 10, 8 – 2 = 6, můžeme se nyní domnívat, že pro dvojciferná čísla se bude                jednat o čísla 80 a 20; tedy 80 + 20 = 100, 80 – 20 = 60 a nyní lze usoudit, že se                jedná o čísla 83 a 17. Pro trojciferná čísla zkusíme 833 a 177, 833 + 177 = 1 010,                833 – 177 = 656 a druhé číslo musí být 167. Nyní je možné provést zobecnění na                jakýkoliv vyšší řád. Metoda se opírá částečně o experimentální řešení a částečně                o aritmetické řešení.                Úlohu můžeme řešit aritmeticky, když si uvědomíme, že pokud odečteme                menší  číslo  od  většího,  dostaneme  dvojnásobek  menšího  hledaného  čísla.                Tj. 10 000 – 6 666 = 3 334, číslo 3 334 je dvojnásobkem menšího z čísel.                3 334 : 2 = 1 667, 10 000 – 1 667 = 8 333. Při použití této metody je nutné provádět                netriviální aritmetické operace, jako je sčítání a odčítání čísel s několika přechody                přes základ.                Úlohu je také možné řešit algebraicky, sestavením soustavy dvou rovnic o dvou                neznámých. Větší z čísel označíme jako a a menší jako b. Pak                                             a + b = 10 000                                            a – b = 6 666                Nejjednodušší je pokračovat sčítací metodou a určit hledaná čísla.                Součástí řešení je také zkouška správnosti. Zejména z důvodu náročnosti arit-                metických  operací  je  zapsání  zkoušky  nezbytné.  Kontrolujeme  dva  údaje:                8 333 + 1 667 = 10 000, 8 333 – 1 667 = 6 666, oba údaje souhlasí se zadáním.                Odpověď U1: Hledaná čísla jsou 1 667 a 8 333.                     Úloha 2 (dále U2)                Jolanka je šestkrát mladší než maminka, babička je dvanáctkrát starší než Jolan-                ka. Všem třem dohromady je 95 let. Kolik roků je každé z nich?                 Možnosti řešení U2                Úlohu lze řešit experimentálně, metodou falešného předpokladu. Zvolím si věk                Jolanky, například 10 let, a dopočítám věk ostatních ze zadaných vztahů: mamin-                ka by měla 60 let a babička 120 let. Celkově by jim bylo 190 let, což je dvojnásobek                proti zadané hodnotě. Věk všech tří musí být proto poloviční: Jolance je 5 let,                mamince 30 a babičce 60.                                                                                   105                                                                              ┼","Aritmeticky je možné postupovat tak, že lze vypočítat, že všem třem dohromady         je stejně, jako je devatenáctinásobek věku Jolanky. Vypočítáme tedy 95 : 19 = 5,         a tím získáme věk Jolanky. Věk maminky a babičky dopočítáme ze zadání.         Algebraicky postupujeme tak, že označíme jako neznámou  věk Jolanky a sesta-         víme rovnici:                                x + 6x + 12x = 95                                         19x = 95                                           x = 5         Součástí řešení je opět zkouška správnosti řešení. Je nutné vyzkoušet všechny         vztahy ze zadání: 5 + 30 + 60 = 95, 5 ∙ 6 = 30, 5 ∙ 12 = 60.          Odpověď U2: Jolance je 5 let, mamince 30 let a babičce 60 let.             Úloha 3 (dále U3)         Otec je o 5 let starší, než je trojnásobek synova věku. Za 17 let bude otec dvakrát         tak starý než jeho syn. Kolik let je otci a kolik synovi?          Možnosti řešení U3         Úlohu je možné řešit experimentálně, kdy stanovíme věk syna a dopočítáváme         další hodnoty ze vztahů v zadání. Vzhledem k tomu, že musíme prověřovat něko-         lik vztahů, je vhodné informace zapisovat do tabulky.          Věk syna nyní, s                       6           7          12         Věk otce nyní, 3s + 5                  23         26          41         Věk syna za 17 let, s + 17             23         24          29         Věk otce za 17 let, 2(s + 17)          46         48          58         Kontrola věku otce                 46 – 23 = 23 48 – 26 = 22 58 – 41 = 17           Z prvních dvou sloupců vidíme, že když zvýšíme věk syna o 1 rok, zmenší se         o 1 rok hodnota u kontroly věku otce. Začínáme na rozdílu 23 a rozdíl má být 17,         musíme k věku syna přičíst 6 let. Tímto způsobem rychle najdeme správné řešení.         Úlohu je možné řešit také strategií na pomezí aritmetiky a algebry , a to úva-                                                                   20         hou: Za 17 let bude synovi s + 17 let a otci s + 17 + s + 17 (otec je dvojnásobně         stár). Zároveň je mu 3s + 5 + 17. Když porovnáme obě vyjádření věku otce za         17 let, je zřejmé, že s + 5 = 17. Odtud vidíme, že synovi je 12 let, a další hodnoty         dopočítáme ze zadaných vztahů.             20   Neznámá hodnota je sice označena prvním písmenem slova, ale další úvahy jsou aritme-            tické, nedochází k řešení rovnice.          106             ┼","Uvedené úvahy je možné a účelné opřít o grafické znázornění, které může sloužit                jako přímý most mezi aritmetickým způsobem uvažování a algebrou, neboť přímo                z obrázku lze sestavit rovnice. Znázorníme věk otce za 17 let dvěma způsoby                ukázanými na Obr. 64.                                            Obr. 64 Grafické znázornění úlohy 3                  Algebraicky můžeme úlohu řešit sestavením rovnice s jednou neznámou. Věk                syna označíme jako x. Věk otce nyní je 3x + 5. Za 17 let bude platit                                        (3x + 5) + 17 = 2(x + 17)                (Všimněme si, že rovnice zcela koresponduje s Obr. 64.)                Řešením je x = 12. V případě využití algebraické metody by se správně měly pro-                vádět dvě zkoušky – pro rovnici a pro slovní úlohu. Ve zkoušce rovnice dosadí-                me výslednou hodnotu x = 12 do sestavené rovnice. Ve zkoušce slovní úlohy zkon-                trolujeme všechny vztahy ze zadání: Synovi je nyní 12 let, otci 3 ∙ 12 + 5 = 41 let.                Za 17 let bude synovi 29 let a otci 58 let, což je dvojnásobek 29 let.                Také je možné sestavit soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:                                              o = 3s + 5                                          o + 17 = 2(s + 17)                Výsledkem jsou hodnoty s = 12, o = 41. Opět je nutné provést zkoušku soustavy                rovnic a také zkoušku slovní úlohy.                Odpověď U3: Synovi je 12 let a otci je 41 let.                   Úloha 4 (dále U4)                 Obdélník na obrázku je rozdělen na tři obdélníky a čtverec. Urči obsah čtverce,                jsou-li známy obsahy tří obdélníků (v centimetrech čtverečních). Zapiš výpočet.                                                                                               107                                                                              ┼","Možnosti řešení U4         Úlohu je možné řešit aritmeticky, a to rozkladem obsahů na součin : 18 = 2 ∙ 9 =                                                                 21         = 3 ∙ 6, 27 = 3 ∙ 9, odtud je zřejmé, že rozměry dvou horních obdélníků jsou 3 ∙ 6 a 3 ∙ 9,         přičemž společná strana má délku 3. Jeden rozměr třetího obdélníku je tedy 6 a dru-         hý 54 : 6 = 9.  Čtverec má tedy stranu délky 9 a jeho obsah je 81. V odpovědi se vrá-         tíme od matematizace k vyjádření obsahu i s jednotkami: Obsah čtverce je 81 cm .                                                                            2         Lze postupovat také algebraicky, a to označením stran: 18 = a ∙ b, 27 = a ∙ c,         54 = b ∙ c. Budeme postupovat dosazovací metodou. Vyjádříme z první rovnice               18               18                 =                =                     a dosadíme do druhé rovnice:            18                   =                            18                                                        27 =  18 ∙                                            27 18 =       ∙                                                                                         27 =   ∙                                                    2                                             =  2                                                  2 = 3                                                =        3         Neznámou b dosadíme do třetí rovnice:                                          3                                            2                                      54 =  2      ∙                                           54 2 =      ∙                                                3                                           3                                    54 =      ∙                                              2                                             = 81                                         3 2                                             = 81         Odpověď U4: Obsah čtverce je 81 cm .                                         2                                      2                                          = 81         Úloha 5 (dále U5)         Obdélník na obrázku je rozdělen na 12 čtverců. Délka strany tmavě šedých čtver-         ců je 5 cm. Urči obsah bílého čtverce. Zapiš výpočet.         Možnosti řešení U5          Je možné postupovat aritmeticky, když vycházíme z faktu, že strany čtverce jsou         shodné. Délka strany bílého čtverce je shodná se součtem délek stran osmi světleše-         dých čtverečků. Odtud je zřejmé, že délka strany tří tmavě šedých čtverců je stejná       40                                                                 15                                                                     5                                                                  =                                                                   =         jako devíti světle šedých čtverců a pro délku strany světlešedých čtverců musí platit   8     =  3                                                                 9                                                                     3            15 15  5 5                         40 40 , a jeho obsah proto   40  2  1600   .              = =  = . Délka strany bílého čtverce je 8     =            = ( ) =                            =                                          8     =             9 9  3 3                          3 3                   3     9                   2 2                40 40  1600                      1600                 = ( ) = =                  = ( )                 3 3   9 9         21   Výpočet zjednodušíme matematizací, což znamená, že budeme pracovat pouze s čísly a nikoli            s veličinami.                                                                                             8     = 15 −              108                                                                                9     = 15             ┼                          8     = 15 −                                                    8     = 15 −                                                                                                 5                                        9     = 15                                        9     = 15                                                =                                                                                                 3                                            5 5                                              40              1600                                              =                                              =                                         8     =               =                                            3 3                                              3                9                                         40 40           1600                                  1600                                                         1600                                                                                               8                                        8     = =             = =                                   9                                         3 3              9 9                                           1600                                           1600                                            9 9                           1 600                                                                           9                      1 600                     1 600                       9 9","5                  15                                                     40                      5 5                                                     40 40                     =                                                 8                                                    8     = =                                                 8                                                        40 =                   15 ==                   9                      3                                                      3                     = 9 9                                                     3                    9                         2                       40                         2 2 1600                            1600                      40 40                        = ( )                          2 =                            1600                       = ( = (                         15  5            =      = 15 15 = = 3 3 5 3 40 ) = ) = 1600 40    8     = 3 3                             9       =  =             = ( ) = 9 9                       3 3 8     =                       3  9  3                  3    9 3   2  40  1600       = ( ) =  3   9         Na stejné úvaze je založeno také algebraické řešení pomocí rovnice s jednou                neznámou. Jako neznámou můžeme označit délku strany světle šedého čtverečku.                Potom platí                    8     = 15 −                                                          8     = 15 −                                               8     = 15 −       −                                                     8     = 15                                              9     = 15                                              9     = 15                                               9     =                                              9     = 15  15                        8     = 15 −              5 55                                                   5                                                     =                                                    =      =                                                    =                                                   3                       9     = 15                 3 33                                                                1600                                               40 40                                                               1600                                               40 40          1600 1600                                                                        .                            5                                           8     =                                                                = = =                                                                                                                 8     = ==                Délka strany bílého čtverce je  8     8           a jeho obsah      =                                                3                                                                 9                             =                 3 3 3           9 9 9                            3                Odpověď U5: Obsah bílého čtverce je  16000    cm , což je přibližně 178 cm .                                                        2                                                                             2                                                 160                                                  1600                                                 1600                         40              1600      9 9 9                                                   9                     8     =                                          =                Je také potřeba udělat přibližnou kontrolu správnosti, kdy odmocníme 178 (či bez                        3                                          9                            1 600 ), výsledek 13,3 má odpovídat délce strany čtverce: 15 – 13,3 = 1,7,                kalkulačky  1600                           1 600                            1 600                            1 600                           9                všechny hodnoty odpovídají.                             9                             9                             9 9                Na základě svých zkušeností z předvýzkumu a rovněž na základě prostudované    1 600                literatury jsem se rozhodla strategie řešení rozlišovat dle sofistikovanosti následu-      9                jícím způsobem:                   •  Neřízený experiment (metoda pokusu a omylu): žák experimentálně pro-                      věřuje zadané vztahy, postupně se přibližuje výsledku, avšak nehledá mezi                      jednotlivými řešeními souvislost, která by mu umožnila řešení urychlit.                   •  Řízený experiment: žák experimentálně prověřuje zadané vztahy, po ně-                      kolika krocích si všimne určité zákonitosti, tu využije ke zrychlení řešení.                   •  Aritmetické řešení s grafickým znázorněním: žák využívá grafického                      znázornění k nalezení vzájemných vztahů, úlohu řeší numericky.                   •  Aritmetické řešení bez grafického znázornění: žák nalezne vztahy mezi                      veličinami bez obrázku, tj. jeho aritmetické představy jsou na vyšším stup-                      ni vývoje.                   •  Algebraické řešení: žák správně označí neznámé, sestaví rovnici či sou-                      stavu rovnic a tu správně vyřeší.                Poznámka: Můžeme si všimnout, že u aritmetických řešení je většinou nutné vní-                mat mnohem více vztahů než u ostatních metod řešení. Aritmetické řešení se                více opírá o číselné představy, algebraické řešení je oproti tomu mechaničtější.                Z tohoto pohledu by se aritmetické řešení mohlo zdát sofistikovanější než algeb-                raické. Algebraické řešení je však pro žáky náročnější na abstrakci a pokud se                algebraická strategie používá s porozuměním (tj. ne pouze v naučených krocích),                je toto řešení nejsofistikovanější.                – 4 – 5  PRŮBĚH VÝZKUMU                Testy jsem žákům zadávala buď sama, nebo je zadávali studenti učitelství, kteří                dostali podrobné instrukce, jak postupovat. Žáci test vyplňovali vždy ve škole,                a to buď v rámci hodiny matematiky, nebo stranou výuky během vyučování,                v několika případech po vyučování. Po napsání testu byl se všemi žáky proveden                                                                                 109                                                                              ┼","rozhovor, v němž žák popisoval, jak při řešení úloh uvažoval. Rozhovor vedl vý-         zkumník. Žáci byli dále dotazováni na náročnost úloh a to, zda se s podobnými         úlohami setkávají v hodinách matematiky.         Ve většině případů test psali jen vytipovaní žáci, úkolem výzkumníka bylo dozírat         na to, aby žáci pracovali samostatně, bez kalkulaček. V několika případech nechal         vyučující test psát celou třídu, protože ho zajímalo, jak budou žáci úspěšní v řeše-         ní a jaké strategie budou používat. Ke mně se ovšem dostaly pouze testy vytipo-         vaných žáků. Žáci mohli používat volné papíry, které odevzdávali spolu s testem.         Na vypracování dostali čas jedné vyučovací hodiny, měli možnost odevzdat         dříve, v některých případech o trochu později, doba řešení byla zaznamenávána.         Nejrychlejší žáci odevzdávali již po 14 minutách. Průměrně test řešili 39 minut,         setkala jsme se však s dobou řešení mnohem kratší i mnohem delší. Rozložení časů         můžeme sledovat na Obr. 65.                  70                                                 62; 38%               60                 50                                             45; 27%             Počet pozorování  40        31; 19%                 30                 20                                    17; 10%               10                                                       4; 2%                        2; 1%  1; 1%  2; 1%                    1; 1%                0                       10  15   20  25  30   35  40  45   50  55   60                                          Doba (min)                     Obr. 65 Graf závislosti počtu žáků na době řešení testu            K psaní testu byli žáci obvykle motivováni tím, že jim bylo sděleno, že byli vybráni         jako šikovní v matematice. Žáci se ve většině případů snažili nad úlohami přemýš-         let, najít řešení. V rozhovorech poté žáci často uváděli, že je úlohy zaujaly tím, že         jsou jiné, než které se řeší na hodinách matematiky. Úlohy z hodin popisovali jako         procvičování osvojeného algoritmu, zatímco u úloh z testu měli možnost přemýš-         let a hledat originální řešení, aniž by jim někdo přikázal, jak musí postupovat.           110             ┼","Žáci měli možnost klást učiteli v průběhu testování dotazy. Ptali se často na geo-                metrické úlohy, nezřídka na věci, které mohli vyčíst ze zadání. U úlohy 4 se na-                příklad často dotazovali, v jakých jednotkách jsou uvedené obsahy. Žákům bylo                na dotazy odpovězeno, nezabývala jsem se totiž čtenářskou gramotností, ale                strategiemi, které žáci volili k řešení.                V průběhu vyhodnocování jsem si žáky očíslovala a toto kódování dále používala                při kvalitativním zpracování dat.                  – 4 – 6  ANALÝZA DAT                  Jak již bylo řečeno, výzkum má smíšený charakter.                Data, tedy žákovská řešení, byla nejdříve zpracována co do úspěšnosti řešení.                Každou úlohu jsem bodovala body: 0 (neřešeno, špatně řešeno), 1 (částečně řešeno),                2 (správně vyřešeno). Zaznamenávala jsem použitou strategii řešení (na základě                analýzy úlohy a priori v oddílu 4.4) a všechny dostupné charakteristiky žáka, jak                bylo uvedeno výše. Vše jsem zaznamenávala do programu Statistica. Kvantitativ-                ní zpracování dat provedla paní doktorka Budíková.                Kromě deskriptivního popisu výsledků výzkumného souboru byly stanoveny také                hypotézy popisující vztah mezi různými charakteristikami. U každé z pěti úloh                bylo vysloveno následujících pět nulových hypotéz: H1 0. Úspěšnost v úloze nezá-                visí na typu školy. H2 0. Úspěšnost v úloze nezávisí na ročníku. H3 0. Úspěšnost                v úloze nezávisí na nadání. H4 0. Úspěšnost v úloze nezávisí na použité metodě                řešení. H5 0. Volba metody není závislá na nadání.                Při zpracování dat byla nejprve použita deskriptivní statistika, s jejíž pomocí byly                zjišťovány četnosti bodových hodnocení jednotlivých úloh, relativní četnosti,                aritmetický průměr a charakteristiky rozptýlení (rozptyl a směrodatná odchylka).                Byl proveden podrobný rozbor řešení jednotlivých úloh, ve kterém byla analyzo-                vána schopnost řešit danou aplikační úlohu a preferovaná strategie řešení.                Zjišťovala jsem reliabilitu didaktického testu, a to pomocí Cronbachova koeficien-                tu α.                Dále byla pro zjišťování vztahů mezi proměnnými použita statistika induktivní.                K ověření, zda rozdíl mezi realizacemi dvou statistik je statisticky významný,                tzn. rozdíl není způsoben jenom náhodnými vlivy, používáme testování statistic-                kých hypotéz. Statistickou hypotézou rozumíme jakýkoliv předpoklad o rozložení                pravděpodobnosti jedné nebo více náhodných veličin (Budíková et al., 2010).                Hypotézy, které se vztahovaly k porovnání určitých statistik, byly testovány po-                mocí testu nezávislosti chí-kvadrát. V případě, že rozložení dat nesplňovalo poža-                davek normality či homogenity rozptylu, byly použity neparametrické metody,                jako Kruskalův-Wallisův test nebo Mann-Whitneyův U test.                                                                                     111                                                                              ┼","Pro získané výsledky byla použita hladina významnosti p ≤ 0,05, což je v peda-         gogické metodologii standardně používaná hodnota. Znamená to, že riziko chyb-         ného přijetí nebo zamítnutí nulové hypotézy je 5 %.            – 4 – 7  KVANTITATIVNÍ ANALÝZA VÝSLEDKŮ          – 4 – 7 – 1  Úspěšnost žáků v úlohách          Každá z pěti testových úloh byla bodována body 0 (žák úlohu nevyřešil), 1 (žák         úlohu částečně vyřešil – např. se dopracoval k nějakému podstatnému mezivýsled-         ku nebo udělal numerickou chybu), nebo 2 (žák úlohu bezchybně vyřešil). Bylo         možné získat maximálně 10 bodů. Žáci v testu dosáhli průměrného výsledku         6,2 bodů. Přitom žáci základní školy obdrželi průměrně 6,1 bodů, žáci matema-         tické základní školy 6,9 bodů, žáci gymnázia 7,3 bodů a žáci matematického         gymnázia 6,1 bodů. Výsledky jsou znázorněny v krabicovém grafu na Obr. 66.                                     Krabicový graf dle skupin                                      Proměnná: Skóre               12                10                 8                  6              Skóre                4                 2                 0                 -2                                                 Medián                       ZŠ        Mat. ZŠ   Gymnázium  Mat. gymnázium                                                                   25%-75%                                      Typ školy                    Min-Max                 Obr. 66 Získaná skóre podle jednotlivých typů škol – krabicový graf           Reliabilitu testu jsem určila pomocí Cronbachova koeficientu α, který určuje dol-         ní hranici spolehlivosti testu. Platí pro něj vzorec                                                       2                                              ∑                                             =   (1 −      =1        )                                          − 1         2         112             ┼                       2             = 5, ∑            = 3,35,      = 2,52                   =1      ","         ∑          =1           2                                              =   (1 −      )                                                  − 1        2                kde k je počet úloh v testu, s  je rozptyl dosažených skóre i-té úlohy, s  je celkový                                                                           2                                        2                                        i                rozptyl dosažených skóre v testu. V pedagogickém výzkumu je obvykle poža-                dován koeficient reliability alespoň 0,8 (Štěpánek, 2009). U testů s počtem úloh                menším než 10 bývá však reliabilita nižší, nejvýše 0,6. V našem případě bylo                          2                     = 5, ∑          =1      = 3,35,      = 2,52  a Cronbachův koeficient α vyšel 0,59. Nízká relia-                                              bilita testu je způsobena malým počtem úloh a také tím, že se jedná o školsky                netypické úlohy, a není tudíž testována žádná konkrétní znalost nebo dovednost.                V případě nižšího koeficientu reliability nelze výsledky testu pokládat za spoleh-                livý ukazatel obecných jevů, ale test může dobře posloužit k diagnostikování                konkrétních nedostatků (Štěpánek, 2009). Celkové výsledky mého didaktického                testu je tedy nutné brát s rezervou, nebylo by například možné tvrdit, že matema-                ticky nadaní žáci dosahují v tomto testu lepších výsledků. Soustředím se však na                přístupy k řešení jednotlivých úloh a těžiště vyhodnocování bude v kvalitativní                analýze žákovských řešení.                Dva žáci ve vzorku obdrželi skóre 0 bodů, oba byli jedničkáři ze stejné základní                školy. Plného počtu bodů dosáhlo 14 žáků, z toho 9 ze základní školy, 2 z mate-                matické základní školy, 2 z gymnázia a 1 z matematického gymnázia. Musíme                mít však na paměti, že ve vzorku bylo pouze 8 žáků z matematické základní ško-                ly a 8 žáků ze všeobecného gymnázia.                Graf četností pro proměnnou Skóre je na Obr. 67.                         45                        40                              39; 24%                       35                                                                31; 19%                       30                     Počet pozorování  25     20; 12%      20; 12%                         20                        15                                                 14; 8%                                                   11; 7%                       10            9; 5%                            9; 5%                                          7; 4%                       5                            2; 1%  3; 2%                       0                             0    1   2    3    4   5    6    7   8    9   10                                                   Skóre                                 Obr. 67 Sloupkový diagram proměnné Skóre                                                                                    113                                                                              ┼","Úspěšnost žáků v jednotlivých úlohách je uvedena v Tab. 21.                       Tab. 21 Úspěšnost žáků v jednotlivých úlohách testu                              Úloha       Úspěšnost (v %)                              U1                72                              U2                85                              U3                41                              U4                71                              U5                21           – 4 – 7 – 2  Testování hypotéz          Zkoumání závislosti úspěchu v U1 na různých faktorech           1. Typ školy:         (3 kategorie: ZŠ – 89 žáků, mat. ZŠ a gymnázium – 15 žáků, mat. gymnázium –         54 žáků). Z důvodu malého počtu žáků ve skupině gymnázium a matematická ZŠ         byly tyto skupiny sloučeny (vznikla tak skupina o 16 žácích, lépe srovnatelná         počtem žáků s dalšími dvěma skupinami). Kvůli splnění podmínek dobré aproxi-         mace bylo vyloučeno 7 žáků, kteří úlohu 1 buď neřešili, nebo špatně pochopili         zadání, či ji vyřešili pouze částečně .                                       22                   Tab. 22 Procento úspěšných žáků podle jednotlivých typů škol                          Typ školy                Úspěch                          ZŠ                       69,05 %                          Mat. ZŠ a gymnázium.     66,67 %                          Mat. gymnázium.          92,59 %           Testování hypotézy o nezávislosti         H1 : Úspěšnost v U1 nezávisí na typu školy (3 kategorie).           0         H1 : Úspěšnost v U1 závisí na typu školy (3 kategorie).           1         Chí-kvadrát test nezávislosti zamítá nulovou hypotézu  (p-hodnota: 0,0009;                                                          23         Cramérův koeficient  = 0,2969).                          24         22   Bez tohoto zásahu by nebylo možné provést statistické výpočty. Vybráni byli jen ti žáci,            kteří se pokusili o řešení, řešili zadanou úlohu (tj. nepozměnili smysl zadání) a byli v úloze            buď úspěšní (2 b) nebo neúspěšní (0 b).         23   Hodnota testové statistiky = 13,9359; Počet stupňů volnosti = 2; p-hodnota = 0,0009; Cramérův            koeficient = 0,2969         24   Cramérův koeficient vyjadřuje intenzitu závislosti; 0 – nezávislost, 1 – závislost          114             ┼","Závislost mezi úspěchem v úloze 1 a typem školy je prokazatelná na hladině                významnosti 0,05. Při řešení U1 byli nejúspěšnější žáci matematického gymnázia,                jejichž úspěšnost byla více než 90 %.                  2. Ročník:                (4 kategorie: 6. ročník – 49 žáků, 7. ročník – 28 žáků, 8. ročník – 19 žáků, 9. roč-                ník – 62 žáků). Kvůli splnění podmínek dobré aproximace bylo vyloučeno 7 žáků,                kteří úlohu 1 vyřešili pouze částečně.                             Tab. 23 Procento úspěšných žáků v jednotlivých ročnících                                 Ročník                    Úspěch                                 6.                       71,43 %                                 7.                       50,00 %                                 8.                       78,95 %                                 9.                       87,10 %                  Testování hypotézy o nezávislosti                H2 : Úspěšnost v U1 nezávisí na ročníku.                   0                H2 : Úspěšnost v U1 závisí na ročníku.                   1                Chí-kvadrát test nezávislosti zamítá nulovou hypotézu  (p-hodnota: 0,0023;                                                                 25                Cramérův koeficient = 0,3033).                Závislost mezi úspěchem v úloze 1 a ročníkem je prokazatelná na hladině vý-                znamnosti 0,05. Nejvíce úspěšní byli při řešení úlohy 1 žáci 9. ročníku. Zajímavé                je, že žáci 6. ročníku dosáhli velmi obstojného výsledku a nejméně se dařilo žákům                7. ročníku. V kvalitativní analýze se pokusím najít příčinu.                 3. Nadání:                (3 kategorie: bez nadání – 79 žáků, všeob. nadání – 52 žáků, mat. nadání – 27 žáků).                Kvůli splnění podmínek dobré aproximace bylo vyloučeno 7 žáků, kteří úlohu 1                vyřešili pouze částečně.                                 Tab. 24 Procento úspěšných žáků podle nadání                                 Nadání                    Úspěch                                 Bez nadání               63,29 %                                 Všeob. nadání            84,62 %                                 Mat. nadání              88,89 %                   25   Hodnota testové statistiky = 14,533; Počet stupňů volnosti = 3; p-hodnota = 0,0023; Cramérův                   koeficient = 0,3033                                                                                  115                                                                              ┼","Testování hypotézy o nezávislosti         H3 : Úspěšnost v U1 nezávisí na nadání.            0         H3 : Úspěšnost v U1 závisí na nadání.           1         Chí-kvadrát test nezávislosti zamítá nulovou hypotézu  (p-hodnota: 0,0041;                                                          26         Cramérův koeficient = 0,2641).         Závislost mezi úspěchem v úloze 1 a nadáním je prokazatelná na hladině vý-         znamnosti 0,05. Nejvíce úspěšní byli při řešení úlohy 1 matematicky nadaní žáci.           4. Strategie řešení:         (3 kategorie: aritmeticky  – 69 žáků, algebraicky – 66 žáků, experimentem –                              27         18 žáků). Ze souboru bylo vyloučeno 12 žáků, kteří úlohu 1 buď neřešili, špatně         pochopili zadání či ji vyřešili pouze částečně.                   Tab. 25 Procento úspěšných žáků podle zvolené strategie řešení                          Strategie                Úspěch                          Aritmeticky              71,01 %                          Algebraicky              87,88 %                          Experimentem             61,11 %           Testování hypotézy o nezávislosti         H4 : Úspěšnost v U1 nezávisí na strategii.           0         H4 : Úspěšnost v U1 závisí na strategii.           1         Chí-kvadrát test nezávislosti zamítá nulovou hypotézu  (p-hodnota: 0,015;                                                           28         Cramérův koeficient = 0,2344).         Závislost mezi úspěchem v úloze 1 a strategií je prokazatelná na hladině význam-         nosti 0,05. Žáci, kteří zvolili algebraickou strategii, byli nejčastěji úspěšní.           5. Volba strategie v závislosti na nadání:         Nadání žáka: 3 varianty – bez nadání, všeobecné nadání, matematické nadání.         Strategie řešení: 4 varianty – aritmeticky (sloučeny varianty aritmeticky, aritme-         ticky pamětně, aritmeticky graficky), algebraicky, experimentem, neřešeno (slou-         čeny varianty nepochopil zadání, neřešeno).             26   Hodnota testové statistiky = 11,017; Počet stupňů volnosti = 2; p-hodnota = 0,0041; Cramérův            koeficient = 0,2641         27   Byly sloučeny varianty aritmeticky, aritmeticky pamětně a aritmeticky graficky.         28   Hodnota testové statistiky = 8,4028; Počet stupňů volnosti = 2; p-hodnota = 0,015; Cramérův            koeficient = 0,2344          116             ┼","H5 : Volba strategie při řešení U1 nezávisí na nadání žáka.                   0                H5 : Volba strategie při řešení U1 závisí na nadání žáka.                   1                          Tab. 26 Kontingenční tabulka simultánních četností a sloupcově                                     podmíněných relativních četností                                                Kontingenční tabulka                               Strategie U1     Bez     Všeob.      Mat.     Řádk.                                 upravené     nadání    nadání     nadání    součty                 Četnost       Aritmeticky      38        25         9         72                 Sloupc. četn.                46,34 %   45,45 %   32,14 %                 Četnost       Algebraicky      30        21         19        70                 Sloupc. četn.                36,59 %   38,18 %   67,86 %                 Četnost      Experimentem      11         7         0         18                 Sloupc. četn.                13,41 %   12,73 %    0,00 %                 Četnost        Neřešeno         3         2         0         5                 Sloupc. četn.                3,66 %     3,64 %    0,00 %                 Četnost        Vš. skup.       82        55         28       165                    Pearsonův chí-kvadrát test nezávislosti nezamítá nulovou hypotézu  na hladině                                                                          29                významnosti 0,05 (p-hodnota = 0,0914).                Z kontingenční tabulky (Tab. 26) je patrné, že žáci bez nadání a žáci všeobecně                nadaní nejčastěji volili aritmetickou metodu, zatímco matematicky nadaní žáci                nejčastěji použili algebraickou metodu. Rozdíly ale nejsou statisticky významné.                  Shrnutí výsledků pro U1                Úlohu 1 dokázalo bezchybně vyřešit 118 žáků, tj. 72 % žáků. 7 žáků ji vyřešilo                částečně. Patřila k jednodušším úlohám. Splňovala předpoklady vzhledem k typu                školy (nejvyšší úspěšnost pro matematické gymnázium), k ročníku (vyšší úspěšnost                v 8. a 9. ročníku) a vzhledem k nadání (nejúspěšnější byli matematicky nadaní                žáci). Osobně se domnívám, že se jedná o typ úlohy, který se běžně řeší na mate-                maticky zaměřených školách, avšak na některých základních školách se žáci                s úlohou podobné náročnosti nesetkávají. Při volbě algebraického řešení vzniká                školsky typická soustava rovnic, což je podle mého názoru důvod, proč byli úspěš-                nější žáci, kteří se rozhodli pro algebraickou strategii.                       29   Testová statistika Pearsonova chí-kvadrát testu nezávislosti: 10,9032; počet stupňů volnos-                   ti: 6; příslušná p-hodnota = 0,0914                                                                                  117                                                                              ┼","Zkoumání závislosti úspěchu v U2 na různých faktorech           1. Typ školy:         (3 kategorie: ZŠ – 93 žáků, mat. ZŠ a gymnázium – 16 žáků, mat. gymnázium –         55 žáků). Kvůli splnění podmínek dobré aproximace byl vyloučen 1 žák, který         úlohu 2 vyřešil pouze částečně.                    Tab. 27 Procento úspěšných žáků podle jednotlivých typů škol                          Typ školy                Úspěch                          ZŠ                       83,87 %                          Mat. ZŠ a gymnázium      87,50 %                          Mat. gymnázium           89,09 %          Testování hypotézy o nezávislosti         H6 : Úspěšnost v U2 nezávisí na typu školy (3 kategorie).           0         H6 : Úspěšnost v U2 závisí na typu školy (3 kategorie).           1         Chí-kvadrát test nezávislosti nezamítá nulovou hypotézu  (p-hodnota: 0,6653).                                                         30         Závislost mezi úspěchem v úloze 2 a typem školy není prokazatelná na hladině         významnosti 0,05. Můžeme konstatovat, že žáci ze všech typů škol byli srovnatel-         ně úspěšní.           2. Ročník:         (4 kategorie: 6. ročník – 50 žáků, 7. ročník – 31 žáků, 8. ročník – 19 žáků, 9. ročník         – 64 žáků). Kvůli splnění podmínek dobré aproximace byl vyloučen 1 žák, který         úlohu 2 vyřešil pouze částečně.                     Tab. 28 Procento úspěšných žáků v jednotlivých ročnících                           Ročník                   Úspěch                          6.                       70,00 %                          7.                       87,10 %                          8.                       94,74 %                          9.                       95,31 %                  30   Hodnota testové statistiky = 0,8152; počet stupňů volnosti = 2; p-hodnota = 0,6653; Cramérův            koeficient = 0,0705          118             ┼","Testování hypotézy o nezávislosti                H7 : Úspěšnost v U2 nezávisí na ročníku.                   0                H7 : Úspěšnost v U2 závisí na ročníku.                   1                Chí-kvadrát test nezávislosti zamítá nulovou hypotézu  (p-hodnota: 0,0009,                                                                 31                Cramérův koeficient = 0,3167).                Závislost mezi úspěchem v úloze 2 a ročníkem je prokazatelná na hladině vý-                znamnosti 0,05. Slabších výsledků dosáhli žáci 6. ročníku.                  3. Nadání:                (3 kategorie: bez nadání – 79 žáků, všeob. nadání – 52 žáků, mat. nadání – 27 žáků).                Kvůli splnění podmínek dobré aproximace bylo vyloučeno 7 žáků, kteří úlohu 2                vyřešili pouze částečně.                                Tab. 29 Procento úspěšných žáků podle nadání                                 Nadání                    Úspěch                                 Bez nadání               82,72 %                                 Všeob. nadání            85,45 %                                 Mat. nadání              96,43 %                 Testování hypotézy o nezávislosti                H8 : Úspěšnost v U2 nezávisí na nadání.                   0                H8 : Úspěšnost v U2 závisí na nadání.                   1                Chí-kvadrát test nezávislosti nezamítá nulovou hypotézu  (p-hodnota: 0,196).                                                                32                Závislost mezi úspěchem v úloze 2 a nadáním není prokazatelná na hladině vý-                znamnosti 0,05.                 4. Strategie řešení:                (3 kategorie: aritmeticky – 36 žáků, algebraicky – 77 žáků, experimentem –                43 žáků). Ze souboru bylo vyloučeno 9 žáků, kteří úlohu 2 buď neřešili, špatně                uvažovali či ji vyřešili pouze částečně.                        31   Hodnota testové statistiky = 16,4526; počet stupňů volnosti = 3; p-hodnota = 0,0009;                   Cramérův koeficient = 0,3167                32   Hodnota testové statistiky = 3,2635; počet stupňů volnosti = 2; p-hodnota = 0,196; Cramérův                   koeficient = 0,1411                                                                                  119                                                                              ┼","Tab. 30 Procento úspěšných žáků podle zvolené strategie                          Strategie                Úspěch                          Aritmeticky              83,33 %                          Algebraicky              90,91 %                          Experimentem             95,35 %          Testování hypotézy o nezávislosti         H9 : Úspěšnost v U2 nezávisí na strategii.            0         H9 : Úspěšnost v U2 závisí na strategii.           1         Chí-kvadrát test nezávislosti nezamítá nulovou hypotézu  (p-hodnota: 0,1917).                                                         33         Závislost mezi úspěchem v úloze 2 a strategií není prokazatelná na hladině vý-         znamnosti 0,05.           5. Volba strategie v závislosti na nadání:         Strategie řešení: 4 varianty – aritmeticky (sloučeny varianty aritmeticky, aritme-         ticky graficky), algebraicky, experimentem, neřešeno (sloučeny varianty špatná         úvaha, neřešeno).           H10 : Volba strategie při řešení U2 nezávisí na nadání.             0         H10 : Volba strategie při řešení U2 závisí na nadání.            1             Tab. 31 Kontingenční tabulka simultánních četností a sloupcově podmíněných                                   relativních četností                                         Kontingenční tabulka                        Strategie U2    Bez      Všeob.     Mat.      Řádk.                         upravené      nadání    nadání    nadání     součty         Četnost        Aritmeticky      17        12         7        36         Sloupc. četn.                20,73 %    21,82 %   25,00 %         Četnost        Algebraicky      36        23        19        78         Sloupc. četn.                43,90 %    41,82 %   67,86 %         Četnost                         26        15         2        43         Sloupc. četn.  Experimentem  31,71 %    27,27 %   7,14 %         Četnost         Neřešeno        3         5          0         8         Sloupc. četn.                 3,66 %    9,09 %    0,00 %         Četnost         Vš. skup.       82        55        28        165              33   Hodnota testové statistiky = 3,3032; počet stupňů volnosti = 2; p-hodnota = 0,1917; Cramé-            rův koeficient = 0,1455          120             ┼","Pearsonův chí-kvadrát test nezávislosti nezamítá nulovou hypotézu  na hladině                                                                          34                významnosti 0,05 (p-hodnota: 0,0679). Všechny tři skupiny žáků volily nejčastě-                ji algebraickou metodu řešení.                  Shrnutí výsledků pro U2                Úlohu 2 vyřešilo bezchybně 141 žáků, tj. 85 % žáků. Šlo o nejjednodušší úlohu,                v testu plnila motivační roli. Neodlišovala skupiny žáků, s výjimkou skupin roz-                dělených podle ročníků, kdy žáci 6. ročníku byli v řešení nejméně úspěšní, zřejmě                kvůli nižší matematické zkušenosti.                   Zkoumání závislosti úspěchu v U3 na různých faktorech                  1. Typ školy:                (3 kategorie: ZŠ – 91 žáků, mat. ZŠ a gymnázium – 16 žáků, mat. gymnázium –                54 žáků). Kvůli splnění podmínek dobré aproximace byli vyloučeni 4 žáci, kteří                úlohu 3 vyřešili pouze částečně.                           Tab. 32 Procento úspěšných žáků podle jednotlivých typů škol                                 Typ školy                 Úspěch                                 ZŠ                       42,86 %                                 Mat. ZŠ a gymnázium      43,75 %                                 Mat. gymnázium           40,74 %                  Testování hypotézy o nezávislosti                H11 : Úspěšnost v U3 nezávisí na typu školy (3 kategorie).                    0                H11 : Úspěšnost v U3 závisí na typu školy (3 kategorie).                    1                Chí-kvadrát test nezávislosti nezamítá nulovou hypotézu  (p-hodnota: 0,9613).                                                                35                Závislost mezi úspěchem v úloze 3 a typem školy není prokazatelná na hladině                významnosti 0,05.                          34   Testová statistika Pearsonova chí-kvadrát testu nezávislosti: 11,7453; počet stupňů volnos-                   ti: 6; příslušná p-hodnota = 0,0679                35   Hodnota testové statistiky = 0,0789; Počet stupňů volnosti = 2; p-hodnota = 0,9613                                                                                  121                                                                              ┼","2. Ročník:         (4 kategorie: 6. ročník – 49 žáků, 7. ročník – 30 žáků, 8. ročník – 19 žáků, 9. ročník         – 63 žáků). Kvůli splnění podmínek dobré aproximace byli vyloučeni 4 žáci, kte-         ří úlohu 3 vyřešili pouze částečně.                      Tab. 33 Procento úspěšných žáků v jednotlivých ročnících                          Ročník                   Úspěch                          6.                       18,37 %                          7.                       36,67 %                          8.                       52,63 %                          9.                       60,32 %           Testování hypotézy o nezávislosti         H12 : Úspěšnost v úloze 3 nezávisí na ročníku.             0         H12 : Úspěšnost v úloze 3 závisí na ročníku.            1         Chí-kvadrát test nezávislosti zamítá nulovou hypotézu  (p-hodnota: 0,0001;                                                          36         Cramérův koeficient = 0,3621).         Závislost mezi úspěchem v úloze 3 a ročníkem je prokazatelná na hladině vý-         znamnosti 0,05. V úloze byli nejméně úspěšní žáci 6. ročníku, kteří mohli k řeše-         ní vybrat pouze experimentální strategii. Vztahy v úloze jsou totiž příliš složité         pro řešení aritmetickou strategií. Žáci 9. ročníku byli v řešení nejúspěšnější. Měli         k dispozici experimentální strategii a také algebraickou strategii.           3. Nadání:         (3 kategorie: bez nadání – 81 žáků, všeob. nadání – 53 žáků, mat. nadání – 27 žáků).         Kvůli splnění podmínek dobré aproximace byli vyloučeni 4 žáci, kteří úlohu 3         vyřešili pouze částečně.                          Tab. 34 Procento úspěšných žáků podle nadání                           Nadání                   Úspěch                          Bez nadání               40,74 %                          Všeob. nadání            30,19 %                          Mat. nadání              70,37 %                 36   Hodnota testové statistiky = 21,1077; Počet stupňů volnosti = 3; p-hodnota = 0,0001; Cramérův            koeficient = 0,3621.          122             ┼","Testování hypotézy o nezávislosti                H13 : Úspěšnost v U3 nezávisí na nadání.                    0                H13 : Úspěšnost v U3 závisí na nadání.                    1                Chí-kvadrát test nezávisloti zamítá nulovou hypotézu  (p-hodnota: 0,0025;                                                                 37                Cramérův koeficient = 0,2729).                Závislost mezi úspěchem v úloze 3 a nadáním je prokazatelná na hladině vý-                znamnosti 0,05. V úloze byli nejúspěšnější žáci matematicky nadaní. Někteří z nich                mají s podobnými úlohami zkušenost z matematických soutěží, někteří se s nimi                setkávají ve výuce matematiky, některým umožnily rozsáhlé matematické před-                stavy úlohu vyřešit i bez předchozí zkušenosti.                  4. Strategie řešení:                (2 kategorie: algebraicky – 74 žáků, experimentem – 50 žáků). Ze souboru bylo                vyloučeno 41 žáků, kteří úlohu 3 neřešili či vyřešili pouze částečně.                              Tab. 35 Procento úspěšných žáků podle použité metody                                 Strategie                 Úspěch                                 Algebraicky              45,95 %                                 Experimentem             68,00 %                  Testování hypotézy o nezávislosti                H14 : Úspěšnost v U3 nezávisí na strategii.                    0                H14 : Úspěšnost v U3 závisí na strategii.                    1                Chí-kvadrát test nezávislosti zamítá nulovou hypotézu  (p-hodnota: 0,0000;                                                                 38                Cramérův koeficient = 0,5051).                Závislost mezi úspěchem v úloze 3 a metodou je prokazatelná na hladině význam-                nosti 0,05. V řešení byli úspěšnější ti žáci, kteří zvolili experimentální metodu.                Více než polovina žáků, kteří zvolili algebraickou metodu, nebyla schopna řešení                dovést do úspěšného konce. Důvod tohoto jevu se pokusím najít v kvalitativní                analýze.                 5. Volba strategie v závislosti na nadání:                Strategie řešení: 3 varianty – algebraicky, experimentem, neřešeno                    37   Hodnota testové statistiky = 11,9871; počet stupňů volnosti = 2; p-hodnota = 0,0025; Cramérův                   koeficient = 0,2729.                38   Hodnota testové statistiky = 41,0749; počet stupňů volnosti = 2; p-hodnota = 0,0000; Cramérův                   koeficient = 0,5051.                                                                                  123                                                                              ┼","H15 : Volba strategie řešení U3 nezávisí na nadání.             0         H15 : Volba strategie řešení U3 závisí na nadání.            1             Tab. 36 Kontingenční tabulka simultánních četností a sloupcově podmíněných                                   relativních četností                                        Kontingenční tabulka                                        Bez      Všeob.     Mat.      Řádk.                        Strategie U3                                       nadání    nadání    nadání     součty         Četnost         Neřešeno        21        13         3        37         Sloupc. četn.                25,61 %    23,64 %   10,71 %         Četnost                         27        27        22        76         Sloupc. četn.  Algebraicky   32,93 %    49,09 %   78,57 %         Četnost        Experiment       34        15         3        52         Sloupc. četn.                41,46 %    27,27 %   10,71 %         Četnost         Vš. skup.       82        55        28        165                                                                    39         Pearsonův chí-kvadrát test nezávislosti zamítá nulovou hypotézu  na hladině         významnosti 0,05 (p-hodnota = 0,001).         Z kontingenční tabulky (Tab. 36) je zřejmé, že žáci bez nadání nejčastěji k řešení         volili experimentální strategii, žáci nadaní a matematicky nadaní nejčastěji volili         algebraickou strategii.           Shrnutí výsledků U3         Úlohu 3 vyřešilo správně 68 žáků, tj. 41 % žáků. Úloha byla náročná pro všech-         ny skupiny žáků, ale dobře odlišovala matematicky nadané žáky od jinak nadaných         a ostatních žáků. Osobně ale soudím, že tito žáci měli větší úspěch v důsledku         rozsáhlejší zkušenosti s uvedeným typem úloh. Někteří z nich se s tímto typem         úloh mohli setkat ve škole (největší kumulace matematicky nadaných žáků byla na         víceletých gymnáziích se zaměřením na výuku matematiky) nebo také při řešení         Matematické olympiády. Žáci byli úspěšnější v případě, že k řešení vybrali expe-         rimentální strategii. V algebraické strategii řada z nich selhávala, a to i přesto, že         se nejčastěji jednalo o žáky 9. ročníku, kteří mají příslušné učivo probráno.         Z hlediska výběru strategie volili nenadaní žáci nejčastěji experimentální strategii         a matematicky nadaní žáci ve velké většině volili algebraickou strategii.                39   Testová statistika Pearsonova chí-kvadrát testu nezávislosti: 18,4583; počet stupňů volnos-            ti: 4; příslušná p-hodnota = 0,001.          124             ┼","Zkoumání závislosti úspěchu v U4 na různých faktorech                  1. Typ školy:                (3 kategorie: ZŠ – 89 žáků, mat. ZŠ a gymnázium – 14 žáků, mat. gymnázium –                53 žáků). Kvůli splnění podmínek dobré aproximace bylo vyloučeno 9 žáků, kte-                ří úlohu 4 vyřešili pouze částečně.                           Tab. 37 Procento úspěšných žáků podle jednotlivých typů škol                                  Typ školy                 Úspěch                                 ZŠ                       79,78 %                                 Mat. ZŠ a gymnázium      100,00 %                                 Mat. gymnázium           60,38 %                  Testování hypotézy o nezávislosti                H16 : Úspěšnost v U4 nezávisí na typu školy (3 kategorie).                    0                H16 : Úspěšnost v U4 závisí na typu školy (3 kategorie).                    1                Chí-kvadrát test nezávislosti zamítá nulovou hypotézu  (p-hodnota: 0,0028;                                                                 40                Cramérův koeficient = 0,2749).                Závislost mezi úspěchem v úloze 4 a typem školy je prokazatelná na hladině                významnosti 0,05. V úloze excelovali žáci matematické základní školy a všeobec-                ného gymnázia. Nejméně úspěšní byli žáci matematického gymnázia. Žáci mate-                matického gymnázia se často pokoušeli k řešení přistupovat algebraicky, mnohdy                neúspěšně. Výsledky u žáků matematické základní školy a víceletého gymnázia                však mohou být ovlivněny malým počtem zkoumaných žáků.                  2. Ročník:                (4 kategorie: 6. ročník – 49 žáků, 7. ročník – 28 žáků, 8. ročník – 19 žáků, 9. roč-                ník – 60 žáků). Kvůli splnění podmínek dobré aproximace bylo vyloučeno 9 žáků,                kteří úlohu 4 vyřešili pouze částečně.                            Tab. 38 Procento úspěšných žáků v jednotlivých ročnících                                 Ročník                    Úspěch                                 6.                       65,31 %                                 7.                       89,29 %                                 8.                       84,21 %                                 9.                       73,33 %                   40   Hodnota testové statistiky = 11,7931; počet stupňů volnosti = 2; p-hodnota = 0,0028; Cramérův                   koeficient = 0,2749                                                                                  125                                                                              ┼","Testování hypotézy o nezávislosti         H19 : Úspěšnost v U4 nezávisí na ročníku.             0         H19 : Úspěšnost v U4 závisí na ročníku.            1         Chí-kvadrát test nezávislosti nezamítá nulovou hypotézu  (p-hodnota: 0,0916).                                                         41         Závislost mezi úspěchem v úloze 4 a ročníkem není prokazatelná na hladině         významnosti 0,05.           3. Nadání:         (3 kategorie: bez nadání – 79 žáků, všeob. nadání – 51 žáků, mat. nadání – 26 žáků).         Kvůli splnění podmínek dobré aproximace bylo vyloučeno 9 žáků, kteří úlohu 4         vyřešili pouze částečně.                          Tab. 39 Procento úspěšných žáků podle nadání                          Nadání                   Úspěch                          Bez nadání               82,28 %                          Všeob. nadání            70,59 %                          Mat. nadání              61,54 %          Testování hypotézy o nezávislosti         H18 : Úspěšnost v U4 nezávisí na nadání.            0         H18 : Úspěšnost v U4 závisí na nadání.            1         Chí-kvadrát test nezávislosti nezamítá nulovou hypotézu  (p-hodnota: 0,0716).                                                         42         Závislost mezi úspěchem v úloze 4 a nadáním není prokazatelná na hladině vý-         znamnosti 0,05. Lze si však všimnout zajímavého fenoménu, sice že žáci bez na-         dání byli v úloze 4 úspěšnější než žáci matematicky nadaní. Roli mohl sehrát fakt,         že mnoho matematicky nadaných žáků se úlohu pokusilo řešit algebraicky, ale         selhali.           4. Strategie řešení:         (3 kategorie: aritmeticky – 13 žáků, algebraicky – 17 žáků, aritmeticky pomocí         společných dělitelů – 109 žáků). Ze souboru bylo vyloučeno 26 žáků, kteří úlohu         4 buď neřešili, či vyřešili pouze částečně.              41   Hodnota testové statistiky = 6,4519; počet stupňů volnosti = 3; p-hodnota = 0,0916; Cramérův            koeficient = 0,2034         42   Hodnota testové statistiky = 5,2746; počet stupňů volnosti = 2; p-hodnota = 0,0716; Cramérův            koeficient = 0,1839          126             ┼","Tab. 40 Procento úspěšných žáků podle použité strategie                           Strategie                            Úspěch                           Aritmeticky                          30,77 %                           Algebraicky                          35,29 %                           Aritmeticky pomocí společných dělitelů  98,17 %                 Testování hypotézy o nezávislosti                H19 : Úspěšnost v U4 nezávisí na strategii.                    0                H19 : Úspěšnost v U4 závisí na strategii.                    1                Chí-kvadrát test nezávislosti zamítá nulovou hypotézu  (p-hodnota: 0,0000;                                                                 43                Cramérův koeficient = 0,7313).                Závislost mezi úspěchem v úloze 4 a metodou je prokazatelná na hladině význam-                nosti 0,05. Naprostá většina žáků, kteří zvolili aritmetickou metodu s využitím                společných dělitelů, byla v řešení úspěšná. Žáci, kteří zvolili algebraickou metodu                nebo jinou aritmetickou metodu, v přibližně 65 % selhali.                  5. Závislost volby strategie na nadání:                Strategie řešení: 4 varianty – aritmeticky, aritmeticky společný dělitel, algebraicky,                neřešeno.                H20 : Volba strategie při řešení U4 nezávisí na nadání.                    0                H20 : Volba strategie při řešení U4 závisí na nadání.                    1                   Tab. 41 Kontingenční tabulka simultánních četností a sloupcově podmíněných                                           relativních četností                                               Kontingenční tabulka                                                Bez     Všeob.     Mat.      Řádk.                               Strategie U4                                              nadání    nadání     nadání    součty                 Četnost        Neřešeno         8         6         3         17                 Sloupc. četn.                9,76 %    10,91 %   10,71 %                 Četnost       Aritmeticky      66        36        12        114                 Sloupc. četn.   spol. děl.   80,49 %   65,45 %   42,86 %                 Četnost                         1         5        13         19                 Sloupc. četn.  Algebraicky   1,22 %    9,09 %    46,43 %                 Četnost       Aritmeticky       7         8         0         15                 Sloupc. četn.                8,54 %    14,55 %    0,00 %                 Četnost        Vš. skup.       82        55        28        165                    43   Hodnota testové statistiky = 74,3348; počet stupňů volnosti = 2; p-hodnota = 0,0000; Cramérův                   koeficient = 0,7313                                                                                  127                                                                              ┼","Pearsonův chí-kvadrát test nezávislosti zamítá nulovou hypotézu  na hladině                                                                  44         významnosti 0,05 (p-hodnota = 0,0000).         Z kontingenční tabulky (Tab. 41) je patrné, že nenadaní žáci a všeobecně nadaní         žáci nejčastěji volili aritmetickou strategii, matematicky nadaní žáci nejčastěji         volili algebraickou strategii řešení.           Shrnutí výsledků U4         Úlohu 4 dokázalo správně řešit 117 žáků, tj. 71 % žáků. Předpokladem úspěchu         nebyl ani tak ročník nebo nadání, ale spíš volba strategie. Pokud žáci zvolili způ-         sob řešení založený na hledání společných dělitelů, byli téměř vždy úspěšní. Pokud         žáci zvolili algebraickou strategii, mnohdy selhali. Přitom algebraickou strategii         volili nejčastěji matematicky nadaní žáci.           Zkoumání závislosti úspěchu v U5 na různých faktorech           1. Typ školy:         (3 kategorie: ZŠ – 68 žáků, mat. ZŠ a gymnázium – 10 žáků, mat. gymnázium –         46 žáků). Kvůli možnosti porovnání s výsledky pro úlohy 1–4 bylo vyloučeno         41 žáků, kteří úlohu 5 vyřešili pouze částečně.                    Tab. 42 Procento úspěšných žáků podle jednotlivých typů škol                          Typ školy                Úspěch                          ZŠ                       30,88 %                          Mat. ZŠ a gymnázium      70,00 %                          Mat. gymnázium           15,22 %          Testování hypotézy o nezávislosti         H21 : Úspěšnost v U5 nezávisí na typu školy (3 kategorie).            0         H21 : Úspěšnost v U5 závisí na typu školy (3 kategorie).            1         Chí-kvadrát test nezávislosti zamítá nulovou hypotézu  (p-hodnota: 0,0018;                                                          45         Cramérův koeficient = 0,32).         Závislost mezi úspěchem v úloze 5 a typem školy je prokazatelná na hladině         významnosti 0,05. V úloze excelovali žáci matematické základní školy a všeobec-         ného gymnázia. Žáci z matematického gymnázia dosáhli nejslabšího výsledku.           44   Testová statistika Pearsonova chí-kvadrát testu nezávislosti: 46,3248; počet stupňů volnos-            ti: 6; příslušná p-hodnota = 0,0000         45   Hodnota testové statistiky = 12,6931; počet stupňů volnosti = 2; p-hodnota = 0,0018; Cramérův            koeficient = 0,32          128             ┼","Dále uvidíme, že tento fakt může souviset s preferovanou strategií. Stejně jako                v případě U4 se jednalo o školsky netypickou úlohu, na niž nejsou žáci na žádném                typu školy trénováni.                  2. Ročník:                (4 kategorie: 6. ročník – 32 žáků, 7. ročník – 20 žáků, 8. ročník – 14 žáků, 9. ročník                – 58 žáků). Kvůli splnění podmínek dobré aproximace bylo vyloučeno 41 žáků,                kteří úlohu 5 vyřešili pouze částečně.                             Tab. 43 Procento úspěšných žáků v jednotlivých ročnících                                 Ročník                    Úspěch                                 6.                        3,13 %                                 7.                       30,00 %                                 8.                       42,86 %                                 9.                       37,93 %                  Testování hypotézy o nezávislosti                H22 : Úspěšnost v U5 nezávisí na ročníku.                    0                H22 : Úspěšnost v U5 závisí na ročníku.                    1                                                                 46                Chí-kvadrát test nezávislosti zamítá nulovou hypotézu  (p-hodnota: 0,0027;                Cramérův koeficient = 0,3379).                Závislost mezi úspěchem v úloze 5 a ročníkem je prokazatelná na hladině vý-                znamnosti 0,05. U žáků 6. ročníku se jako nepřekonatelný problém ukázaly ope-                race se zlomky, které ještě nemají dostatečně probrané.                  3. Nadání:                (3 kategorie: bez nadání – 57 žáků, všeob. nadání – 43 žáků, mat. nadání – 24 žá-                ků). Kvůli splnění podmínek dobré aproximace bylo vyloučeno 41 žáků, kteří                úlohu 5 vyřešili pouze částečně.                                 Tab. 44 Procento úspěšných žáků podle nadání                                 Nadání                    Úspěch                                 Bez nadání               29,82 %                                 Všeob. nadání            23,26 %                                 Mat. nadání              33,33 %                    46   Hodnota testové statistiky = 14,1591; počet stupňů volnosti = 3; p-hodnota = 0,0027; Cramérův                   koeficient = 0,3379                                                                                  129                                                                              ┼","Testování hypotézy o nezávislosti         H23 : Úspěšnost v U5 nezávisí na nadání.             0         H23 : Úspěšnost v U5 závisí na nadání.             1         Chí-kvadrát test nezávislosti nezamítá nulovou hypotézu  (p-hodnota: 0,636).                                                         47         Závislost mezi úspěchem v úloze 5 a nadáním není prokazatelná na hladině vý-         znamnosti 0,05.           4. Strategie řešení:         (3 kategorie: aritmeticky – 30 žáků, algebraicky – 18 žáků, odhadem – 26 žáků).         Ze souboru bylo vyloučeno 91 žáků, kteří úlohu 5 neřešili vůbec či vyřešili pouze         částečně.                     Tab. 45 Procento úspěšných žáků podle zvolené strategie                      Strategie                    Úspěch                      Aritmeticky                  46,67 %                      Algebraicky                  66,67 %                      Odhadem                      34,62 %          Testování hypotézy o nezávislosti         H24 : Úspěšnost v U5 nezávisí na strategii.             0         H24 : Úspěšnost v U5 závisí na strategii.             1         Chí-kvadrát test nezávislosti nezamítá nulovou hypotézu  (p-hodnota: 0,1113).                                                         48         Závislost mezi úspěchem v úloze 5 a strategií není prokazatelná na hladině vý-         znamnosti 0,05.           5. Závislost volby strategie na nadání:         Strategie řešení: 4 varianty – aritmeticky, algebraicky, odhadem, neřešeno (slou-         čeny varianty špatná úvaha, špatně přečtené zadání, neřešeno).          H25 : Volba strategie při řešení U5 nezávisí na nadání.             0         H25 : Volba strategie při řešení U5 závisí na nadání.             1               47   Hodnota testové statistiky = 0,9052; počet stupňů volnosti = 2; p-hodnota = 0,636; Cramérův            koeficient = 0,0854         48   Hodnota testové statistiky = 4,3915; počet stupňů volnosti = 2; p-hodnota = 0,1113; Cramérův            koeficient = 0,2436          130             ┼","Tab. 46 Kontingenční tabulka simultánních četností                                a sloupcově podmíněných relativních četností                                                Kontingenční tabulka                               Strategie U5     Bez     Všeob.     Mat.      Řádk.                                 upravené     nadání    nadání     nadání    součty                 Četnost       Aritmeticky      24        15         7         46                 Sloupc. četn.                29,27 %   27,27 %   25,00 %                 Četnost       Algebraicky       7         5        12         24                 Sloupc. četn.                8,54 %    9,09 %    42,86 %                 Četnost        Odhadem         31        13         0         44                 Sloupc. četn.                37,80 %   23,64 %    0,00 %                 Četnost        Neřešeno        20        22         9         51                 Sloupc. četn.                24,39 %   40,00 %   32,14 %                 Četnost        Vš. skup.       82        55        28        165                  Pearsonův chí-kvadrát test nezávislosti zamítá nulovou hypotézu  na hladině                                                                          49                významnosti 0,05 (p-hodnota = 0,00001).                Matematicky nadaní žáci byli jedinou skupinou žáků, která u této úlohy volila                převážně algebraickou strategii. Mnoho matematicky nadaných žáků však úlohu                také nechalo zcela bez řešení.                  Shrnutí výsledků U5                Úlohu 5 dokázalo správně vyřešit 35 žáků, tj. 21 % žáků. Dalších 41 % žáků                úlohu vyřešilo částečně, což nejčastěji znamenalo, že dokázali určit délku strany                nejmenšího čtverce. Úloha byla pro žáky velmi náročná ze dvou důvodů. V prvé                řadě se jim špatně hledaly vztahy mezi jednotlivými délkami. Dále byl pro mnoho                žáků velkým problémem výskyt zlomků. Úloha byla ze všech nejnáročnější. Vět-                ší úspěšnost měli žáci, kteří použili algebraickou strategii řešení.                Algebraickou strategii řešení nejčastěji volili matematicky nadaní žáci. Tato sku-                pina byla v řešení nejúspěšnější, ale nijak výrazně.                  – 4 – 7 – 3  Provádění zkoušek správnosti                Většina žáků zkoušky vůbec neprováděla, jak je patrné z Tab. 47. Žáci v rozhovorech                často uváděli, že vyučující zkoušky také nedělá, nevyžaduje to po nich. Objevovaly                se však i tyto odpovědi: „Paní učitelka po nás chce, abychom dělali zkoušky. Ale já                     49   Testová statistika Pearsonova chí-kvadrát testu nezávislosti: 32,8203; počet stupňů volnos-                   ti: 6; příslušná p-hodnota = 0,00001                                                                                  131                                                                              ┼","nechci, bojím se je dělat, protože většinou v nich udělám chybu, a to mě úplně roz-         hodí.“ Nebo: „Zkoušku nedělám, zbytečně mě zdržuje. Když mi to vyjde pěkně,         zkoušku prostě nedělám.“ „Pěkný“ výsledek je pro žáky celé číslo, neboť s celým         číslem ve výsledku je koncipována většina úloh řešených na základní škole.         Část žáků v rozhovoru uvedla, že zkoušku provádí u některých úloh pouze v duchu.         Z testu to tedy patrné nebylo.                                  Tab. 47 Provádění zkoušky                                         Tabulka četností: Zkoušky                 Kategorie              Četnost      Relativní četnost (%)                 Neprovedena              106              64,2                 V duchu                  31               18,8                 Provedena                28               17,0            – 4 – 7 – 4  Shrnutí výsledků         Získané výsledky pro jednotlivé úlohy uvedu souhrnně v jedné tabulce. V Tab. 48         vidíme, že u každé úlohy se projevily jiné závislosti mezi sledovanými kategorie-         mi. Jako nejméně vhodná pro testování nadání se jeví úloha 2, u níž úspěšnost         závisela pouze na ročníku. V tomto případě můžeme zřejmě sledovat souvislost         s vybaveností matematickým aparátem u žáků jednotlivých ročníků. Úloha byla         pro žáky jednoduchá a v testu plnila motivační roli. Jako relevantní z hlediska         testování nadání se jeví úloha 1, u níž se potvrdily všechny hypotézy. Umožňova-         la žákům použít strategii aritmetickou, experimentální i algebraickou. Mnoho         žáků, zejména vyšších ročníků, zvolilo algebraickou strategii. Vzhledem k tomu,         že vznikla jednoduchá a školsky typická soustava rovnic, žáci ji většinou byli         schopni řešit bez chyby. Úspěšnost v úloze 3 závisela na ročníku, nadání a velmi         silná závislost se objevila u zvolené strategie řešení. Tato úloha je specifická tím,         že žák buď zná tento typ úloh (tyto úlohy se např. často vyskytují v matematických         soutěžích) a pak celkem mechanicky použije algebraický postup, nebo se s tímto         typem úlohy nesetkal a pak nejčastěji volí experiment, pokud se o řešení vůbec         pokusí. Nalezení algebraických vztahů je totiž pro nezkušeného řešitele náročné.         Z tohoto důvodu byli nejúspěšnější ti žáci, kteří postupovali experimentálně.         Zajímavé výsledky jsem obdržela u úlohy 4, u níž úspěšnost velmi silně závisela         na volbě strategie. Nejúspěšnější byli žáci, kteří zvolili aritmetickou strategii za-         loženou na hledání společných dělitelů. Selhávali žáci 9. ročníku, kteří postupo-         vali algebraicky. Vzniklá soustava rovnic totiž není školsky typická. Algebraický         postup nejčastěji volili matematicky nadaní žáci a žáci matematického gymnázia.         Úloha 5 byla pro žáky velmi náročná. Prokázala se u ní závislost úspěšnosti na         ročníku, avšak zejména z toho důvodu, že v úloze se objevují operace se zlomky,         které zatím žáci 6. ročníku nemají probrané. Dále se prokázala závislost na typu         školy, nejúspěšnější byli žáci všeobecného gymnázia.          132             ┼","Tab. 48 Souhrnné výsledky pro zkoumané závislosti                                                     Úloha                 Faktor                                1           2          3           4           5                            p = 0,0034  p = 0,6653  p = 0,9613  p = 0,0028  p = 0,0018                 Typ školy                            V = 0,2725  V = 0,0705  V = 00221  V = 0,2749  V = 0,3200                            p = 0,0023  p = 0,0009  p = 0,0001  p = 0,0916  p = 0,0027                 Ročník                            V = 0,3033  V = 0,3167  V = 0,3621  V = 0,2034  V = 0,3379                            p = 0,0041  p = 0,1960  p = 0,0025  p = 0,0716  p = 0,6360                 Nadání                            V = 0,2641  V = 0,1411  V = 0,2729  V = 0,1839  V = 0,0854                 Strategie   p = 0,0150  p = 0,1917  p = 0,0000  p = 0,0000  p = 0,1113                 řešení     V = 0,2344  V = 0,1455  V = 0,5051  V = 0,7313  V = 0,2436                 Úspěšnost    71,5 %     85,5 %      41,2 %      70,9 %     21,2 %                  Legenda:                p … p-hodnota testu nezávislosti                V … Cramérův koeficient (nabývá hodnot mezi 0 a 1, čím je bližší 1, tím je silněj-                ší závislost mezi dvěma sledovanými proměnnými)                Zvýrazněná políčka jsou u těch faktorů, kde se na hladině významnosti 0,05 pro-                kázala závislost s úspěšností řešení příslušné úlohy.                Algebraické postupy byly pro žáky výhodné v úloze 1, kdy bylo poměrně jedno-                duché sestavit soustavu rovnic a také řešení soustavy bylo jednoduché. V dalších                případech bylo použití algebraické metody pro žáky spíše kontraproduktivní.                Algebraický postup je pro mnoho žáků mechanická záležitost. Žáci jsou mnohdy                schopni osvojit si algebraické postupy u typizovaných úloh, které se probírají ve                škole. Postup přitom ovládají krok po kroku, aniž by si uvědomovali vztahy mezi                neznámými. To se projeví u úloh, které nejsou školsky typické a u nichž žák ne-                dokáže využít mechanicky naučený postup.                  Úspěšnost kategorií sledovaných faktorů v jednotlivých úlohách                V Tab. 49 můžeme porovnat, která kategorie byla u jednotlivých úloh a faktorů                nejúspěšnější. U nejúspěšnější kategorie je vždy uveden také procentuální výsledek                úspěšnosti. Například v případě nadání vidíme, že nejčastěji byli nejúspěšnější                matematicky nadaní žáci, i když ve většině případů ne tak výrazně, jak bychom                očekávali. Z ročníků měly největší úspěšnost 8. a 9. ročník, což je způsobeno vět-                ší vybaveností matematickým aparátem a větší zkušeností. Přestože se jednalo                o algebraické úlohy, nebyly algebraické strategie zdaleka u všech úloh ty nejspo-                lehlivější. Z toho bychom se měli ve výuce matematiky ponaučit a mít na mysli,                že je s žáky potřeba projít všechny stupně řešení úloh, od experimentálních přes                                                                                    133                                                                              ┼","aritmetické až po algebraické. I poté, co žáci dostanou k dispozici algebraickou         strategii, by měli být stále vedeni k používání celého spektra strategií, protože         někdy mohou být pro žáky výhodnější ty strategie, které vnímáme jako méně so-         fistikované.                Tab. 49 Úspěšnost kategorií sledovaných faktorů v jednotlivých úlohách         Faktor     Úloha 1     Úloha 2       Úloha 3     Úloha 4    Úloha 5         Typ       Mat. gym.,   Mat. gym.,     Gym.,      Mat. ZŠ,   Gym.,         školy      90,91 %     89,09 %       50,00 %      100 %     62,50 %          Ročník    9. ročník,   8. ročník,   9. ročník,   8. ročník,  9. ročník,                    83,08 %     94,74 %       58,46 %     84,21 %    33,85 %                  Mat. nadání,  Mat. nadání,  Mat. nadání,  Bez nadání, Mat. nadání,         Nadání                    85,71 %     96,43 %       67,86 %     79,27 %    28,57 %                  Algebraicky, Experimentem, Experimentem,  Ar. SD,  Algebraicky,         Strategie                    82,86 %     95,35 %       67,86 %     93,86 %    50,00 %             – 4 – 8  KVALITATIVNÍ ANALÝZA VÝSLEDKŮ          V tomto oddíle se budu zabývat kvalitativní analýzou přístupů žáků jednotlivých         ročníků k řešení u jednotlivých úloh.           – 4 – 8 – 1  Postupy volené žáky u jednotlivých úloh         Postupy volené žáky v U1                   Tab. 50 Úspěšnost žáků v U1 vzhledem k ročníku a volené strategii                                  6. ročník  7. ročník   8. ročník  9. ročník         1 – vyřešil              1     0     1    0     1     0    1     0         0 – nevyřešil         Experimentálně           4     0     5    4     0     0    4     0         Aritmeticky pamětně      0     4     0    2     1     0    0     0         Aritmeticky              26    9     9    7     8     1    4     4         Aritmeticky s grafickým         znázorněním              1     0     0    1     0     0    0     0         Algebraicky              4     1     0    2     6     3    48    6         Nepochopeno zadání       0     1     0    1     0     0    0     0         Neřešeno                 0     0     0    0     0     0    0     1         Celkem                   35    15   14    17    15    4    56    11           134             ┼","U žáků 6. ročníku se nejčastěji objevila aritmetická metoda, jako je tomu na Obr. 68.                Žák postupoval aritmeticky, a to tak, že od 10 000 odečetl 6 666, výsledek vydělil                dvěma, a tím získal menší z čísel. Druhé z čísel získal sečtením tohoto výsledku                a čísla 6 666. V uvedeném případě žák provedl také zkoušku jednoho ze zadaných                údajů, a to součet výsledků, který má činit 10 000. Přepokládám, že za zkoušku                druhého z údajů považoval součet 6 666 + 1 667. Provádění zkoušek byla výjimka,                naprostá většina žáků zkoušky neprováděla.                                                  Obr. 68 Nejčastěji použitá aritmetická strategie.                                    Bystrý žák, 6. ročník, MZŠ (žák 71)                  Ojediněle jsem se setkala také s poněkud odlišným způsobem uvažování, jak                je vidět na Obr. 69. Žák uvažoval tak, že polovina z 10 000 je 5 000 a polovina                z 6 666 je 3 333. Když tedy jednou k 5 000 přičteme 3 333 a podruhé od čísla 5 000                odečteme 3 333, dostaneme hledaná čísla. Zde můžeme sledovat neúhledný                a neurovnaný zápis, úvahy nejsou postupně zapisovány, spíše je nahodile zachy-                cován tok myšlenek. V rámci jednoho sloupce je provedena část výpočtu a také                část zkoušky.                                                   Obr. 69 Neobvyklý aritmetický postup.                       Všeobecně nadaný žák, nediagnostikovaný, 6. ročník, MG (žák 120)                                                                                   135                                                                              ┼","Pouze v jednom případě byla aritmetická představa podpořena grafickým znázor-         něním (Obr. 70). Žák začíná algebraickým zápisem, avšak pokračuje aritmeticky.                                     Obr. 70 Aritmetické řešení podpořené grafickým znázorněním.                             Bystrý žák, 6. ročník, MG (žák 121)           Žáci 6. ročníku v několika případech využili také experimentální metodu řešení.         Tato metoda se však obvykle bohužel vyznačovala velkou nahodilostí, jak je také         vidět na Obr. 71. Žák na něm nejdříve zkoušel vyjít ze zadaných čísel a prováděl         s nimi různé operace. Pokusy však nevedly k cíli. Po určité době se rozhodl expe-         rimentovat. Začal čísly 8 000 a 2 000. Rozdíl těchto čísel neodpovídal požadavku,         začal tedy čísla měnit. Vydal se ale nesprávným směrem, číslo 8 000 zmenšoval         a číslo 2 000 zvětšoval. Nakonec úlohu ponechal nevyřešenou.                                                Obr. 71 Pokus o experimentální řešení.                              Bystrý žák, 6. ročník, G (žák 60)               136             ┼","U žáků 6. ročníku jsem se setkala také s korektním algebraickým řešením, jak                vidíme na Obr. 72. Je však poznat, že žák nemá zatím osvojen postup řešení sou-                stavy rovnic, který se vyučuje na základní škole. Žák nejdříve odečetl rozdíl od                součtu, odtud určil hodnotu b. Poté ze součtu vyjádřil neznámou a a po dosazení                b získal výsledek.                                                          Obr. 72 Algebraické řešení.                       Všeobecně nadaný žák, nediagnostikovaný, 6. ročník, MG (žák 112)                  Také na Obr. 73 můžeme sledovat algebraické řešení nadané žákyně 6. ročníku.                Ta vycházela z myšlenky, že pro jedno z čísel platí, že je rovno 10 000 – x a sou-                časně 6 666 + x.                                                       Obr. 73 Algebraický postup.                     Všeobecně nadaná žákyně, nediagnostikovaná, 6. ročník, MG (žák 119)                  Řešení žáků 7. ročníku byla obdobná jako u žáků 6. ročníku. Na Obr. 74 vidíme                algebraické řešení žáka s nesprávným aritmetickým výpočtem a nesprávným                výsledkem. Jelikož nebyla provedena zkouška, chyba nebyla odhalena. Je ale nut-                no podotknout, že v tomto případě se jedná o chybu, která by s nejvyšší pravděpo-                dobností byla zopakována i ve zkoušce.                                                                                    137                                                                              ┼","Obr. 74 Algebraické řešení s numerickou chybou.                Matematicky nadaný žák, nediagnostikovaný, 7. ročník, ZŠ (žák 19)           Žák se na Obr. 75 snažil využít logickou úvahu a chtěl použít analogii s chováním         čísel nižších řádů. Bohužel myšlenku nedokázal dovést do konce. V rozhovoru         žák uvedl, že je pravidelným řešitelem Matematické olympiády. V této matema-         tické soutěži je od žáků vyžadováno, aby popisovali postup řešení. Je tedy vidět,         že tento požadavek měl na žáka vliv a přesahoval i do běžných hodin matematiky.                                              Obr. 75 Pokus o řešení analogií s čísly nižších řádů.                 Jedničkář, 7. ročník, ZŠ, řešitel Matematické olympiády (žák 22)           Někteří žáci hledali různé vztahy mezi čísly, ale nedokázali najít žádný, který by         je přivedl k řešení, jak vidíme na Obr. 76.           138             ┼","Obr. 76 Neúspěšný pokus o řešení. Jedničkář, 7. ročník, ZŠ (žák 63)                  V 8. ročníku úlohu vyřešilo správně 15 žáků, převažovala aritmetická strategie.                Úlohu nedokázali vyřešit 4 žáci.                Oproti nižším ročníkům zcela chyběla experimentální strategie. Aritmetická stra-                tegie byla zastoupena v podstatě stejně jako algebraická.                Na Obr. 77 žákyně volila algebraický způsob zápisu, kdy jako neznámou x ozna-                čila obě hledané hodnoty. To odpovídá prvnímu stupni přechodu od aritmetického                k algebraickému způsobu využívání písmen dle Rogerse a Novotné (2003): Řešitel                používá jedno písmeno k označení více neznámých, písmeno je pro něj označení                jakékoli obecné neznámé. Jak je patrné z Obr. 77, řešitel pod písmenem mnohdy                nevidí kvantitu. Žákyně dále pokračovala aritmeticky, ale s výpočtem si nepora-                dila.                             Obr. 77 Neúspěšný pokus o algebraické řešení. Jedničkářka, 8. ročník, ZŠ (žák 57)                  V 9. ročníku úlohu správně vyřešilo 54 žáků, nejčastěji algebraickou strategií.                U 9. ročníku již byl u některých žáků patrný mnohem přehlednější způsob zápisu                (viz Obr. 78), což je způsobeno tím, že učivo soustav rovnic o více neznámých                se probírá v 9. ročníku. Zkoušku žáci stále neprováděli, případně ji provedli jen                v duchu.                                                                                       139                                                                              ┼","Obr. 78 Korektně algebraicky vyřešená úloha.             Matematicky nadaná žákyně, nediagnostikovaná, 9. ročník, MG (žák 130)           I nadále jsem se setkávala s problémy při aritmetických výpočtech, podpořenými         tím, že žáci neprováděli zkoušku. Na Obr. 79 se žák dopustil chyb 10 000 – 6 666  =         = 4 444 a 10 000 – 2 222 = 8 888. Tento typ chyby by pravděpodobně nebyl odha-         len zkouškou.                                          Obr. 79 Algebraické řešení s numerickou chybou.                Všeobecně nadaný žák, nediagnostikovaný, 9. ročník, MG (žák 134)           Na Obr. 80 žák rovněž udělal chybu 10 000 – 6 666 = 4 444, ale přitom si správně         uvědomil, že 10 000 – 2 222 = 7 778.                     140             ┼","Obr. 80 Algebraické řešení s numerickou chybou.                           Nediagnostikovaný žák, logický typ, 9. ročník, ZŠ (žák 76)                  Nyní se mohu pokusit odpovědět na otázku, proč v U1 byli úspěšní žáci 9. ročníku                a nedařilo se žákům 7. ročníku. Když se podíváme do Tab. 50, vidíme, že žáci                9. ročníku nejčastěji používali algebraickou strategii a byli v ní úspěšní. Znalost                matematického aparátu jim tedy umožnila zdárné řešení úlohy. Žáci 7. ročníku ve                velkém procentu selhávali při aritmetickém, algebraickém i experimentálním                postupu. Osobně bych tomu nepřisuzovala význam, který by bylo potřeba zobec-                nit, jednalo se spíše o shodu náhod.                  Postupy volené žáky v U2                          Tab. 51 Úspěšnost žáků v U2 vzhledem k ročníku a volené strategii                                         6. ročník   7. ročník  8. ročník  9. ročník                 1 – vyřešil              1     0    1     0     1    0     1     0                 0 – nevyřešil                 Experimentálně          21     1    14    0     0    0     6     1                 Aritmeticky graficky     1     0    0     0     0    0     0     0                 Aritmeticky             12     3    8     2     5    1     4     0                 Algebraicky              1     5    5     0    13    0    51     3                 Špatná úvaha             0     1    0     1     0    0     0     0                 Neřešeno                 0     5    0     1     0    0     0     0                 Celkem                  35    15    27    4    18    1    61     4                  Úlohu správně vyřešilo 35 žáků 6. ročníku a převažovalo experimentální řešení.                Nejčastěji jsem se setkávala s aritmetickým postupem 95 : 19 = 5, 5 ∙ 6 = 30,                5 ∙ 12 = 60. V jednom případě byla tato úvaha opřena o grafické znázornění.                To vidíme na Obr. 81.                                                                                   141                                                                              ┼","Obr. 81 Aritmetické řešení s grafickým znázorněním.                             Bystrý žák, 6. ročník, MG (žák 121)           Objevilo se také řešení na pomezí aritmetické a experimentální strategie, vycháze-         jící z principu metody falešného předpokladu. Žákyně vycházela z poměru 1 : 6 : 12,         tento poměr rozšiřovala, až došla k součtu 95. Zajímavé je sledovat, jak žákyně         zdvojovala, a když hledaný součet přesáhla, vracela se k nižším hodnotám (Obr. 82).                                              Obr. 82 Úloha řešená řízeným experimentem.               Všeobecně nadaná žákyně, nediagnostikovaná, 6. ročník, ZŠ (žák 20)           Velmi častá byla v případě této úlohy experimentální strategie. Žáci si určovali         věk Jolanky a poté kontrolovali vztahy, několikrát se stalo, že zvolili věk 5 let hned         napoprvé – řekli si, že Jolance by mohlo být tak kolem 5 let. Na Obr. 83 vidíme,         jak se žák nejdříve pokusil zapsat algebraicky vztahy, poté se snažil najít nějakou         zákonitost a nakonec úlohu vyřešil metodou pokusu a omylu.            142             ┼","Obr. 83 Experimentálně vyřešená úloha. Bystrý žák, 6. ročník, MG (žák 112)                  Nezřídka se objevila i algebraická strategie. Na Obr. 84 vidíme správné označení                neznámé, sestavení rovnice a její vyřešení matematicky nadaným žákem 6. ročníku.                Provedl i zkoušku správnosti – prověřil součet věků a také poměry věků (5 ∙ 6 = 30,                5 ∙ 12 = 60).                                         Obr. 84 Úloha vyřešená pomocí jedné rovnice s jednou neznámou.                      Matematicky nadaný žák, nediagnostikovaný, 6. ročník, MG (žák 122)                  V 7. ročníku úlohu vyřešilo správně 27 žáků, převažovala experimentální strategie.                Většinou bohužel bylo experimentování nahodilé nebo postupné, avšak nebylo                systematicky zapisováno tak, aby z něj bylo možné rychleji určit výsledek. Jeden                žák opřel experimentování o logickou úvahu (číslo 95 je dělitelné pouze pěti – také                třinácti, ale toto číslo zjevně není ani jedním z věků) a díky tomu našel okamžitě                řešení (Obr. 85).                                                                                        143                                                                              ┼","Obr. 85 Úloha řešená neobvyklou logickou úvahou. Bystrý žák, 7. ročník, ZŠ (žák 10)           V některých případech bylo řešení postaveno na špatné úvaze. Například na Obr. 86         žák určil aritmetický průměr věků všech tří žen a s tímto číslem dále pracoval.         Dále pokračoval úvahou, neboť si uvědomil, že hledá celočíselný násobek čísla 6.         Aritmetickému průměru nejbližší násobek šesti je číslo 30. Pak už snadno dopo-         čítal ostatní hodnoty. Aritmetický průměr se však nevztahuje ani k jednomu hle-         danému číslu. Není jasné, co žáka vedlo k použití tohoto postupu, zda to nebyla         zkušenost z jiného typu úlohy, která se aritmetickým průměrem řešila ve škole.         Řešení je ukázkou případu, kdy nesprávná úvaha pomůže žákovi najít správný         výsledek. Při opravování takových řešení musí být učitel obzvláště obezřetný,         protože se může snadno stát, že nesprávnou úvahu přehlédne, řešení bude hodno-         tit jako korektní a žák nedostane zpětnou vazbu. Může se tím i utvrdit v přesvěd-         čení oprávněnosti svého postupu.                                               Obr. 86 Úloha řešená nesprávným postupem.                 Jedničkář, 7. ročník, ZŠ, řešitel Matematické olympiády (žák 22)           144             ┼","V 8. ročníku úlohu vyřešilo správně 18 žáků, převažovala algebraická strategie.                Rovnice o jedné neznámé se obvykle žáci učí řešit v 8. ročníku. Je patrné, že žáci                v případě této jednoduché úlohy ustupovali od experimentální strategie, a naopak                přibývá těch, kteří využívali algebraickou strategii. Několik žáků stále dalo před-                nost aritmetické strategie.                V 9. ročníku úlohu vyřešilo správně 61 žáků, převažovala algebraická strategie.                Žáci 9. ročníku nejčastěji volili řešení pomocí jedné rovnice s jednou neznámou                nebo také pomocí soustavy rovnic, jak je patrné na Obr. 87. Všimněme si, že žá-                kovi je bližší označení neznámých pomocí prvního písmene slova než standardní                značení x, y, z.                                                       Obr. 87 Úloha řešená soustavou rovnic.                      Matematicky nadaný žák, nediagnostikovaný, 9. ročník, MG (žák 146)                  Postupy volené žáky v U3                           Tab. 52 Úspěšnost žáků v U3 vzhledem k ročníku a volené strategii                                         6. ročník   7. ročník  8. ročník  9. ročník                 1 – vyřešil              1     0    1     0     1    0     1     0                 0 – nevyřešil                 Experimentálně           8     9    10    6     7    1     9     2                 Algebraicky              2     8    1     5     3    7    29    21                 Neřešeno                 0    23    0     9     0    1     0     4                 Celkem                  10    40    11   20    10    9    38    27                                                                                          145                                                                              ┼","Úlohu správně vyřešilo 10 žáků 6. ročníku, nejčastěji experimentální strategií.         40 žáků úlohu nezvládlo vyřešit, nejčastěji se ani nepokoušeli řešení hledat nebo         velmi rychle skončili po několika neúspěšných pokusech. Někteří učitelé se vyjá-         dřili k neúspěšnosti žáků 6. ročníku v této úloze. Jako argument uvedli, že žáci         ještě nemají probráno učivo o rovnicích, a proto úlohu nemohli řešit. Je zřejmé, že         v souvislosti s úlohou o nealgebraickém způsobu řešení vůbec neuvažovali.         Vzhledem k tomu, že se jedná o úlohu s náročnými vztahy a také dvěma časovými         hladinami, je pochopitelné, že žáci 6. ročníku nejčastěji volili experimentální         strategii. Bohužel, experimentování často nebylo řízené, a z tohoto důvodu mnoho         žáků řešení nenašlo nebo určilo špatné hodnoty, jak je vidět na Obr. 88. Opět je         nutné zopakovat, že absence zkoušky způsobila, že chyba nebyla odhalena.                                                    Obr. 88 Úloha řešená neřízeným experimentem.               Všeobecně nadaná žákyně, nediagnostikovaná, 6. ročník, ZŠ (žák 20)           Za částečně řízený experiment lze považovat řešení na Obr. 89. Žák začal určitým         věkem otce za 17 let (50 let) a dopočítal věk syna za 17 let (25 let). U obou ode-         četl 17 let a pro výsledné hodnoty pamětně kontroloval vztah o = 3s + 5. Nejdříve         snížil věk otce, poté jej začal zvyšovat, u hodnoty o = 49 pochopil, že věk otce za         17 let nemůže být liché číslo, a liché číslo již nezkoušel. Dopočítal se správných         hodnot, ale odpověď nezapsal.                 146             ┼","Obr. 89 Částečně řízený experiment.                                Bystrý žák, 6. ročník, ZŠ, řešitel MO (žák 21)                  Dva žáci 6. ročníku dokázali úlohu korektně algebraicky vyřešit. Oba byli nadaní                (jeden žák matematicky a jedna žákyně všeobecně). Na Obr. 90 vidíme řešení                žákyně 6. ročníku pomocí soustavy rovnic. V rozhovoru uvedla, že s rovnicemi se                už někde setkala (nedokázala přesně uvést kdy a jak), ale systematicky je s ní nikdo                neprobíral. Tomu odpovídá zápis, který není z hlediska řešení soustavy rovnic                zcela korektní. Přesto je výpočet bezchybný. Osobně se přikláním k variantě, že                se jedná o řešení na pomezí aritmetické úvahy a algebry, kdy žákyně zapisuje                zkráceně vztahy mezi veličinami (sestavení jedné rovnice ze dvou původních                rovnic), ale poté již postupuje algebraicky. Všimněme si, že výsledek není příliš                zvýrazněn.                                                     Obr. 90 Algebraické řešení úlohy.                     Všeobecně nadaná žákyně, nediagnostikovaná, 6. ročník, MG (žák 107)                                                                                       147                                                                              ┼","Lze si všimnout, že v případě U3 nebyla použita aritmetická strategie. To je po-         chopitelné vzhledem ke komplikovanosti vztahů. Opravdu je daleko jednodušší         označit neznámé a vytvořit rovnice nežli se pokoušet hledat vztahy na základě         úvahy. Aritmetická strategie nebyla využita ani u vyšších ročníků.         V 7. ročníku úlohu vyřešilo správně 11 žáků, nejčastěji experimentální strategií.         20 žáků úlohu nezvládlo vyřešit.         V 7. ročníku stále převládala experimentální strategie, častěji neřízená. V některých         školách se žáci seznamují s rovnicemi již v 7. ročníku, avšak zatím nedošlo ke         krystalizaci, a učivo je tudíž špatně využitelné. Žáci, kteří se o algebraické řešení         pokusili, vesměs selhali.         Originální řešení je uvedeno na Obr. 91, kde se žák pohybuje na pomezí logických         úvah a řízeného experimentu. Odpověď nicméně neudává správně, protože dotaz         byl na věk otce a syna „nyní“.                                                      Obr. 91 Experimentální řešení s použitím úvahy.                         Jedničkář, 6. ročník, ZŠ, řešitel MO (žák 22)           Několikrát jsem se setkala s vypisováním násobků 3 a pamětním prověřováním         vztahů, viz Obr. 92 (žák se dopustil pravopisné chyby ve slově „synovi“).                 148             ┼","Obr. 92 Experimentální řešení s využitím násobků.                                     Jedničkář, 7. ročník, ZŠ (žák 10)                  V 8. ročníku úlohu zvládlo vyřešit 10 žáků, u těchto úspěšných řešitelů stále pře-                važovala experimentální metoda. Úlohu nevyřešilo 9 žáků 8. ročníku, většina                z nich se pokusila o algebraické řešení. Ve 2. pololetí 8. ročníku by již většina žáků                měla mít probráno učivo o rovnicích a také slovní úlohy k nim vedoucí, avšak                soustavy rovnic zatím ne. U dané úlohy však bylo možné sestavit jednu rovnici                o jedné neznámé, jak jsme viděli dříve.                Žáci 9. ročníku vyřešili úlohu správně ve 38 případech, úlohu nevyřešilo 27 žáků,                v obou případech jednoznačně převažovala algebraická metoda.                 Ve druhém pololetí 9. ročníku již mají žáci probráno učivo soustav rovnic o více                neznámých. Ne všichni však dokážou efektivně tyto postupy aplikovat na slovní                úlohy. Zejména dynamické úlohy jsou pro ně náročné. Žáci mají problémy s urče-                ním neznámých, případně neznámé určí správně, ale nedokážou sestavit rovnice.                U některých žáků bylo patrné, že mají postup řešení U3 zautomatizovaný, postu-                pují v naučených krocích. Například na Obr. 93 vidíme postup žákyně 9. ročníku.                Uvedla, že podobné úlohy řešila při přípravě na přijímací zkoušky. U této žákyně                bylo patrné, že většinu postupů má osvojenu velmi mechanicky, avšak když nara-                zila na úlohu, se kterou se doposud nesetkala, nebyla schopna objevit řešení.                Žákyně uvádí také zkoušku, ale pouze zkoušku soustavy rovnic. Důležitější ze zkou-                šek, zkoušku slovní úlohy, neprovedla.                                                                                             149                                                                              ┼","Obr. 93 Algebraicky řešená úloha. Jedničkářka, 9. ročník, ZŠ (žák 27)           Na Obr. 94 je ukázka řešení žáka s Aspergerovým syndromem. Jeho specifikem         byla vysoká rychlost řešení a menší schopnost provádět zápisy přehledným způ-         sobem. Tento žák navštěvoval Montessori třídu v rámci základní školy, což pro něj         bylo výhodné z toho hlediska, že mohl v matematice postupovat vlastním tempem.                                                   Obr. 94 Algebraické řešení pomocí soustavy rovnic.              Matematicky nadaný žák, nediagnostikovaný, 9. ročník, ZŠ, AS (žák 18)           150             ┼","Často jsem se setkala se špatnou úvahou, která vedla k sestavení soustavy rovnic,                při jejichž vyřešení žák získal správný výsledek (Obr. 95). Druhá rovnice by měla                být správně ve tvaru 2 (x + 17) = y + 17.                                                     Obr. 95 Algebraické řešení se špatně sestavenou rovnicí.                                    Jedničkářka, 9. ročník, ZŠ (žák 17)                  Někteří žáci uvedli, že uvedený typ úlohy znají z hodin matematiky, někdy z Ma-                tematické olympiády nebo přijímacích zkoušek. Mnozí žáci ale sdělili, že s podob-                nou úlohou se poprvé setkali až v tomto testu.                Nyní mohu odpovědět na otázku, proč žáci, kteří zvolili algebraické řešení, byli                v nadpoloviční většině neúspěšní. Hlavním problémem bylo pro žáky sestavení                rovnice nebo soustavy rovnic.                  Postupy volené žáky v U4                         Tab. 53 Úspěšnost žáků v U4 podle ročníku a podle volené strategie                                          6. ročník   7. ročník  8. ročník  9. ročník                 1 – vyřešil              1     0    1     0     1    0     1     0                 0 – nevyřešil                 Aritmeticky (SD)        30     3    24    2    16    0    37     2                 Aritm. (jinak)           2     7    1     2     0    1     1     1                 Algebraicky              0     0    0     0     0    0     6    13                 Neřešeno                 0     8    0     2     0    2     0     5                 Celkem                  32    18    25    6    16    3    44    21                                                                                   151                                                                              ┼","Úlohu správně vyřešilo 32 žáků 6. ročníku, všichni aritmeticky. Úlohu nevyřešilo         18 žáků. Nejčastěji použitým postupem bylo hledání společných dělitelů dvojic         čísel 18 a 27, 18 a 54. Žáci, kteří zvolili tento postup, měli vysokou úspěšnost.         Žák na Obr. 96 provedl prvočíselné rozklady zadaných čísel; udělal chybu v roz-         kladu čísla 54, nicméně výsledek to neovlivnilo. Zapsal pouze číselný výsledek,         neuvedl odpověď s jednotkou.                                     Obr. 96 Aritmetické řešení založené na hledání společných dělitelů.                              Bystrý žák, 6. ročník, G (žák 5)           Žáci používali i jiné aritmetické postupy, někdy úspěšně, někdy méně úspěšně.         Na Obr. 97 žák ztroskotal na naučené poučce S = a ∙ b, kterou zapsal stejně pro         všechny tři obdélníky a nedokázal najít hledané součiny. Jedná se o příklad for-         mální znalosti výpočtu obsahu obdélníka.                                  Obr. 97 Pokus o řešení na základě vzorce pro obsah obdélníku.                         Bystrý žák, 6. ročník, ZŠ, řešitel MO (žák 21)               152             ┼","Žáci 7. ročníku úlohu vyřešili správně ve 25 případech, vždy aritmeticky. 6 žáků                úlohu nevyřešilo. Převažovala metoda řešení pomocí společných dělitelů. Někteří                žáci nepřišli na princip řešení. Žák 7. ročníku udělal na Obr. 98 aritmetickou                                                                                    2                i logickou chybu. Při řešení vůbec nebral v úvahu obdélník s obsahem 18 cm ,                rozložil pouze čísla 27 a 54 a u čísla 54 udělal chybu. Nezarazilo ho ani to, že                čtverec by měl mít všechny strany shodné.                                                Obr. 98 Řešení s numerickou chybou i chybou v úvaze.                                      Jedničkář, 7. ročník, ZŠ (žák 7)                  V několika případech jsem se setkala s řešením uvedeným na Obr. 99. Žák postu-                poval tak, že si do menšího čtverce zakreslil obdélník o obsahu 27 cm  a předpo-                                                                            2                kládal, že zbylá část ve čtverci by měla odpovídat obdélníku obsahu 54 cm .                                                                                    2                O svojí úvaze se však nijak nepřesvědčil, matematicky ji neodůvodnil. Jednalo se                pouze o hypotézu, která nebyla dokázána. Z tohoto důvodu jsem uvedené řešení                považovala pouze za částečně správné.                                         Obr. 99 Řešení pomocí odhadu. Bystrý žák, 7. ročník, ZŠ (žák 25)                                                                                        153                                                                              ┼","Poznamenejme, že zápis 27 + 54 = 81 cm  není správný, i když je pochopitelný a žák                                          2         mu rozumí. Výpočet by měl být buď zcela matematizovaný, tj. bez jednotek, jednot-         ky se pak píší až do odpovědi, nebo by měly být jednotky všude, tj. 27 cm  + 54 cm                                                                             2                                                                     2                2         = 81 cm .         V 8. ročníku úlohu vyřešilo 16 žáků, všichni aritmeticky. 3 žáci úlohu nevyřešili.         Originální řešení je na Obr. 100. Žákyně na něm vychází z faktu, že 54 je trojná-         sobek 18. Odtud je zřejmé, že do spodního čtverce se vejdou tři obdélníky 18 cm                                                                             2         a do čtverce se vejdou tři obdélníky 27 cm . Oproti řešení na Obr. 99 se nejedná                                             2         o odhadování, ale o logickou dedukci.                                    Obr. 100 Řešení založené na hledání společného dělitele čísel 18 a 54.                             Jedničkářka, 8. ročník, ZŠ (žák 36)           Situace se změnila u žáků 9. ročníku. Našli se žáci, kteří se úlohu rozhodli řešit         primárně algebraicky. Někteří selhali při sestavování rovnic nebo při jejich řešení         a vrátili se k aritmetické strategii, jiní úlohu nevyřešenou opustili a nesnažili se         hledat jiné řešení. Úlohu vyřešilo 44 žáků, nevyřešilo ji 21 žáků.         Na výsledcích jsou zajímavé dvě věci:         1)  Oproti nižším ročníkům se zvýšil počet neúspěšných žáků. To přisuzuji faktu,            že žáci 9. ročníku jsou již vybaveni aparátem řešení soustav rovnic a mnozí se            jej rozhodli použít. Protože se však jedná o velmi netypickou soustavu rovnic,            se kterou se žáci většinou na základní škole nesetkají, mnoho z nich přirozeně            selhalo. Je ale k zamyšlení, proč tolik z nich řešení vzdalo, aniž by se pokusili            postupovat aritmeticky. Jedním z faktorů by mohlo být to, že když se zavede            algebraická strategie, někteří učitele ji od žáků vyžadují a žáci si zvyknou, že            méně sofistikovaný postup již používat nemají.              154             ┼","2)  Zvýšil se také počet žáků, kteří řešení vůbec nezkoušeli. Jsem přesvědčena,                   že to nemohlo být způsobeno chybějící motivací, neboť se jednalo o žáky vy-                   brané, kteří si na řešení dávali opravdu záležet. Opět bych to přisuzovala zna-                   losti algebraické strategie – pokud žák vyhodnotí, že úlohu nezvládne řešit                   algebraicky, nepokouší se aplikovat jednodušší způsoby řešení.                  Na Obr. 101 je uvedeno ojedinělé a netypické řešení na pomezí aritmetiky a algebry.                                                             1                Když pomineme chybu na začátku řešení (     =     , žák si zapomněl označit třetí                                                         1      =                                                                2                                                         2                             1=       platí), žák vyšel z úvahy, že 54 = 2 ∙ 27, a proto také obsah                                1                stranu, neboť                     jednoho z obdélníků je dvojnásobný než druhý. Protože uvažované obdélníky mají                              =       2                             2                jednu stranu shodnou, známe poměr délek druhých stran. Z těchto vztahů lze                snadno dopočítat délku strany čtverce.                                             Obr. 101 Řešení na pomezí aritmetiky a algebry.                                     Bystrý žák, 9. ročník, ZŠ (žák 57)                   Na Obr. 102 je uvedeno algebraické řešení žáka s Aspergerovým syndromem.                Našel algebraický vzorec, který bylo možné upravit na c  a v němž znal všechny                                                                2                údaje. Vidíme zcela ojedinělý případ žáka, který se na základní škole nachází                na konceptuální úrovni porozumění algebraickým postupům. Je zřejmé, že jeho                uvažování je brilantní, ale zápis je naprosto chaotický.                                                                                                155                                                                              ┼","Obr. 102 Neobvyklé algebraické řešení úlohy.              Matematicky nadaný žák, nediagnostikovaný, 9. ročník, ZŠ, AS (žák 18)           Uvedená úloha byla specifická tím, že naprostá většina žáků se s podobným typem         úlohy ještě nikdy nesetkala. Mohli jsme tedy pozorovat originální přístupy žáků,         kteří většinou ze školy neznali potřebné postupy. Ukázalo se, že v našich žácích         (a to i žácích běžných základních škol) se skrývá značná schopnost matematické         dedukce. To znamená, že v mnoha případech žáci zdůvodňovali svá rozhodnutí,         aby bylo patrné, že postupy jen neodhadovali, ale uvažovali v logických návaznostech.           Postupy žáků volené v U5                  Tab. 54 Úspěšnost žáků v U5 podle ročníku a podle volené strategie                                  6. ročník  7. ročník   8. ročník  9. ročník         1 – vyřešil              1     0     1    0     1     0    1     0         0 – nevyřešil         Odhadem                  0     14    2    10    0     3    7     8         Aritmeticky              1     13    2    10    4     3    7     6         Algebraicky              0     1     2    0     2     2    8     9         Neřešeno                 0     17    0    4     0     3    0     15         Špatná úvaha             0     3     0    0     0     2    0     3         Špatně přečtené zadání   0     1     0    1     0     0    0     2         Celkem                   1     49    6    25    6    13    15    43               156             ┼","Úlohu dokázal správně vyřešit jediný žák 6. ročníku. Jako obrovský problém se                u této úlohy ukázaly zlomky, které vycházely jako mezivýsledky. Žáci 6. ročníku                nemají učivo o zlomcích z velké míry probráno, umí pracovat se zlomkem jako                částí celku, ale nikoli se zlomkem jakožto číslem. Mohli zlomek upravit na perio-                dické číslo, ale pokud si tuto možnost neuvědomili, nebo o ní ani nevěděli, jejich                řešení v tomto místě většinou skončilo. Částečně úlohu vyřešilo 18 žáků, tj. dopra-                                                             5                                                        5      =                                                     5      =                covali se k délce strany malého šedého čtverce      = , dál nepokračovali. Úlohu                                                             5 3                                               5      =                                                        3                nevyřešilo 31 žáků.              =  3  3     3                 Jediná žákyně, která zvládla úlohu vyřešit až do konce, postupovala aritmeticky                                                             5                                                              =                 (Obr. 103). Jednalo se o žákyni navštěvující Montessori třídu. Svůj postup po-                                                             3                                                           5                psala v rozhovoru po napsání testu. Nejdříve logickou úvahou určila velikost stra-                                                   5                                                         5                                                5                                                        3                ny malého šedého čtverce, a to  . Zde se zarazila, protože se zlomky ještě pracovat                                                   3                                          5                                                        3                                                3                                          3                neuměla, a přemýšlela, jak by situaci mohla vyřešit. Nakonec se dle svých slov roz-   40  40                                                                5                                                                 5                                                           5                                                       5 5         3               40    40  3                 hodla postupovat zcela intuitivně, vynásobila   osmi a řekla si, že to bude asi  .  3  3                                                           3                                                                3 40 40                                                                             40                                                   5                                                       3 3                                                                   a                                                                   ∙opět, jak uvedla, od-                Nakonec určila obsah bílého čtverce vynásobením   40 40 40 40 ∙    3     3  3                                                          40 40 ∙                                                   3                                                                  3                                       1600 . Odpověď nezapsala, ale její přístup k výpočtu byl                hadla, že by to mohlo být  1600     40 40    3  ∙ 3 3     3 5  3  3       40                                                      ∙                                 1600                                                    3                                                       3                obdivuhodný. Osobně se domnívám, že její určování součinů zlomků nebylo pou-  3                                       9                              1600                                         9                                  9                         1600                                                                3                               9                hé hádání. Důvodem je používání pomůcek při výuce zlomků v Montessori peda-                                                                 40 40                          9                                                                   ∙                                                                     3                gogice (nejčastěji Montessori zlomkové věže), díky nimž žáci získávají o zlomcích                                                                 3                                      1600                velmi dobré představy.  9                                     Obr. 103 Aritmetické řešení úlohy.                      Všeobecně nadaná žákyně, nediagnostikovaná, 6. ročník, ZŠ (žák 20)                                                                                 157                                                                              ┼","Žáci 6. ročníku byli v některých případech schopni k úloze přistoupit algebraicky,         jako na Obr. 104. Žákyně označila stranu malého šedého čtverce jako neznámou,         správně sestavila a vyřešila rovnici. Se získaným výsledkem už ale dál nepraco-         vala.                                                Obr. 104 Algebraicky řešená úloha.              Všeobecně nadaná žákyně, nediagnostikovaná, 6. ročník, MG (žák 119)           Žáci velmi často postupovali způsobem odhadování, jako na Obr. 105. Žák odha-         dl, že malý šedý čtverec má třetinovou délku oproti straně většího šedého čtverce,         avšak nepřesvědčil se o tom výpočtem. Poté nepřesně zaokrouhlil číslo 1,¯6 na 1,6         a určil výslednou hodnotu s velkou chybou (obsah čtverce je přibližně 178 cm ).                                                                           2                                          Obr. 105 Řešení odhadem s nepřesným zaokrouhlením.                         Jedničkář, 6. ročník, ZŠ, řešitel MO (žák 21)               158             ┼","Rozhodnout, zda žák postupoval aritmeticky nebo odhadem, bylo mnohdy možné                jen na základě rozhovoru.                 V 7. ročníku se zvýšil počet žáků, kteří byli schopni úlohu vyřešit až do konce.                Bylo jich 6.                Na Obr. 106 vidíme bezchybné algebraické řešení žáka 7. ročníku pomocí sousta-                vy dvou rovnic o dvou neznámých. Ve výpočtu skutečně (kromě zkoušky) nic                nechybí – označení neznámých, správné zapsání rovnic pod sebe, určení výsledku                ve tvaru zlomku, zapsání odpovědi. Žák navíc správně výpočet matematizoval                a k jednotce se vrátil až v odpovědi. Žák neznal postup řešení ze školy.                                                             Obr. 106 Řešení úlohy soustavou rovnic.                        Všeobecně nadaný žák, nediagnostikovaný, 7. ročník, ZŠ (žák 19)                   U některých žáků se stalo, že si nepřečetli zadání pozorně a určili jiný údaj, než                byl požadován. Na Obr. 107 žák odhadem určil délku strany malého šedého čtver-                ce. Jako výsledek uvedl obsah tohoto čtverečku, ale dopracoval se k němu velkou                oklikou – místo aby vynásobil 1,67 ∙ 1,67, určil nejdříve obsah celého světle šedé-                ho pásu a poté obtížným dělením trojciferným číslem (nechtěl zřejmě dělit dese-                tinné číslo 23,12) určil hledaný obsah.                                                                                             159                                                                              ┼","Obr. 107 Složité řešení úlohy s odpovědí na jinou otázku.                              Bystrý žák, 7. ročník, ZŠ (žák 10)           V 8. ročníku úlohu vyřešilo správně 6 žáků a dalších 5 žáků dospělo k délce stra-         ny nejmenšího čtverce. 8 žáků úlohu nevyřešilo vůbec.          Stále převažoval počet žáků, kteří řešení nenalezli, případně nalezli pouze částeč-         ně. Přitom žáci 8. ročníku jsou oproti nižším ročníkům vybaveni aparátem řešení         rovnic, a mají tedy lepší předpoklady ke správnému sestavení rovnice.         Aritmetické řešení založené více na odhadování než na úvaze vidíme na Obr. 108.         Žákyně na něm nejdříve rozparcelovala celý obdélník podle nejmenšího čtverce,         poté určovala jeho obsah jakožto obsah devíti větších šedých čtverců a zbylého         obdélníkového pásu. Přečetla si ale nepozorně zadání a určila obsah celého obdél-         níku.                               160             ┼","Obr. 108 Aritmetické řešení s odpovědí na jinou otázku.                                    Jedničkářka, 8. ročník, ZŠ (žák 36)                  V 9. ročníku úlohu vyřešilo správně 22 žáků. 7 žáků dospělo k délce nejmenšího                čtverce. Přibylo žáků, kteří zvolili algebraické řešení, řada z nich bohužel nezvlád-                la správně sestavit rovnice, případně je vyřešit. Mnoho žáků se o řešení také vůbec                nepokusilo.                Někteří žáci 9. ročníku byli schopni přímočarého algebraického řešení (Obr. 109).                                                      Obr. 109 Algebraicky řešená úloha.                     Matematicky nadaná žákyně, nediagnostikovaná, 9. ročník, MG (žák 130)                                                                                     161                                                                              ┼","Někteří žáci 9. ročníku měli problém objevit vztahy mezi délkami stran a nebyli         proto schopni sestavit rovnice, jako je tomu na Obr. 110.                                  Obr. 110 Pokus o algebraické řešení. Bystrý žák, 9. ročník, MG (žák 135)           Uveďme opět pro zajímavost řešení žáka s Aspergerovým syndromem, který si         k řešení vybral soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Výpočet je jako vždy         v jeho případě bezchybný, ale zápis je nesouvislý, informace nenásledují chrono-         logicky tak, jak byly zapisovány.                                                 Obr. 111 Algebraické řešení úlohy s chaotickým zápisem.             Matematicky nadaný žák s Aspergerovým syndromem, nediagnostikovaný,                                  9. ročník, ZŠ, (žák 18)           162             ┼","Úloha 5 byla opět vhodná z toho hlediska, že dobře diferencovala žáky podle ma-                tematických schopností. Mnoho žáků se o řešení vůbec nepokusilo. Za velmi                úspěšné můžeme považovat několik žáků 6. ročníku, a to i ty, kteří našli jen čás-                tečně řešení. Bylo vidět, že se nad problémem umí zamyslet a přes neznalost po-                třebného aparátu hledat řešení.                Jako méně sofistikovaná u této úlohy musí být hodnocena metoda pomocí odhadu.                Žáci si totiž nemohli být jisti, že jejich předpoklad je oprávněný. Mnohem sofisti-                kovanější je metoda aritmetická, kdy si žák zdůvodnil velikost malého šedého                čtverce.                Co se týká algebraické strategie, viděli jsme, že ji úspěšně používali žáci již od                6. ročníku, i když jejich počet byl pochopitelně velmi malý. Na druhou stranu,                žáci 9. ročníku tuto metodu volili mnohem častěji, ale většinou neúspěšně. Zna-                lost aparátu řešení soustav rovnic jim příliš nepomohla k jejímu efektivnímu                použití.                   – 4 – 8 – 2  Vybrané skupiny žáků                 Žáci, kteří získali plný počet bodů                 Plný počet bodů v testu získalo 14 žáků. Z hlediska nadání 6 z nich bylo bez dia-                gnostikovaného nadání, 4 byli všeobecně nadaní (z toho 2 diagnotikováni v PPP)                a 4 matematicky nadaní (z toho 1 diagnostikován v PPP). Žádný z žáků nebyl                z 6. ročníku, pouze jeden byl ze 7. ročníku, nejvíce žáků bylo z 9. ročníku. Zde                můžeme zřejmě sledovat trend schopností vzrůstajících s vyšším ročníkem,                které jsou dány větší matematickou zkušeností a širším spektrem matematického                aparátu.                Z hlediska mé charakteristiky žáků (Tab. 19) se mezi žáky s plným počtem bodů                objevili jedničkáři (jednič.), žáci bez zájmu o výuku matematiky, žák lenivý,                s ADHD, s Aspergerovým syndromem (AS), s logickým myšlením, extrémně                nadaná žákyně (extr. n.), viz Tab. 55. Většina těchto žáků potřebovala k řešení                kratší než průměrný čas.                                                                                                   163                                                                              ┼","Tab. 55 Žáci, kteří v testu obdrželi 10 bodů         Typ    Ročník  Pohl.  Nadání   Specif.  Čas U1   U2    U3   U4   U5         školy         ZŠ       7     Dívka    Bez    Jednič.  45‘  Ar.  Ar. Exp. Ar.   Ar.         ZŠ       8     Dívka    Bez    Jednič.  35‘ Alg. Alg. Exp. Ar.  Alg.         ZŠ       8    Chlapec Všeob.           34‘  Ar.  Alg. Alg.  Ar.  Ar.         M ZŠ     8    Chlapec Všeob.   Lenivý  37‘  Ar.  Alg. Alg.  Ar.  Ar.         G        8     Dívka  Všeob.           35‘ Alg. Alg. Alg.   Ar.  Alg.                                        Bystrý,         ZŠ       9    Chlapec   Bez            40‘ Exp. Alg. Alg.   Ar.  Alg.                                       bez zájmu         ZŠ       9    Chlapec   Bez    Bystrý  40‘ Alg. Alg. Ex.    Ar. Odh.         ZŠ       9    Chlapec   Bez    Jednič.  35‘ Alg. Alg. Exp. Ar. Odh.         ZŠ       9    Chlapec   Bez    ADHD    45‘ Alg. Alg. Alg.   Ar. Odh.         ZŠ       9    Chlapec  Mat.     AS     15‘ Alg. Alg. Alg. Alg. Alg.         ZŠ       9     Dívka   Mat.  Bez zájmu 35‘  Ar. Exp. Exp. Ar.    Ar.         M ZŠ     9    Chlapec  Mat.            30‘  Ar.  Ar.  Alg.  Ar.  Ar.         G        9    Chlapec Všeob.           32‘ Alg. Alg. Alg.   Ar. Odh.         MG       9     Dívka   Mat.    Extr. n.  30‘ Alg. Alg. Alg.  Ar.  Alg.           Všimněme si například toho, že matematicky nadaná žákyně 9. ročníku bez zájmu         o výuku matematiky používala méně sofistikované strategie, ani jednou nepouži-         la algebraickou strategii. Naopak chlapec s ADHD třikrát využil algebraickou         strategii. U řešení byl nesoustředěný, což se projevilo delším časem potřebným         k řešení.         Dobře se uplatnili jedničkáři bez diagnostikovaného nadání. Tyto děti jsou zpra-         vidla vnímány jako snaživé, ochotné osvojovat si postupy. To jim umožnilo uspět         i v netradičně formulovaných úlohách. Do skupiny jedničkářů spadá také jediná         žákyně 7. ročníku. Jak je vidět, vystačila si zcela bez algebraických postupů.            Žáci s poruchou autistického spektra         Ve vzorku žáků se objevili tři žáci s poruchou autistického spektra. Dva z nich         měli Aspergerův syndrom a oba byli matematicky nadaní, nediagnostikovaní.         Jeden z těchto žáků navštěvoval 7. ročník v matematicky zaměřené základní ško-         le, druhý chodil do 9. ročníku základní školy, do Montessori třídy. Třetí žák měl         autismus a byl nediagnostikovaný, vyučujícím označený jako bystrý, navštěvoval         6. ročník běžné základní školy.                164             ┼","Tab. 56 Žáci s poruchou autistického spektra                 Typ   Ročník  Pohl.  Nadání  Specif.  Čas U1   U2   U3   U4    U5                 školy                                                                              Částeč-                 ZŠ      7    Chlapec  Mat.     AS     14‘  Ar.  Ar. Exp. Ar.                                                                               ně Ar.                 ZŠ      9    Chlapec  Mat.     AS     15‘ Alg. Alg. Alg. Alg.  Alg.                 ZŠ      6    Chlapec Bystrý Autismus 25‘ Ne 50  Exp. Ne  Ne    Ne                  Oba žáci s Aspergerovým syndromem byli v testu velmi úspěšní, oba jej vyřešili                v extrémně krátkém čase. To obecně odpovídá schopnosti lidí s Aspergerovým                syndromem neobvykle rychle provádět aritmetické výpočty. Žák 9. ročníku získal                plný počet bodů a ukázky jeho řešení jsme již měli možnost vidět (např. Obr. 111).                Z nich bylo patrné, že žák používá velmi nezvyklé a nečekané algebraické postu-                py a má značný problém srozumitelně zapsat postup. Probrat řešení s ním nebylo                možné, protože rozhovor téměř okamžitě ukončil.                Žák 7. ročníku získal 9 bodů, v U5 nedotáhl řešení do konce. Také u něj jsem se set-                kala s nedostatečným zápisem, kdy většinou zapsal pouze výsledek (pamětní řešení),                nebo uvedl nesrozumitelný zápis. Jako ukázku uvádím řešení 5. úlohy (Obr. 112).                                                 Obr. 112 Ukázka řešení úlohy žákem 7. ročníku s Aspergerovým syndromem                    50   V případě U1 se pokusil o experimentální řešení, ale úlohu nevyřešil, u úloh U3 až U5                   nezapsal žádný postup řešení.                                                                                  165                                                                              ┼","Na Obr. 112 vidíme, že žák uvádí mnoho různých čísel, aniž by sdělil jejich význam.         Mezi těmito čísly se vyskytuje číslo   (délka strany malého čtverce) a o kousek         dál zápis tohoto zlomku číslem periodickým 1,  ¯¯66. Dále vidíme  , což je délka         strany zkoumaného čtverce. Dle mého názoru udělal chybu ve výpočtu         (zapsal 13,  ¯¯66), výpočet 13,  ¯¯66 × 13,  ¯¯66 by už byl hledaný obsah.         Výsledky, které jsem od dvou žáků s Aspergerovým syndromem získala, se s teorií         shodují v rychlosti provádění aritmetických úkonů, v neobvyklosti postupu, avšak         rozcházejí se s teorií v tvrzení, že žáci s Aspergerovým syndromem nejsou úspěš-         ní v řešení problémových úloh. Žáci, kteří se výzkumu účastnili, se k řešení pro-         blémových úloh postavili originálně a byli v nich úspěšní. Problém u nich byl se         zápisem postupu.         Žák s autismem získal pouze 2 body, správně vyřešil jen druhou úlohu, a to expe-         rimentální strategií. Dle učitele se v hodinách matematiky projevoval jako žák         bystrý, v testu však z nějakého neznámého důvodu selhal. Příčinou by mohla být         napíklad rigidita myšlení dětí (a lidí) s autismem, které se mechanicky naučí opa-         kování určitých postupů, ale v nových situacích a problémových úlohách neumí         pružně reagovat.           Žáci extrémně matematicky nadaní                     18                       18 =             18      =                                  Čtyři žáci 9. ročníku matematického gymnázia byli svými učiteli označeni jako                                      =                                                  18                          extrémně matematicky nadaní. Tři z těchto žáků byli chlapci, dívka byla jedna.                                               18                                                   ∙                                                 27 =                                         18 27 =       ∙                                         27 =    ∙                                                           2  2                                                                                                          =                               Tab. 57 Extrémně nadaní žáci                                          2      =                                                       3                                           =         3                            Počet         3          Pohlaví    Čas    bodů    U1     U2     2 U3     U4          U5                                               2                                            54 =      ∙                                              Alg.         Dívka      30‘     10    Alg.   2 54 =      ∙        Ar.     Alg.                                                 3 Alg.                                    54 =      ∙       3         Chlapec    35‘     8     Alg.   3 Alg. 2      = 81   Alg.    Ne                                                Alg.                                              2                                                Alg.                                         Alg.         Chlapec    32‘     8     Alg.      = 81       = 81   Částečně alg. Částečně alg.                                       2         Chlapec    35‘     8     Alg.   Alg.   Alg.      Alg.        Ne         U těchto žáků převažovalo algebraické řešení. Pouze dívka byla schopna získat         plný počet bodů, každý z chlapců udělal v testu nějakou chybu a jeden žák neřešil         poslední úlohu. Chlapci obdrželi 8 bodů. Chyby u těchto žáků ale mnohdy prame-         ní z příliš složitého způsobu myšlení. Například na Obr. 113 můžeme sledovat         řešení páté úlohy jednoho z žáků. Postupoval složitěji, než bylo nutné – neurčoval         délky sousedních stran bílého čtverce, ale jeho obsah. Tím mu vznikla kvadratic-         ká rovnice. Dopustil se chyby, když celou rovnici krátil třemi. Tím získal špatné         kořeny. Jeden z kořenů označil jako záporný a dál se jím nezabýval. Druhý kořen         označil jako délku strany čtverce, ale zdál se mu podezřelý, neboť je iracionální         – což vyjádřil větou „nebo neumím počítat“.         166             ┼","Obr. 113 Řešení U5 extrémně nadaným žákem                    – 4 – 9  SHRNUTÍ A DISKUSE                 V úvodu výzkumného šetření jsem si položila čtyři výzkumné otázky a nyní na                ně odpovím.                  O1.    Jakého průměrného výsledku dosáhli žáci v jednotlivých úlohách testu?                Nejvyššího průměrného výsledku dosáhli žáci dle očekávání u úlohy 2, která                plnila roli motivační. Její úspěšnost byla 85 % a pro žáky byla velmi jednoduchá.                Výborných výsledků žáci dosáhli také v případě úlohy 1, jejíž úspěšnost byla 72 %.                Úloha již není zcela školsky typická, obsahuje netriviální aritmetické operace                (sčítání a odčítání velkých čísel s několika přechody přes základ). Žáci ji proto                nemohli řešit ve většině případů pamětně, museli zvolit některou ze sofistikova-                nějších strategií a zapsat si výpočet. U této úlohy se potvrdily všechny vyslovené                hypotézy. Domnívám se, že tato úloha by byla vhodná do testu pro rozlišení žáků                podle jejich nadání. Jediné riziko, které v případě této úlohy vidím, je to, že žáci,                kteří chodí do tříd s rozšířenou výukou matematiky, mohou znát postup řešení                z hodin matematiky, a postupují tedy mechanicky, zatímco žáci běžných základních                škol se s tímto typem úlohy nemusí během výuky setkat.                Rovněž v případě úlohy 4 byla vysoká úspěšnost, 71 %. Tato úloha byla specifická                tím, že vlastně zcela obrátila výsledky žáků vzhledem k očekávání dle nadání nebo                typu školy. To znamená, že v této úloze byli nejúspěšnější žáci běžných základ-                ních škol a žáci, kteří nebyli označeni jako nadaní. Klíčem k zodpovězení otázky,                jak se to mohlo stát, je volba strategie řešení. Žáci, kteří jsou nejméně vyzbrojeni                matematickým aparátem, neznají řešení pomocí rovnice nebo soustavy rovnic,                vybrali aritmetické řešení založené na hledání společných dělitelů. Tato metoda                                                                                   167                                                                              ┼","měla více než 90% úspěšnost. Díky této úloze si můžeme uvědomit, jak je ošemet-         né očekávat, že o výsledcích v matematice rozhodují schopnosti žáka a nadání.         Někdy může být dominantní zcela jiný faktor, který o úspěšnosti rozhodne. Úloha         by byla nevhodná pro rozlišování žáků podle nadání.         Úloha 3, dynamická slovní úloha, měla dle očekávání nižší úspěšnost, 41 %. Nej-         úspěšnější v ní byli žáci 9. ročníku, matematicky nadaní žáci a žáci, kteří zvolili         experimentální strategii řešení. Problém s touto úlohou byl opět v tom, že někteří         žáci byli evidentně vytrénováni na postup řešení, zatímco jiní se s úlohou nikdy         nesetkali.         Úloha 5 měla nejnižší úspěšnost, 21 %. Celkovou úspěšnost snižoval výsledek žáků         6. ročníku, kteří se nedokázali překlenout přes zlomky. Zlomky však byly překáž-         kou i pro žáky vyšších ročníků. Vypadalo to, jako by se žáci zalekli, když uviděli         racionální číslo, a úlohu opustili nevyřešenou. Důvodem může být fakt, že žáci se         mnohem častěji setkávají s úlohami, v nichž pracují pouze s celými čísly (s racio-         nálními čísly se prakticky setkají pouze v tematickém celku racionální čísla).           O2.  Jakého průměrného výsledku dosáhli žáci v jednotlivých úlohách testu              vzhledem k ročníku?         Závislost na ročníku byla silná u všech úloh s výjimkou U4. Žáci 6. ročníku byli         znevýhodněni omezeným matematickým aparátem. V případě čtvrté úlohy zřejmě         opět sehrálo roli to, že žáci nižších ročníků neovládají algebraickou strategii         a k řešení si vybrali hledání společných dělitelů.            O3.   Jakého průměrného výsledku dosáhli žáci v jednotlivých úlohách testu              vzhledem k nadání?         Matematicky nadaní žáci byli s výjimkou U4, v níž se snažili uplatňovat algeb-         raickou strategii, nejúspěšnější ve všech úlohách, většinou však jejich výsledky         nebyly výrazně lepší než například u žáků běžných základních škol. Tento jev může         mít několik příčin, osobně vnímám tyto důvody:            •  Matematicky nadaní žáci se dopouštějí chyb numerických i logických. To              snižuje jejich skóre v písemném testování.            •  Matematicky nadaní žáci často prokazují komplexní myšlení a globální              plánování, vybírají si někdy zbytečně složitý způsob výpočtu, to je časově              zdržuje a zvyšuje riziko numerické chyby.            •  Matematicky nadaní žáci používali sofistikovanější metody řešení, velice              často vybírali algebraickou metodu. Pokud v řešení selhali, nebyli většinou              ochotni přistoupit k méně sofistikovaným metodám.            •  Nemohu pominout ani faktor výběru nadaných žáků, kdy nadání bylo po-              suzováno učiteli na základě subjektivního názoru o tom, jak se nadaný žák              projevuje.          168             ┼","O4.    Jaké strategie řešení budou žáci volit vzhledem k nadání?                Závislost výběru strategie na nadání žáka se projevila, a to zejména u matematic-                ky nadaných žáků. Ti v úlohách volili sofistikovanější metody řešení, velice často                algebraickou metodu. To však mnohdy snížilo jejich úspěšnost.                Domnívám se, že úspěšnost u úlohy 1 a 3 by mohla být vyšší, pokud by žáci byli                vedení k sofistikovanému používání experimentální strategie. Břehovský a kol.                (2015) uvádí: „Jsme přesvědčeni, že schopnost žáků řešit nerutinní problémy by                rostla, kdyby zvládli experimentální heuristické strategie.“ Toto přesvědčení                sdílím. Žáci v testování experimentální strategie příliš nevyužívali, zejména pokud                již znali algebraické strategie. Je možné, že učitelé je k tomu nevedou, protože na                experimentální strategie nahlížejí jako na „nematematické“, postrádající algorit-                mickou podstatu. Novotná (2004) uvádí, že používání experimentálních metod                je některými učiteli považováno za nevhodné, neboť žáka utvrzuje v dojmu, že                najít řešení je důležitější než rozvíjet určité řešitelské strategie. Přitom právě díky                metodám řízeného experimentu žáci mohou objevovat vztahy zadané v úloze.                Také cílený rozvoj aritmetických strategií by mnoha žákům pomohl při řešení mnou                zadaných úloh. Aritmetická etapa řešení algebraických úloh jako by se na základních                školách zcela vynechávala. Přitom v historii převládala celá staletí, než byl zaveden                algebraický aparát a symbolika, které algebraické výpočty značně usnadnily.                Jako problematické se mi jeví posuzování výsledků matematicky nadaných žáků                podle skóre v testu. V testování matematických znalostí a dovedností je zvykem                skórovat výkon žáka jako celek. Plného počtu bodů žák dosáhne tehdy, pokud                zapíše správný výsledek (za podmínky, že ke správnému výsledku vedl správný                postup). Žák tedy ztrácí body jak za nesprávné úvahy, tak také za numerické chy-                by. Jak uvádí Sternberg (1981), matematicky nadaní žáci používají komplexní                způsob myšlení, jsou schopni úlohu posuzovat globálně a tak ji také řešit. V prů-                běhu řešení se stejně jako ostatní žáci dopouštějí různých chyb jak logických, tak                numerických. Jestliže je tedy test zaměřen na správné výsledky, jak bývá běžné,                matematicky nadaní žáci v něm nemusí dosahovat excelentních výsledků. Řešení                žáků by se měla posuzovat komplexně, nejen z hlediska dosažení správného vý-                sledku, ale také z hlediska použité strategie, originality řešení (zde by se matema-                ticky nadaní žáci mohli více lišit od svých vrstevníků) apod. Pro identifikaci na-                dání by se nemělo používat jen písemné řešení.                Co se týče strategií, nedá se říci, že by převažovala jedna strategie řešení. U kaž-                dého typu úloh žáci preferují jinou strategii řešení. Lze však konstatovat, že dle                vysloveného očekávání u náročnějších úloh volili nenadaní žáci a také žáci všeo-                becně nadaní spíše aritmetické strategie, zatímco velké procento matematicky                nadaných žáků zvolilo strategie algebraické. U matematicky nadaných žáků však                tento fakt mnohdy znamenal neúspěch při řešení. Otázkou je, proč primárně pou-                žívali algebraickou strategii. Příčinou by mohla být tendence matematicky nadaných                žáků použít tu nejsofistikovanější strategii, kterou mají k dispozici.                                                                                   169                                                                              ┼","Preferování algebraické strategie může mít i jiný důvod. Novotná (2000) uvádí, že         často dochází k tomu, že řešitelé, kteří již mají určitou zkušenost s řešením rovnic,         preferují řešení algebraické před řešením aritmetickým. Řešení rovnic a jejich         soustav má totiž algoritmický charakter a žákům, kteří ovládají tento aparát, může         připadat takový postup snazší. To platí pro žáky nadané i nenadané, avšak nena-         daní žáci ještě nemuseli získat v algoritmu takovou jistotu, aby jej použili. Rizikem         je to, že pokud žák nemá zvládnuty aritmetické představy, může mít problém         objevit algebraické vztahy.         Opět musím připustit, že nedokonalý výběr vzorku a relativně malý počet mate-         maticky nadaných ve výzkumu mohly mít vliv na výsledky. Ovšem i jiní výzkum-         níci, napíklad Linsell (2009), dospěli k názoru, že matematicky nadaní žáci pou-         žívají v úlohách rovnicového charakteru sofistikovanější postupy nežli jejich         vrstevníci.         Nejen v historii můžeme pozorovat, že dlouho převládalo aritmetické myšlení.         Starověcí a středověcí učenci zadávali úlohy tak, aby vycházely celočíselně, pří-         padně s jednoduchými racionálními čísly. Úlohy, jejichž výsledky jsou iracionální         čísla, vyžadují obvykle algebraické postupy. Také u žáků můžeme pozorovat, že         dlouhou dobu dávají přednost aritmetickým metodám, někdy po celou základní         školu. Algebraický aparát neumí správně použít ani mnozí matematicky nadaní         žáci a je možné, že jej mají osvojen spíše formálně.            – 4 – 10  LIMITY VÝZKUMU          Výzkum ukázal řadu zajímavých fenoménů, avšak jeho realizace měla několik         slabin. Problematické je například zařazení žáků do skupin podle nadání. Žáků,         kteří byli identifikováni pedagogicko-psychologickou poradnou, bylo ve výzku-         mu 13. U ostatních žáků bylo nutné spolehnout se na výběr učitele. V této chvíli         se projevily velké rozdíly v úrovni žáků na jednotlivých školách, a to i v rámci         jednoho typu škol (např. běžná základní škola). Někteří učitelé uvedli, že na celé         škole nemají ani jednoho nadaného žáka, potom tedy vybírali ty nejšikovnější         žáky v rámci třídy či školy. To, do jaké skupiny je žák zařazen, nemusí tedy odpo-         vídat realitě. Problematika rozřazování žáků dle schopností se jeví jako náročná.         Existují dle mého názoru tři způsoby, jak žáky rozřadit, a každý z nich je spojen         s určitými riziky:             1)  Odborná diagnostika v pedagogicko-psychologické poradně nebo jiném              zařízení. Problémem je, že žáci 2. stupně a jejich rodiče nemají často zájem              o odbornou diagnostiku, svoje nadání pro matematiku řeší raději výběrovým              gymnáziem. Problematická je rovněž interpretace výsledků, pokud je po-              suzuje někdo, kdo sám matematiku dostatečně neovládá.              170             ┼","2)  Rozřazení žáků na základě didaktického testu. Problémem je, že nadaní                      žáci, zejména matematicky, by nemuseli v testu dosáhnout výborných vý-                      sledků (viz důvody výše).                   3)  Dát na úsudek učitele. Výhodou v tomto případě je dlouhodobé pozorování                      žáka. Problémem je nejednotná úroveň žáků na různých školách, rozdílné                      vnímání nadání různými učiteli.                Ani jeden ze způsobů, kterými by bylo možné žáky rozřadit do skupin podle na-                dání, není optimální. Kromě toho je nutné si uvědomit, že zařadit žáka do jedné                kategorie často také není jednoduché, hranice mezi kategoriemi nejsou ostré.                Nejvhodnější by bylo zvolit kombinaci všech tří uvedených způsobů kategorizace                žáků, avšak i tak brát rozdělení s rezervou.                Design studie, kdy byl stejný didaktický test zadáván žákům čtyř ročníků, lze                vnímat jako její limit. Žáci se liší nejen znalostmi a dovednostmi, ale i koncentra-                cí, matematickou zkušeností aj. Vzhledem k těmto skutečnostem by bylo vhodné                úlohy více diverzifikovat a rozdělit alespoň do skupin ročníků 6–7 a 8–9.                Pro validnější výsledky by bylo nutné získat vzorek, v němž by byl vyrovnaný                poměr dívky/chlapci a kde by výběr žáků více odpovídal rozložení v populaci.                Vhodnější by také bylo rovnocenné zastoupení ročníků.                Rovněž výběr úloh přirozeně ovlivnil výsledky výzkumu, je možné, že jiné úlohy                by ukázaly výsledky mezi skupinami lépe či jinak.                Esenciální součástí výzkumu byly rozhovory, které proběhly se žáky bezprostřed-                ně po napsání testu. Je skvělé, že se podařilo realizovat rozhovor s každým žákem                účastnícím se zkoumání. Přestože se jedná o časově náročnou činnost, je zcela                nenahraditelným zdrojem informací o způsobu žákova uvažování. V samotném                zápisu řešení zůstávají některé fenomény skryty a výzkumník je může odhalit                teprve při rozhovoru s žákem.                                                                                                           171                                                                              ┼","","– 5 –                  DOSPĚLÍ NADANÍ                                        A JEJICH VZPOMÍNKY                                        NA ŠKOLU                           Najít nadané žáky ve školách byl poměrně problém. Učitelé mi na moji žádost                o testování nadaných žáků nezřídka odpovídali, že na celé škole nemají ani jedno-                ho žáka, kterého by označili jako nadaného. To mě přivedlo na spoustu otázek.                Jak je možné s jistotou identifikovat nadaného žáka? Je identifikace v pedagogicko-                -psychologické poradně dostatečnou zárukou, že žák označený jako nadaný je                opravdu nadaný? A je vůbec nadání měřitelné? Jak se ve škole projevují matema-                ticky nadaní – jsou to obyčejné děti, nebo již v období základní školy vyhrávají                matematické soutěže a žijí pouze matematikou? Na školách nebyl problém najít                žáky, kteří měli pedagogicko-psychologickou poradnou diagnostikovány poru-                chy učení, ADD, ADHD a další. Najít však odborně identifikovaného nadaného                byl velký problém. Připadalo mi důležité podívat se na celou záležitost z opačné                strany – pohledem člověka, který se matematikou živí na vysoké úrovni. Abych                si udělala obrázek o tom, jak se matematicky nadaní projevovali ve školním pro-                středí, jaké byly jejich zájmy a zda již na základní škole byli zahloubáni pouze                do matematiky, rozhodla jsem se využít toho, že se pohybuji v prostředí vysoce                matematicky nadaných lidí, kterých jsem se zeptala, jaké jsou jejich vzpomínky                na dětství a školu.                Neusar (2009) upozorňuje, že vybavování vzpomínek je v mnoha případech                poměrně náročným úkolem, což může být zejména pro méně motivované respon-                denty důvodem, že svou odpověď spíše nějak odhadnou či vymyslí. Zejména                u vzpomínek z dob dávno minulých největší potíže přináší limit naší paměti;                dokonce i vzpomínky, které si pamatujeme zcela jasně, mohou být výrazně zkres-                lené či plně smyšlené. Schacter (1999) uvádí, že zatímco některé příjemné vzpo-                mínky si rádi uchováváme a můžeme si je dokonce přibarvit, nepříjemné, zejména                traumatizující vzpomínky máme tendenci vytěsňovat. To hraje roli zejména                u citově zabarvených vzpomínek, kterými jsou i vzpomínky například na milou                paní učitelku, kterou měl respondent rád, nebo na šikanu, kterou zažíval v kruhu                spolužáků.                                                                                     173                                                                              ┼","Motivace mnou oslovených respondentů byla vysoká. Výzkum je velmi zaujal         a s chutí se snažili vybavit, co v dětství zažívali. Osobně se domnívám, že přestože         nelze brát zcela vážně konkrétní vzpomínky, celková vzpomínka na to, co dotyčný         zažil, může být vypovídající.           – 5 – 1  VÝZKUMNÁ SONDA – VZPOMÍNKY MATEMATIKŮ                    A FYZIKŮ NA ŠKOLU          Výzkumná sonda měla následující cíl: najít parametry z oblasti školního prostředí,         rodinného prostředí, vztahu se spolužáky a zájmů, které jsou pro respondenty         klíčové a ovlivňovaly v dětství jejich vztah k matematice.         Zeptala jsem se několika odborných matematiků či fyziků z univerzitního prostře-         dí a jednoho matematicky nadaného programátora, jak hodnotí svá školní léta.         Učinila jsem tak proto, že jsem chtěla vědět, jak (a zda) škola přispěla k jejich         nevšednímu matematickému nadání. Jména osob jsou smyšlená.         Formou rozhovoru jsem realizovala devět případových studií. Zaměřila jsem se         na tři oblasti, které jsou dle mého názoru klíčové v životě nadaného dítěte:             1)  Rodinné prostředí.            2)  Vliv učitele matematiky.            3)  Vztah se spolužáky a role v kolektivu.         Respondenty jsem seznámila s cílem mého výzkumu a nechala je volně hovořit         o svých vzpomínkách na školní docházku. Pokud nezmínili některou informaci         z mého pohledu důležitou, byla jim položena doplňující otázka.         Očekávala jsem určité společné rysy respondentů. Byla jsem přesvědčena o tom,         že tito lidé měli od raného dětství zájem o matematiku. Rodinou (rodiči, souro-         zenci aj.) byli podporováni v zájmu o matematiku. Školní prostředí nemuselo být         pro všechny podnětné, pokud nebylo, dokázali svůj zájem o matematiku uspokojit         jinde. Domnívala jsem se, že většina z nich měla problémy se začleněním do ko-         lektivu.         Během rozhovoru jsem si zapisovala klíčové údaje, které byly respondentem zmí-         něny. Ty jsem poté analyzovala z hlediska mnou očekávaných jevů (viz body 1 až         3 výše), třídila je do kategorií a současně jsem evidovala další opakující se jevy.         Pomocí této analýzy jsem identifikovala následující kategorie:            •  zájem o matematiku v rámci školy;            •   zájem o matematiku v mimoškolním prostředí;            •   zájem o další obory;            •   zájem rodičů o vzdělávání dítěte;            •   začlenění nadaného dítěte do kolektivu, vztahy se spolužáky.           174             ┼","Po analýze prvních třech rozhovorů (s Radimem, Zdeňkem a Milošem, viz níže)                jsem si všimla, že měli určité společné znaky, ale ne zcela ty, které jsem očekáva-                la. Zejména vliv rodiny na nadané žáky se jevil jako odlišný od toho, co jsem                očekávala. Rodiče nepodporovali rozvoj svých dětí v oblasti matematických schop-                ností, ale podporovali jejich celkový všeobecný rozhled. Jako společný jmenovatel                uvedených nadaných se dále ukazoval zájem o četbu, nikoli pouze knih s matema-                tickou tematikou, ale například historických knih. K původním pěti kategoriím                jsem přidala další čtyři:                   •  zájem o matematiku v raném dětství;                   •   zájem o četbu;                   •   zájem o obory, jako jsou historie, malířství, hudba, přírodověda;                   •   hodnocení smysluplnosti trávení času ve škole.                  – 5 – 2  VÝSLEDKY                 RADIM, teoretický matematik uznávaný u nás i ve světě                 Již od raného dětství Radim pociťoval svoji odlišnost od ostatních dětí. Své pro-                blémy s komunikací částečně připisuje tomu, že předškolní věk trávil u babičky                v přírodě, kde nemohl trénovat komunikační dovednosti.                Od základní školy ho bavila matematika, chodil na matematické soutěže, několikrát                vyhrál. Jednou si dovolil opravit učitelku matematiky, která to vzala osobně                a začala mu to prý „vracet“. Učitelka dle jeho slov určitě nepřispěla k tomu, že ho                matematika bavila. Byla to jeho matka, kdo rozvíjel jeho zájem tím, že ho zásobi-                la matematickými knihami.                Spolužáci se mu neposmívali, ale zejména proto, že se ve škole neprojevoval. Doma                si tajně vyráběl knížku se vzorečky, s astronomickými poznatky a podobně.                Po základní škole absolvoval gymnázium, poté se rozhodl jít na stavební fakultu,                a to proto, že nevěděl, co se sebou. Studium mu ale nevyhovovalo, byl tam rok,                poté studium přerušil a pracoval v truhlářské dílně. Zde pochopil, že ho velmi                zajímá matematika, rozhodl se studovat odbornou matematiku a tu úspěšně vystu-                doval.                  ZDENĚK, teoretický fyzik                Zdeněk vzpomíná na základní školu tak, že byl vždy nejlepší na matematiku,                ale spolužákům to zas tak moc nevadilo. Když ale vzpomíná déle, uvědomuje si,                že je to vlastně „docela štvalo“. Ale netrpěl tím, nezažíval žádnou šikanu.                O učitelce říká, že ho nikdy nepodporovala v rozvoji nadání, nepřipravovala mu                žádné zajímavé úlohy. Materiály, které jej matematicky rozvíjely, si vyhledával                                                                                    175                                                                              ┼","sám. Například ho bavilo dokazovat tvrzení, která učitelka vyslovovala. Měl štěs-         tí v tom, že ho učitelka nikdy neshodila, jeho nápady na řešení úloh vždy respek-         tovala.         Ani jeden z rodičů nebyl matematik či fyzik, ale otec byl lékař a rád dětem povídal         o světě. Tak se Zdeněk dověděl o vesmíru, o lidském těle, o chemických sloučeni-         nách a tak dále.         Na 2. stupni došlo k rozdělení žáků do tří tříd podle výkonů – chodil do třídy         nejšikovnějších žáků. Třídy se staly homogennějšími, přesto ani tak nevytvořily         podnětné prostředí pro něj jako nadaného žáka.         Po 8. ročníku šel na gymnázium, zde se podle svých slov začal cítit i rozvíjet da-         leko lépe.           MILOŠ, informatik          Miloš chodil na základní školu se zaměřením na fotbal a velmi zde trpěl. Se spo-         lužáky-chlapci si vůbec nerozuměl, mohl se bavit jen s několika děvčaty, kterým         nevadilo, že dokáže v matematice vše vyřešit. Vysvobozením pro něj byl přechod         na víceleté gymnázium, kde se jednak začal cítit lépe v kolektivu, jednak dostával         více podnětů ve výuce matematiky.         Matka se zajímala o Milošův prospěch, měla zájem, aby prospíval ve všech před-         mětech. Otci byly školní záležitosti vcelku lhostejné.         Od dětství velmi četl, nikdo ho do toho nemusel nutit. Nejvíce ho bavily historic-         ké romány, například Ivanhoe od Scotta. Velice se zajímal o hrady a jejich historii.            MARTA, aplikovaná matematička         Marta má o šest let staršího bratra, ten se jí hodně věnoval a už v 1. třídě ji naučil         zlomky. „Takže když jsem se ve škole nudila, napsala jsem si několik zlomků         a bavila jsem se tím, že jsem je sčítala a odčítala.“ Ve 2. třídě již byla schopna         pracovat se složeným zlomkem.         Výuka pro Martu nebyla ničím moc zajímavá ani obohacující, většinu věcí znala         předem. Paní učitelka jí však vyšla vstříc tím, že jí dovolila nosit si do školy knihy         a číst je v hodině.         Se spolužáky měla v 1. a 2. třídě velmi dobré vztahy. Pak se ale stěhovali a při         změně školy nezapadla do kolektivu, nerozuměla si s dětmi. V 6. ročníku se však         zformoval nový kolektiv a trochu se to zlepšilo. Na 2. stupni navíc Marta dostala         výborného učitele na matematiku, byl to starší pán, který uměl vysvětlovat.         Na gymnáziu byla matematika na vynikající úrovni. Zde už Marta jednoznačně         věděla, že chce studovat matematiku nebo fyziku.             176             ┼","Rodiče Marty pocházeli z velmi chudých poměrů, přesto byla podpora z jejich                strany veliká. Záleželo jim na školních výsledcích, doma se četly knihy, povídalo                se o světě. V matematice ji nejvíce podporoval starší bratr, který byl stejně jako                ona matematicky nadaný.                 ILONA, aplikovaná matematička                 Matematika na 1. stupni nebyla na moc dobré úrovni. Učitelku si Ilona vlastně                vůbec nepamatuje. V té době bylo ve třídě mnoho dětí, byla i odpolední výuka                v turnusech jednou za dva týdny, vše bylo velmi hektické. Většinu věcí, které se                děti učily, Ilona uměla a nemusela se je učit. Na rozdíl od předcházejících respon-                dentů se účastnila matematické soutěže, konkrétně Pythagoriády.                K matematice byla vedená od malička matkou, která byla učitelkou matematiky                na gymnáziu. Zajímalo mě, jak konkrétně ji maminka ovlivňovala. „Jenom tím,                že to maminku bavilo. Byla nadšená, když třeba student našel hezké řešení úlohy.                Měla radost z objevování a krásy matematiky – to, co většina lidí nevidí.“                Také děda ji vedl k logickému myšlení, vytvářel jí vizuální představy. „Kupovali                jsme třeba plato vajec a on mi říkal, abych ta vajíčka nepočítala po jednom, ale po                řádcích. Zdá se mi, že ve školách hodně chybí vizualizace.“                 Od 5. ročníku Ilona přešla na matematickou základní školu, což ji zásadně nasmě-                rovalo. Nikdy ji od této doby nenapadlo, že by dělala něco jiného než matematiku.                Na 2. stupni se začala účastnit korespondenčních seminářů a matematických                soustředění.                Na gymnáziu ji ovlivnil třídní učitel. Byl mladý, šikovný a velmi dobrý matematik.                Měl výborný způsob výuky matematiky, učil studenty přemýšlet. „Jel systé-                mem definice-věta-důkaz. Říkal, že jsme dost chytří na to, abychom to zvládli.“                Od 2. ročníku gymnázia měla na matematiku individuální vzdělávací plán – zřej-                mě pro extrémní nadání, ale jak říká: „Nevím, co je nadání a co je píle.“ V ostatních                předmětech se učila jen na zkoušky, které měly daný termín.                Mnoho a ráda četla, na základní škole historické romantické příběhy (například                Ivanhoe). Přitom neměla ráda školní dějepis.                  VERONIKA, vysokoškolská profesorka matematiky                Veronika měla na 1. stupni výborného a hodného pana učitele. Matematika ji ale                vůbec nezajímala.                Také na 2. stupni měla dobrého učitele matematiky, ale více ji zajímaly jazyky,                chtěla je studovat.                Veronika navštěvovala dvanáctiletou střední školu. „Tam to s matematikou nebylo                nic moc, paní učitelka byla nevlídná, asi tu matematiku sama neuměla, měla to                naučené. Běda, jak někdo vybočil. Ta nás od matematiky spíše odrazovala.“                                                                                  177                                                                              ┼","Stále chtěla studovat jazyky. Ve 12. ročníku dostali nového učitele, mladého, a ten         ji za jeden rok přivedl k matematice. Nakonec dospěla k názoru, že jazyky se může         učit sama, ale matematiku ne.         V kolektivu neměla Veronika žádné problémy, měla několik dlouhodobých kama-         rádek.         Od dětství mnoho četla, zejména historické romány (například Hugo, Balzac),         knihy o malířích.         Doma byly tři sestry (včetně ní), maminka byla dlouho doma a podporovala dcery         v učení. Rodina chodila často na výlety. Četlo se společně.           XAVER, teoretický fyzik          Základní škola byla podle Xavera trochu nudná a nezajímavá. Nedělaly se věci,         které by ho bavily. Navíc mu výuka připadala poněkud neefektivní. Asi v 5. roč-         níku si udělal průzkum efektivity výuky a zjistil, že za šest vyučovacích hodin,         které měli v jednom dni, se učilo přibližně hodinu a půl. Ve zbytku času se řešily         věci pro Xavera zbytečné – zkoušelo se u tabule, řešily se třídní a kázeňské pro-         blémy.          Na 2. stupni Xaver inklinoval především k matematice. Avšak hodiny matematiky         nijak zvlášť zajímavé nebyly. S fyzikou to bylo obdobné. Učitel fyziky nedokázal         učivo předávat poutavě. Během základní školy chodil Xaver na různé olympiády,         v Matematické olympiádě se dostal do oblastního kola. Učitelka ho netrénovala,         jen mu dala možnost zúčastnit se MO.         Se spolužáky se na základní škole tolerovali, měl asi dva lepší kamarády.         Leccos se změnilo přechodem na gymnázium. Začal číst fyzikální a matematické         knihy, sháněl si je po antikvariátech. Účastnil se mnoha korespondenčních semi-         nářů z fyziky a informatiky. Zlepšilo se také jeho zařazení mezi spolužáky, neboť         s nimi měl více společných zájmů.         Rodiče neobohacovali Xavera konkrétně (v matematice nebo ve fyzice), ale spíš         obecně: „Bylo co číst, měl jsem k dispozici křížovky a podobně.“         Na závěr našeho rozhovoru vyslovil Xaver názor, pramenící z jeho zkušeností se         školou: „Škola slouží primárně k hlídání dětí, aby rodiče mohli chodit do práce.         Samozřejmě můžeš mít štěstí a natrefit na dobrého učitele, ale není to pravidlem.“           JINDŘICH, světově uznávaný matematik         Na 1. stupni měl Jindřich šikovnou paní učitelku; o učitelích říká, že ho vždy mo-         tivovali. Přesto během 1. stupně v matematice nevynikal.         Na 2. stupni mu již matematika šla lépe, ale nikterak se jí nezabýval. V matema-         tice měl jedničky a dvojky; neprojevoval se jako výborný žák, ani neměl problémy.          178             ┼","Mnoho četl – Jiráska, Nerudu, Babičku od Němcové, Štorcha (např. Lovci mamu-                tů), oslovila jej kniha Volání rodu, velmi ho zajímala historie. Měl výtvarné nadá-                ní, ve vyučování si často kreslil. Jak ale říká: „Nadání je nutno rozvíjet, já jsem                vlohy pro kreslení nerozvíjel, proto ze mě žádný malíř nebyl.“                Teprve na střední škole začali Jindřicha považovat v matematice a fyzice za vyni-                kajícího žáka. Měl velmi přísného učitele, který jeho vlohy rozvíjel. Na maturitu                z matematiky se připravoval pečlivě, vyřešil mnoho úloh. Rozhodl se jít na mate-                matickou vysokou školu. Motivací pro něj ovšem bylo to, že na matematicky za-                měřenou vysokou školu se dostane snáze než na jiný typ školy.                Rodinné prostředí bylo podnětné. Rodiče velice dbali na to, aby prospíval ve ško-                le. Otec si s ním často povídal o fungování světa.                O učitelích říká, že měl celý život štěstí na osobnosti.                Jindřich se pokusil zformulovat, čím se tolik odlišuje od ostatních lidí: „Mám                zásadu hledat i nečekané souvislosti, snažím se odkrývat podstatu věcí, neustu-                povat před problémy a hledat jejich řešení.“                  ŠIMON, světově uznávaný teoretický fyzik                 Šimon chodil od 3. ročníku do jazykové třídy, v kolektivu převažovaly dívky.                Vztahy se spolužáky označuje za více méně neutrální. Přesto se v kolektivu necí-                til příliš dobře. Pociťoval odlišnosti od spolužáků, neměl s nimi společné zájmy,                neměl si s nimi o čem povídat. V třídním kolektivu měl jednoho dobrého kamará-                da a kamarádilo s ním i několik dalších chlapců.                Matematické úlohy řešil Šimon neobvykle, nedodržoval postupy, učitelce to vadi-                lo. V 6. ročníku mu kvůli tomu hrozila dvojka z matematiky. Spolužáci protesto-                vali a vybojovali mu jedničku.                Matematické poznatky získával především ze školy, všímal si různých zákonitos-                tí, které potom samostatně rozvíjel. Doma četl knihy o fyzice. Zajímaly ho přírod-                ní vědy obecně, chtěl se stát ochráncem přírody.                 Po dokončení 8. ročníku šel na gymnázium, do matematické třídy. Velmi se mu                tam líbilo, protože začal mít se spolužáky společné záliby. Matematika měla vy-                sokou hodinovou dotaci, byla vyučována na vysoké úrovni. Řešily se náročné                problémové úlohy, studenti společně debatovali nad řešením.                Šimon velmi četl, nejvíce verneovky nebo mayovky. U některých knih měl problém                s tím, že si nedokázal zapamatovat všechny postavy, pokud jich bylo více.                Rodiče ho velmi podporovali ve studiu matematiky, zajímali se o jeho studium.                Tatínek mu ukazoval matematické hříčky, vykládal zajímavosti o matematice                a o přírodovědě. Doma měli knihy s matematickými úlohami, které společně řešili.                                                                                      179                                                                              ┼","– 5 – 3    Shrnutí         U respondentů můžeme sledovat tyto společné znaky:         •  Školní prostředí většinou nebylo zdrojem podnětů a rozvoje nadání. Často se            opakuje slovo „nuda“. Některé respondenty ovlivnila osobnost učitele, který            měl dobré matematické znalosti, uměl učivo vysvětlit, byl přívětivý.         •  Většina nadaných měla podnětné rodinné prostředí, i když ne právě zaměřené            na matematiku. Rodiče tyto děti spíše podporovali v poznávání světa jako            celku, nešlo o žádný nácvik matematických postupů. Tito žáci četli mnoho            knih. Stejnou zkušenost má Campbell (2001), který uvádí, že v rodinách s na-            danými dětmi vždy bylo velké množství knih.         •  Někteří nadaní po celou základní školu vůbec netušili, že jsou v matematice            výjimeční. Jejich zájmy byly velmi široké, získali velký rozhled, a to zejména            četbou.         •  Někteří nadaní se začali lépe cítit až v homogennějších třídách, kde se nemu-            seli za své nadání stydět. Několikrát bylo uvedeno, že teprve na víceletém            gymnáziu měli se spolužáky více společných zájmů. Jestliže respondenti měli            pocit, že se nachází v kolektivu, který není veden k toleranci a respektování            různosti lidí, mnohdy neusilovali o žádnou interakci se spolužáky, nedávali            příliš najevo své nadání. Stehlíková (2016) uvádí, že nadané děti samy sebe            často vnímají jako divné, jiné a toto sebepojetí vstupuje do vztahů s kamarády.            Říká, že nejen že ostatní děti nechtějí být s nadaným dítětem, ale také nadané            dítě nechce být s nimi. Bohužel, zejména na prestižních gymnáziích může            dojít i k opačné situaci, kdy v kolektivech složených z kognitivní elity jsou            utlačováni žáci „pouze“ bystří. Zde už nemluvíme pouze o tom, kdo koho ši-            kanuje, ale o celkové schopnosti žáků komunikovat spolu a vzájemně se respek-            tovat. Segregace bohužel nevede k rozvoji těchto komunikačních dovedností,            nerozvíjí se komunikace mezi komunitami.         •  Mnoho respondentů se zajímalo o historii, malířství, hudbu a také o jazyky.            Jejich zájmy byly široké. Podobnou zkušenost s matematicky nadanými žáky            získala Laznibatová (2001). Uvádí, že matematicky nadané děti tvoří dle jejích            výzkumných šetření svými výkony celkem samostatnou skupinu v porovnání            s běžnou populací dětí. „Je pro ně charakteristický vysoce nadprůměrný rozvoj            všeobecných intelektových schopností, s rovnoměrně rozvinutou složkou            verbální a nonverbální inteligence, stejně jako verbální i neverbální tvořivosti.“            (s. 40)         Výsledky výzkumu jsou omezené a je možné je brát pouze jako prvotní vhled         do problematiky. Vzorek respondentů byl malý na to, aby bylo možné učinit něja-         ké zobecnění. Navíc vzpomínky nejsou zcela spolehlivé. Přesto jsem přesvědčena,         že další mapování vzpomínek matematiků na školní léta by pomohlo upřesňovat         pohled na problematiku vzdělávání nadaných dětí. Velmi málo toho například víme         o dětství geniálních matematiků. Jak uvádí Durnová a Kotůlek (2017), historie           180             ┼","matematiky nám nabízí celou řadu životopisů slavných vědců, z nichž však není                patrné, jak se rozvíjel jejich talent v dětství, jak se nadaným věnovali jejich rodiče                nebo učitelé. Z některých životopisů získáme kusé informace o dětství geniálních                slavných vědců. Například George Boole (1815‒1864), anglický matematik a logik,                získal základy vzdělání v matematice od otce, který byl sice ševcem, ale s mimo-                řádným zájmem o matematiku a optickou techniku. Jazyky malý George stu-                doval sám, do 14 let ovládl řečtinu, francouzštinu a němčinu. Leonhard Euler                (1707‒1783), švýcarský matematik, fyzik a astronom, své matematické nadání                projevil velmi záhy. Stal se žákem rodinného přítele, matematika Johanna                Bernoulliho. Karl Friedrich Gauss (1777‒1855), německý matematik, fyzik, astro-                fyzik a astronom, už v raném dětství projevil nevšední nadání pro počty, prý uměl                dříve počítat než mluvit. V 11 letech studoval knihy o infinitezimálním počtu.                                                                                  51                Ne všichni slavní matematici a fyzici projevovali od dětství své nevšední nadání.                Například Isaac Newton (1642‒1727), anglický fyzik, matematik a filozof, byl                jako dítě fyzicky slabý, bez známek nějakého zvláštního nadání. Henry Cavendish                (1731‒1810), britský fyzik a chemik, trpěl silným Aspergerovým syndromem                (Navrátil \& Novotná, 2014). Studoval na univerzitě v Cambridge, avšak nezískal                vysokoškolský diplom. Albert Einstein (1879‒1955), dodnes mnoha lidmi pova-                žovaný za největšího génia všech dob, byl prakticky po celé dětství považován                za opožděné dítě. Mluvit se naučil mnohem později než jeho vrstevníci a jeho                rodiče měli obavy o jeho mentální vývoj (Mihulová \& Svoboda, 2012). Učitelé                základní školy jej hodnotili jako mentálně zaostalého, nespolečenského introverta,                neustále zahloubaného do svých snů. Od dětství hrál na housle a byl schopen od-                halovat matematickou strukturu Mozartovy hudby (Mihulová \& Svoboda, 2012).                Durnová a Kotůlek (2017) se podrobně věnují životopisu Václava Hlavatého,                matematika 20. století, který podle nich nebyl géniem, přesto se stal světově uzná-                vaným matematikem. Dokázal vyřešit Einsteinovy rovnice, přitom sám sebe                vtipně označoval za „Eisteinova obyčejného násobilkáře“. Ve škole se však Hla-                vatý jako matematik příliš neprojevoval. Na gymnáziu byl sice premiantem třídy,                ale v matematice měl nejhorší známky ze všech předmětů (což byly dvojky).                Exceloval v jazycích. Byl také hudebně nadán a hrál výtečně na housle.                Podobných životopisů, zaměřených na dětství vědců, najdeme skutečně málo, ale                i tak lze sledovat společné znaky s těmi, které jsem vypozorovala ve svém vý-                zkumném šetření.                          51   Informace o matematicích získány z Encyklopedické edice: Matematici. Praha: Encyklo-                   pedický dům, 1997.                                                                                  181                                                                              ┼","","ZÁVĚRY                            Přechod od aritmetiky k algebře je stěžejním místem školské matematiky, kde lze                sledovat schopnosti nadaných a matematicky nadaných žáků.                V rámci výzkumu jsem se zabývala tím, jak žáci přistupují k řešení úloh rovnico-                vého charakteru. Sledovala jsem vývoj metod používaných žáky ve 4. a 5. ročníku                a později od 6. do 9. ročníku. Zaměřovala jsem se také na přístupy nadaných                a matematicky nadaných žáků.                Výzkum na 1. stupni ZŠ ukázal několik zajímavých fenoménů. Za jeden z nejdů-                ležitějších považuji ten, že matematicky nadaní žáci přecházejí občas k algebraic-                kým metodám podstatně dříve, než tomu odpovídá obsah učiva a než jsou toho                schopni ostatní žáci (někteří slabí žáci nejsou schopni přejít k algebraickým meto-                dám až do konce 9. ročníku). Největším problémem je u těchto žáků korektní                matematický zápis s používáním závorek.                V testu pro 1. stupeň byly výsledky u jedné úlohy (úloha 4) statisticky významně                lepší u nadaných žáků než u ostatních. Příliš jednoduché úlohy, které vedly na                jednokrokové rovnice, byly triviální pro nadané i ostatní žáky. Naopak vybrané                problémové úlohy byly příliš složité i pro matematicky nadané žáky. Úloha vedou-                cí na rovnici se třemi kroky se jevila jako nejcitlivější k posuzování nadání. Je však                nutné upozornit, že u všech testových úloh pro 1. i 2. stupeň se projevilo, že písem-                né testování není pro nadané žáky nejlepším způsobem, jak mohou projevit své                schopnosti. Důvodem je zejména komplexnost myšlení nadaných žáků, které                mnohdy vede k řešením, která nejsou přímočará, a žák tak úlohu nedokáže vyřešit                v omezeném čase, přestože má do problému mnohem větší vhled než průměrní                žáci. U mnohých matematicky nadaných žáků se často projevuje rovněž neschop-                nost provádět aritmetické operace bez numerických chyb. Mnohem přínosnější je                s žákem hovořit o způsobu jeho uvažování.                Výzkum na 2. stupni potvrdil že matematicky nadaní žáci začínají používat alge-                braické metody dříve, než je na to připraveno kurikulum. Z rozhovorů vyplynulo,                že většinou se žáci s algebrou nesetkají přímo ve škole a často ani sami neumí říci,                kde používané postupy viděli. Je pro ně přirozené volit za neznámou hodnotu                písmeno, aby tak zjednodušili výpočet. Zejména žáci 6. ročníku se však pochopi-                telně dopouštějí nekorektních zápisů.                                                                                    183                                                                              ┼","Z úloh vybraných do testu pro žáky 2. stupně se úloha 1 jeví jako citlivá na testo-         vání školního nadání. Ostatní úlohy byly zatíženy nejrůznějšími faktory:             •  Úloha 2 byla jednoduchá pro všechny skupiny žáků.            •  U úlohy 3 bylo vidět, že žáci nejsou zvyklí využívat metodu řízeného ex-              perimentu. Pokud tedy neznali algebraickou strategii a odmítli z nejrůzněj-              ších důvodů řešit úlohu experimentálně, úlohu vůbec neřešili. Na druhou              stranu žáci, kteří úlohu znali, například z Matematické olympiády, měli              osvojený algoritmický postup.            •  U úlohy 4 byl rozhodující výběr metody řešení. Žáci, kteří zvolili jednoduš-              ší aritmetické řešení, byli úspěšnější než žáci, kteří zvolili algebraické řeše-              ní. Přitom zejména matematicky nadaní žáci volili sofistikovanější algeb-              raické řešení, ale nedokázali ho dovést do konce.            •  U úlohy 5 se jako největší překážka ukázal zlomek.                                                         184             ┼","DISKUSE                          Testováni byli žáci, kteří byli vybráni jako nadprůměrní. Někteří z těchto žáků                byli identifikováni odborným pracovištěm jako nadaní, řada z nich byla učiteli                označena jako nadaní, ostatní byli bystří či jinak nadprůměrní. Z toho důvodu mě                překvapily některé obtíže, které se u žáků v souvislosti s přechodem od aritmetic-                kého k algebraickému myšlení objevily. Velkou roli hraje školní přístup k řešení                slovních úloh. Llinares a Roig (2008: s. 530) uvádějí, že „potíže, které žáci zažíva-                jí při používání svých matematických znalostí jako konceptuálního nástroje při                řešení problémů, mohou mít příčiny ve způsobu vzdělávání. Matematické problé-                my prezentované ve výuce jsou obvykle předávány v rámci určitého tématu, které                poskytuje všechny nástroje potřebné k nalezení matematického modelu, který by                odpovídal situaci. Tyto problémy se stávají pouhými návodnými úlohami spíše než                modelovými úlohami. Proto je pro žáky náročné vytvořit si návyky v hledání                kvantit a vztahů v zadané situaci a v hledání matematického nástroje, který může                pomoci najít řešení.“                Domnívám se, že nejen nadaným žákům by při řešení slovních úloh nebo jiných                úloh, které lze řešit algebraicky, pomohlo, kdyby byl ve výuce od 4. do 9. ročníku                kladen důraz na různé strategie řešení, nikoli pouze na osvojení jednoho postupu.                Žáci by nejdříve měli kultivovat experimentální metody, později začít používat                aritmetické metody a na závěr, pokud toho budou schopni, přejít k algebraickým                metodám s tím, že pokud to bude výhodné, použijí při řešení úloh i experimentál-                ní či aritmetickou metodu. Například v singapurských školách jsou žáci poprvé                seznamováni s algebraickými problémy, obvykle zadávanými v podobě slovních                úloh, v deseti letech (4. ročník). Žáci jsou vedeni k použití tzv. schematické me-                tody, ve které jsou kvantitativní a kvalitativní vztahy znázorňovány schematicky                (Lee et al., 2010). Na 2. stupni jsou žáci seznamováni s tzv. symbolickou metodou                k řešení algebraických slovních úloh. Někteří žáci jsou schopni začít využívat tuto                novou metodu, zatímco jiní setrvávají na používání schematické metody, kdy ze                schématu vyčtou vzájemné vztahy a pokračují aritmeticky. Někteří žáci využíva-                jí kombinaci obou metod, kdy začnou schematickým znázorněním a poté vyčtou                algebraické vztahy a pokračují algebraicky (Lee et al., 2010). Lee a kol. (2010) se                ve svém výzkumu zabývali tím, zda by nebylo lepší zcela vynechat schematickou                metodu a žáky rovnou seznamovat se symbolickou metodou. Z jejich výzkumu                vyplynulo, že symbolická metoda je velmi namáhavá (z hlediska činnosti mozku)                i pro zkušenější algebraické řešitele. Pro žáky 1. stupně by tedy nebylo vhodné                                                                                   185                                                                              ┼","nahrazovat schematickou metodu metodou symbolickou. Naopak žákům 2. stupně         by zřejmě prospělo, kdyby nebyl kladen jednostranný důraz na symbolickou me-         todu a žákům byla ve volbě metody ponechána větší volnost.         Novotná se již řadu let věnuje zkoumání používání heuristických strategií při         řešení problémových úloh. Mimo jiné se zabývala také otázkou, zda kladení důra-         zu na používání heuristických strategií je výhodné pouze pro žáky nadané, nebo         pomáhá také žákům slabým. Novotná, Eisenmann a Přibyl (2015) provedli pedago-         gický experiment, ve kterém zkoumali vliv výuky zaměřené na používání heuris-         tických strategií na slabší žáky. Výuka byla zpočátku náročná pro učitele i pro žáky.         Žáci nebyli příliš ochotni využívat heuristické strategie. Pomohlo zavedení skupi-         nové výuky, slabí žáci začali na nový styl výuky dobře reagovat, zejména co se týká         schopnosti kooperace, ochoty vyzkoušet řešení, pokud žák není vybaven matema-         tickým aparátem, a schopnosti věnovat více pozornosti ověřování výsledku.         V mém výzkumu jsem se setkávala s různými problémy žáků zapsat korektně         výpočty. Implikační zápis se objevuje u mnoha žáků bez ohledu na intelekt.         Například zápis 5 . 10 = 50 + 4 = 54 je matematicky nesprávný, neboť je v něm         porušena tranzitivita relace rovnosti. Z didaktického hlediska můžeme v zápisu         vidět ještě něco dalšího, a to je způsob uvažování, tzv. implikační uvažování,         kdy žák „přemýšlí“ vždy zleva doprava. Tento způsob mu totiž brání podívat se         na rovnici jako na celek a být schopen ji upravovat celou. Mnozí výzkumníci         jsou přesvědčeni, že žáci základní školy chápou znak „rovná se“ jako jednosměr-         ný operátor, který ze vstupů na levé straně vytváří výstup na pravé straně (např.         Vergnaud, 1985, Booker, 1987, Booth, 1988).         Někteří žáci mají nepřekonatelný problém zapsat jakkoli průběh svých myšlenek.         V mém výzkumu to byli například žáci, kteří na 1. stupni byli zvyklí pamětně         řešit úlohy typu „myslím si číslo“ nebo jednoduché slovní úlohy. Jsou-li žáci na         1. stupni zvyklí řešit úlohy intuitivně, bez zápisu, začnou mít problémy na 2. stup-         ni, při řešení úloh, které již není možné vyřešit intuitivně.         Z literatury je známo, že žáci s Aspergerovým syndromem neumí řešit problé-         mové úlohy, což se u žáků s Aspergerovým syndromem zapojených do výzkumu         nepotvrdilo. Spíše se domnívám, že žáci s Aspergerovým syndromem mají pro-         blémy se zachycením svých myšlenek na papír a interpretace jejich postupů je         složitá, protože používají originální způsoby řešení.         Během několikaleté práce s nadanými dětmi jsem si všímala jejich projevů.         Mnohdy se mi zdálo, že se žáci pohybují pod hranicí svého potenciálu (posuzová-         no dle volených strategií, zejména používání neřízeného experimentu, což svědčí         o tom, že žák nerozvíjí dovednost řešit úlohy). Co podle mého názoru těmto dětem         ve škole chybělo, byla diskuse nad možnostmi řešení a zaměření na strategie více         než na osvojování si jednoho preferovaného způsobu řešení. Když měli nadaní žáci         možnost povídat si o různých přístupech k řešení a rovněž pracovat s chybou,         například v rámci našeho kroužku, začala být patrná jejich vysoká rychlost při         osvojování si nových postupů.          186             ┼","Nedořešená zůstává otázka, zda je možné v dětství, během základní školní do-                cházky, odhalovat ty žáky, kteří se budou v dospělosti projevovat jako matematic-                ky nadaní. Jakékoli testování nadaných žáků pomocí didaktických testů se zamě-                řuje pouze na úzkou složku schopností, které předurčují, zda je žák nadaný a jak                bude schopen svých vloh využít. Goleman (2011) uvádí, že v jedné studii prová-                děné na Kansaské univerzitě se ukázalo, že skutečné školní výsledky studentů se                daly předpokládat lépe z jejich víry v úspěch než z výsledků přijímacích zkoušek                (testu SAT, obdobě IQ testů). Lidé, kteří věří v úspěch, lépe řeší krizové situace,                dokážou pružně přemýšlet a dosahují snadněji svých cílů. Obdobně dle Golemana                předpovídá školní úspěchy optimismus. Optimismus vede člověka k tomu, aby                vytrval i přes nezdary a porážky, aby se nevzdával a vytrval ve snaze. V testech                schopností chybí hodnocení motivace. Didaktické testy by z tohoto důvodu mohly                vyřadit celou řadu nadaných i matematicky nadaných žáků. Renzulli (1978) napsal,                že „studie jasně ukazují, že obrovský počet a poměr nejvíce produktivních lidí                nejsou ti, kteří skórovali nad 95. percentilem ve standardizovaných testech,                ani ti, kteří na základní škole dostávali jedničky a kteří brzy zjistili, jak hrát škol-                ní hru na učení“  (s. 84).                              52                Osoby skutečně matematicky nadané mohou být dle mého názoru v prostředí                základní školy obtížně identifikovatelné. Blažková (2009) upozorňuje, že mnoho                význačných osobností mělo v dětství problémy v matematice, a přesto dosáhli                vynikajících výsledků právě v matematice nebo fyzice. Uvádí následující konkrét-                ní příklady (Blažková, 2009: s. 21):                   •  O fyzikovi George Gamovovi prohlásila jeho studentka, známá astronomka                      Věra Rubinová: „Neuměl psát ani počítat. Chvíli by mu trvalo, než by vám                      řekl, kolik je 7 krát 8. Ale jeho rozum byl schopen chápat vesmír.“ (Gamov,                      2000: s. 153).                   •  Matematik Nikolaj Nikolajevič Luzin patřil k lidem s pomalou reakcí. Také                      se pomalu vyvíjel, ve škole neprospíval, dokonce právě v matematice.                   •  David Hilbert, jeden z největších matematiků 20. století, působil dojmem                      tupého, pomalu uvažujícího člověka, který těžko chápe, co mu kdo vykládá.                   •  Albert Einstein, největší fyzik 20. století, ve škole propadal, měl velké pro-                      blémy se čtením.                   •  Thomas Alva Edison patřil k horší části třídy, nikdy nezvládl dovednosti,                      jako je psaní, pravopis a také aritmetika.                Z toho důvodu se domnívám, že na základní škole bychom se měli snažit o rozvoj                matematického myšlení u všech dětí, které o to mají zájem, a nesnažit se je příliš                kategorizovat.                   52   The studies clearly indicate that vast number and proportions of our most productive persons                   are not those who scored at the 95th or above percentile on standardized tests, nor were they                   necessarily straight-A students who discovered early how to play the lesson-learning game.                                                                                  187                                                                              ┼","","DOPORUČENÍ DO PRAXE                        Přechod od aritmetiky k algebře je problematický pro všechny skupiny žáků zá-                kladní školy. Vysoce nadaní žáci, jejichž matematické představy se vyvíjejí rych-                leji než u ostatních žáků, mají problém v tom, že u nich dochází k nástupu algeb-                raického myšlení podstatně dříve, než je běžné. Nezřídka se stává, že tito žáci již                během 5. až 6. ročníku začínají sami od sebe využívat algebraické způsoby řešení                slovních úloh. U těchto žáků je ze strany učitele podstatná podpora v pochopení                podstaty matematických zápisů a též nenásilné vedení ke korektnímu matematic-                kému zápisu, aby si nefixovali nesprávné zápisy.                Problémy jiných nadaných a bystrých žáků pramení mnohdy z toho, že ve výuce                je vynechána dlouhá etapa řešení algebraických úloh aritmetickými metodami.                Těmto žákům by pomohlo, kdyby se seznamovali s aritmetickými strategiemi                řešení slovních úloh už od 1. stupně. Je vhodné nechat volbu strategie na žákovi,                což platí i po celý 2. stupeň. Pokud žák není na algebraické metody mentálně zra-                lý, stejně je nebude schopen efektivně používat.                Ve vedení nadaných žáků hrají důležitou úlohu také rodiče. Rodiče pochopitelně mají                zájem na tom, aby se jejich nadané dítě co nejlépe rozvíjelo. Pokud je během 1. stup-                ně dítě identifikováno jako nadané, nezřídka se setkáváme s tím, že je přesunuto do                třídy pro nadané a jeho výuka se začne podobat tréninku školních dovedností. Zku-                šenosti nám ukazují, že tento přístup nadané žáky nemusí příliš rozvíjet. Spíše vede                k tomu, že žákovi ubývají kapacity na mentální aktivity, dokonce může dojít až                k demotivaci žáka. Rodičům bych proto spíše doporučovala, aby kladli důraz na                čtení (malým dětem čtou rodiče pohádky, příběhy a naučné knihy) a aby si s dětmi                povídali o světě. Ginsburg a Uscianowski (2017) doporučují, aby rodiče i učitelé                zařazovali mezi aktivity s dětmi čtení matematicky zaměřených knížek. Knihy                s matematickou tematikou je možné volit již od předškolního věku. Oba autoři přitom                navrhují držet se následujících zásad: vybrat dobrou knihu s matematickými obráz-                ky; číst společně s dítětem; zdůrazňovat slova a obrázky, které znázorňují matema-                tické pojmy; klást otázky, které nemají jednu odpověď; povzbuzovat dítě ve vysvět-                lování; následovat zájem dítěte; číst s citem; číst knihu opakovaně; užít si příběh.                Nadání je dar, který může dětem pomoci v dospělosti najít zajímavou práci, která                je bude bavit a díky které budou moci pomáhat dalším lidem. Ve školním pro-                středí nelze předpokládat, že nadaným dětem půjde vše výborně samo od sebe.                Zejména problematické části učiva, jako je v matematice například přechod od                aritmetiky k algebře, mohou i nadaným dětem způsobovat různé potíže, se který-                mi potřebují pomoc, aby se mohly adekvátně rozvíjet.                                                                                  189                                                                              ┼","","LITERATURA                            Adetula, L. O. (1990). Language factor: Does it affect children’s performance on word problems?                Educational studies in mathematics, 21, pp. 351–365. Kluwer Academic Publishers.                Attwood, T. (2012). Aspergerův syndrom. Porucha sociálních vztahů a komunikace. Praha:                Portál.                Betts, G. T. \& Naihart, M. (1988). Profiles of the gifted and talented. Gifted Child Quarterly,                32(2), pp. 248–253.                Bělohlávková, L. (2013). Rozvoj sociálních dovedností. In Martinková, M. (ed.): Sociálne                vzdelávanie žiakov s Aspergerovým syndrómom. Bratislava: Edoptim.                Blažková, R. (2009). Dyskalkulie a další specifické poruchy učení v matematice. Brno: Masa-                rykova univerzita.                Blažková, R. \& Budínová, I. (2014). Pracovní listy 1–8 pro matematicky nadané žáky 4. a 5. roč-                níku. Brno: Centrum MU pro rozvoj nadaných dětí v JM kraji.                Blažková, R. \& Budínová, I. (2017). Matematika pro bystré a nadané žáky, 2. díl. Brno: Edika.                Blažková, R., Matoušková, K. \& Vaňurová, M. (2011a). Kapitoly z didaktiky matematiky: slovní                úlohy, projekty. Brno: PdF MU.                Blažková, R., Matoušková, K. \& Vaňurová, M. (2011b). Pracovní sešit k učebnici matematika 3,                1. díl. Praha: Alter.                Blažková, R., Matoušková, K. \& Vaňurová, M. (2011c). Pracovní sešit k učebnici matematika 3,                2. díl. Praha: Alter.                Booker, G. (1987). Conceptual obstacles to the development of algebraic thinking. In J. C.                Bergeron, N. Herscovics \& C. Kieran (Eds.), 11th Conference of the International Group for                the Psychology of Mathematics Education. Vol. 1, pp. 275–281. Montreal, Canada.                Booth, L. (1988). Children‘s difficulties in beginning algebra. In A. F. Coxford \& A. P. Schulte                (Eds.), The ideas of algebra, K-12, 1988 Yearbook, pp. 20–32. Reston, VA: NCTM.                Borland, J. H. (2005). Gifted Education without Gifted Pupils. In Sternberg, R. J. \& Davidson,                J. E. (Eds.) Conceptions of Giftedness, pp. 1–19. Cambridge University Press.                Britt, M., S., Irwin, K., C. (2011). Algebraic Thinking with and without Algebraic Represen-                tation: A Pathway for Learning. In Cai, J., Knuth, E. (Eds.) Early algebraization, pp. 137–160.                Berlin: Springer-Verlag.                Břehovský, J., Eisenmann, P., Novotná, J. \& Přibyl, J. (2015). Solving problems using experi-                mental strategies. In Novotná, Jarmila \& Moraová, Hana (Eds.), International Symposium                Elementary Maths Teaching SEMT ‘15, Proceedings. Developing mathematical language                and reasoning, pp. 72–81. Praha: UK-PedF.                                                                                   191                                                                              ┼","Budíková, M., Králová, M. \& Maroš, B. (2010). Průvodce základními statistickými metodami.         Praha: Grada.         Budínová, I., Blažková, R., Vaňurová, M. \& Durnová, H. (2016). Matematika pro bystré a na-         dané žáky. Brno: Edika.         Budínová, I. (2016). Aritmetické postupy v algebraických úlohách používané nadanými žáky         na 1. stupni ZŠ. Svět nadání, Národní institut dětí a mládeže MŠMT, 2017, č. 2, s. 12–42.         ISSN 1805-7217. Získáno z http://www.talentovani.cz/documents/10157/662115/Aritmeticke+         postupy+v+algebraickych+ulohach.pdf/5dde4918-4cf7-4b2b-8b1d-e466a686612c         Campbell, J. R. (2001). Jak rozvíjet nadání vašich dětí. Praha: Portál.         Carraher, D., Schliemann, A., Brizuela, B. \& Earnest, D. (2006). Arithmetic and algebra in         early mathematics education. Journal for Research in Mathematics Education 37(2), pp. 87–115.         Cvetkovič-Lay, J. (1995). Ja choču i mogu više. Priručnik za odgoj darovite djece od 3 do 8         godina. Zagreb: Alinea.         Damarin, S. (2000). The mathematically able as a marked category. Gender and Education,         12(1), pp. 69–85.         Diezmann, C. M. \& Watters, J. J. (2002). Summing up the education of mathematically gifted         students. In Proceedings 25th Annual Conference of the Mathematics Education Research         Group of Australasia, pp. 219–226, Auckland.         Divíšek, J. (1989). Didaktika matematiky pro učitelství 1. stupně ZŠ. Praha: SPN.         Dixon, J. P. (1983). The spatial child. Springfield, IL: Charles S. Thomas.         Durnová, H. \& Kotůlek, J. (2017). Kterak nadaný kvartán udolal učitele. Svět nadání. Č. 1,         ročník VI.         Dweck, C. S. (2006). Mindset. The New Psychology of Success. New York: Ballantine Books.         Ervynck, G. (1991). Mathematical creativity. In D. Tall (Ed.), Advanced Mathematical Thinking         (pp. 42–53). Kluwer Academic.         Fořtík, V. \& Fořtíková, J. (2007). Nadané dítě a rozvoj jeho schopností. Praha: Portál.         Frensch, P. \& Sternberg, R. (1992). Complex Problem Solving: Principles and Mechanisms.         Mahwah, NJ: Erlbaum.         Fuchs, E. \& Zelendová, E. (2015). Metodické komentáře ke Standardům pro základní vzdělá-         vání. Praha: NÚV.         Fuson, K. C., Caroll, W. M. \& Landis, J. (1996). Levels in conceptualizing and solving addition         and subtraction compare word problems. Cognition and Instruction, 14(3), pp. 345–371.         Gagné, F. (2005). From Gifts to Talents. The DMGT as a Developmental Model. In Sternberg,         R. J. \& Davidson, J. E. (Eds.) Conceptions of Giftedness, 2, pp. 98–119. Cambridge University         Press.         Gamov, G. (2000). Moje světočára. Praha: Mladá fronta.         Gardner, H. (2006). Multiple intelligences: New horizons. NY: Basic books.         Garofalo, J. (1993). Mathematical problem preferences of meaning-oriented and number-oriented         problem solvers. Journal for the Education of the Gifted. Vol. 17, no. 1, pp. 26–40.         Geschwind, N. (1982). Why Orton was wright. Annals of dyslexia, 32, pp. 13–30.         Ginsburg, H. P. \& Uscianowski, C. (2017). Stories, stories, and more math stories. In Novotná, J.         \& Moraová, H. (Eds.) International Symposium Elementary Maths Teaching: Equity and          192             ┼","diversity in elementary mathematics education, pp. 9–19. Prague: Charles University, Faculty                of Education.                Greenes, C. (1981). Identifying the Gifted Students in Mathematics. Arithmetic Teacher, 28,                pp. 14–18.                Goleman, D. (2011). Emoční inteligence. Praha: Metafora.                Havigerová, J. M. (2011). Pět pohledů na nadání. Praha: Grada.                Havigerová, J. M., Křováčková, B. a kol. (2011). Co bychom měli vědět o nadání. Hradec Krá-                lové: Gaudeamus.                Hejný, M. (1990). Teória vyučovania matematiky 2. Bratislava: Slovenské pedagogické nakla-                dateľstvo.                Hejný, M. (2003). Anatómia slovnej úlohy o veku. Zborník príspevkov z konferencie Matema-                tika v škole dnes a zajtra. Katolícka Univerzita, Ružomberok, s. 1‒13. Získáno z http://math.                ku.sk/data/konferenciasub/pdf2003/Hejny.pdf                Hejný, M. (2014). Vyučování matematice orientované na budování schémat: aritmetika                1. stupně. Praha: PdF UK.                Hejný, M. a kol. (2015). Matematika – učebnice pro 2. stupeň ZŠ a víceletá gymnázia. Praha:                H-mat.                Hejný, M. \& Stehlíková, N. (1999). Číselné představy dětí. Praha: PdF UK.                Herrnstein, R. J. \& Murray, Ch. (1994). The Bell Curve. Inteligence and Class Structure in                American Life. NY: Free Press.                Hiebert, J. \& Lefevre, P. (1986). Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An                introductory analysis. In James Hiebert (Ed.), Conceptual and procedural knowledge: The case                of mathematics, pp. 1–27. Hillsdale: Erlbaum.                Hollingworth, L. S. (1942). Children above 180 IQ: Stanford-Binet-origin and development.                New York, World book (Yonkers-on-Hudson).                House, P. (Ed.) (1987). Providing opportunities for the mathematically gifted K-12. Reston, VA:                NCTM.                Hříbková, L. (2009). Nadání a nadaní. Praha: Grada.                Hříbková, L. \& Páchová, A. (2013). Typy žáků v diskurzu učitelů základní školy. In Rendl, M.,                Vondrová, N. a kol. Kritická místa matematiky na základní škole očima učitelů, s. 209‒258.                Praha: UK.                Chráska, M. (1999). Didaktické testy. Brno: Paido.                Johnson, M. L. (1983). Identifying and teaching mathematically gifted elementary school students.                Arithmetic teacher, 30(5), pp. 25–26.                Juškevič, A. P. (1978). Dějiny matematiky ve středověku. Praha: Academia.                Kaslová, M., Fialová, D., Čížková, R. \& Korda, J. (2007). Sbírka úloh z matematiky pro                4. a 5. ročník základní školy. Praha: SPN.                Kieran, C. (1992). The learning and teaching of school algebra. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook                of research on mathematics teaching and learning, pp. 390–419. New York: Macmillan.                Kieran, C. (2004). Algebraic thinking in the early grades: What is it. The Mathematics Educator,                8(1), 139–151.                                                                                    193                                                                              ┼","Kilpatrick, J., Swafford, J. \& Findell, B. (Eds.). (2001). Adding it up: Helping children learn         mathematics. Washington, DC: National Academy Press.         Knepper, W., Obrzut, E. J. \& Copeland, P. E. (1983). Emotional and social problem-solving         thinking in gifted and average elementary school children. The journal of Genetic Psychology,         vol. 142, no. 1, pp. 25–30.         Kopka, J. (1999). Hrozny problémů ve školské matematice. Ústí nad Labem: Univerzita J. E.         Purkyně.         Kopka, J. (2007). Výzkumný přístup při výuce matematiky. Ústí nad Labem: Univerzita J. E.         Purkyně.         Kuřina, F. (1989). Umění vidět v matematice. Praha: SPN         Kuřina, F. (2016). Matematika jako pedagogický problém. Gaudeamus.         Kvasz, L. (2007). Vznik algebraickej symboliky. In N. Stehlíková \& D. Jirotková (Eds.), Dva         dny s didaktikou matematiky 2007, s. 18‒30. Praha: Pedagogická fakulta UK.         Kvasz, L. (2013). Historické aspekty vyučování algebry. In Rendl, M. Vondrová, N. a kol.:         Kritická místa matematiky na základní škole očima učitelů, s. 301‒324. Praha: Pedagogická         fakulta Univerzity Karlovy.         Květoň, P. (1982). Kapitoly z didaktiky matematiky. Ostrava: Pedagogická fakulta v Ostravě.         Laznibatová, J. (2001). Nadané dieťa, jeho vývin, vzdelávanie a podporovanie. Bratislava: Iris.         Lee, K., Yeong, S. H. M., Ng, S. F., Venkatraman, V., Graham, S. \& Chee, M. W. L. (2010).         Computing solutions to algebraic problems using a symbolic versus a schematic strategy. ZDM         Mathematics Education, 42, pp. 591–605.         Lewis, A. B. \& Mayer, R. E. (1987). Students‘ Miscomprehension of Relational Statements         in Arithmetic Word Problems. Journal of Educaional Psychology. Vol. 79, no. 4, pp. 363–371.         American Psychological Association, Inc.         Linsell, C. (2009). A hierarchy of strategies for solving linear equations. In R. Hunter, B. Bicknell         \& T. Burgess (Eds.), Crossing divides: Proceedings of the 32nd annual conference of the         Mathematics Education Research Group of Australasia. Vol. 1, pp. 331–338. Palmerston North,         NZ: MERGA.         Llinares, S. \& Roig, A. I. (2008). Secondary School Studets‘ Construction and Use of Mathe-         matical Models in Solving Word Problems. International Journal of Science and Mathematics         Education, 6, pp. 505–532.         Malinová, E. (1983). Didaktika matematiky pro první stupeň základní školy. Praha: UK.         Mareš, M. (2011). Příběhy matematiky. Příbram: Pistorius a Olšanská.         Mayer, R. E. (1982). The psychology of mathematical problem solving. In: F. K. Lester; Garo-         falo (Ed.). Mathematical Problem Solving: Issues in Research, pp. 1–13. Philadelpia: Franklin         Institute Press.         Mayer, R. E. (1992). Cognition and instruction: Their historic meeting within educational         psychology. Journal of Educational Psychology, vol. 84, no. 4, pp. 405–412. Washington.         Mihulová, M. \& Svoboda, M. (2012). Rozhovory s Einsteinem. Santal.         Miller, R. C. (1990). Discovering mathematical talent. ERIC Clearinghouse on Handicapped         and Gifted Children Reston VA.             194             ┼","Mišovcová, K. (2014). Učiteľ-rodič-dieťa s Aspergerovým syndrómom. In Mátychová, M.                \& Ižová, Z. (eds.): Aspergerov syndróm: výzva pre výchovu, vzdelávanie, vedu a psychoterapiu.                Bratislava: Edoptim.                Mönks, F. J. (1987). Beratung und Förderung besonders begabter Schüller. Psychologie in                Erziehung und Unterricht, 34, pp. 214–222.                Mönks, F. J. \& Katzko, M. W. (2005). Giftedness and Gifted Education. In Sternberg, R. J.                \& Davidson, J. E. (Eds.) Conceptions of Giftedness, pp. 187–200. Cambridge University Press.                Nesher, P. (1976). Three determinants of difficulty in verbal arithmetic problems. Educational                Studies in Mathematics, 7, pp. 369–388.                Neusar, A. (2009). O otázkách a odpovědích: přínos kognitivního přístupu k metodologii                dotazování. In Šucha, M., Charvát, M. \& Řehan, V. (eds.): Kvalitativní přístup a metody ve                vědách o člověku. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci. s. 27–35.                Navrátil, V. \& Novotná, J. (2014). Významní fyzikové a matematici – mládí, nadání, dlouhověkost.                In Jiřina Novotná (Ed.): Motivace v matematice a přírodních vědách. Brno: Munipress.                Nováková, E. (2016). Analýza úloh ze soutěže Matematický Klokan a jejich řešení žáky primární                školy. Brno: Munipress.                Novotná, J. (1997). Geometrical models in solving word problems that include the division                of the whole into parts (theory and practice). In Interakcija Teorii i Praktyki w Nauczaniu                Matematyki: materialy z konferencii naukowej, pp. 109–119. Rzeszów.                Novotná, J. (2000). Analýza řešení slovních úloh. Praha: PedF UK.                Novotná, J. (2004). Student’s Levels of Understanding Word Problems. In Proceedings of the                Ninth International Congress on Mathematical Education, pp. 184–185. Springer Netherlands.                Novotná, J. (2010). Study of solving word problems in teaching of mathematics. From atomic                analysis to the analysis of situations. Saarbrücken, Germany: LAP LAMBERT Academic                Publishing.                Novotná, J. (2016). Heuristic Strategies in Solving of Mathematical Problems at School. In                Flégl, Houška, Krejčí (Eds.). Efficiency and Responsibility in Education. pp. 429–439. Praha:                Česká zemědělská univerzita v Praze.                Novotná, J., Eisenmann, P. \& Přibyl, J. (2015). Are heuristic strategies a domain only for gifted                pupils? In Krejčí,  Flégl \& Houška (Eds.). Efficiency  and  Responsibility in Education,                pp. 406–413. Praha: Česká zemědělská univerzita v Praze.                Odvárko, O. \& Kadleček, J. (1997). Matematika 1 pro 6. ročník ZŠ. Opakování z aritmetiky                a geometrie. Praha: Prometheus.                Odvárko, O. \& Kadleček, J. (1998). Matematika 1 pro 7. ročník ZŠ. Zlomky, celá čísla racionální                čísla. Praha: Prometheus.                Odvárko, O. \& Kadleček, J. (2000). Pracovní sešit z matematiky. Soubor úloh pro 8. ročník                základní školy. Praha: Prometheus.                Polák, J. (2014). Didaktika matematiky. Plzeň: Fraus.                Polya, G. (2016). Jak to řešit? Praha: MatfyzPress.                Portešová, Š. (2009). Skryté nadání. Psychologická specifika rozumově nadaných žáků s dys-                lexií. Brno: Munipress.                Portešová, Š. (2011). Rozumově nadané děti s dyslexií. Praha: Portál.                                                                                    195                                                                              ┼","Průcha, J., Walterová, E. \& Mareš, J. (1998). Pedagogický slovník. Praha: Portál.         Renzulli, J. S. (1978). What makes giftedness? Reexamining a definition. Phi Delta Kappan,         vol. 60, no. 3, pp. 180-184. Retrieved from Kappan digital edition exclusive, 2011, pp. 81–89.         Renzulli, J. S. (1978). Co utváří nadání? Phi Delta Kappan, vol. 60, no. 3, pp. 180–184. Získáno         z http://www.talentovani.cz/documents/10157/f6f98024-e26c-43b3-a49d-f417d208e1d1         Renzulli, J. S. (2005). The Three-Ring Conception of Giftedness. In Sternberg, R. J. \& Davidson,         J. E. (Eds.) Conceptions of Giftedness, pp. 246–279. Cambridge University Press.         Riley, M. S. \& Greeno, J. G. (1988). Developmental analysis of understanding language about         quantities and of solving problems. Cognition and Instruction, vol. 5, no. 1, pp. 49–101.         Philadelphia.         Rogers, L. \& Novotná, J. (2003). Word Problems: A Framework for Understanding, Analysis         and Teaching. In: Classroom Contexts. Effective Learning and Teaching of Mathematics from         Primary to Secondary School. pp. 79–96. Bologna: Pitagora Editrice.         Russel, S. J., Schifter, D. \& Bastable, V. (2011). Developing Algebraic Thinking in the Context of         Arithmetics. In Cai, J., Knuth, E. (Eds.) Early algebraization, pp. 43–70. Berlin: Springer-Verlag.         Růžička, M. (2014). Obtíže ve verbálním vyjadřování adolescentů s dvojí výjimečností. In         Portešová Š. a kol.: Rozumově nadaní studenti s poruchou učení. Cesty od školních výkonových         paradoxů k úspěchu. Brno: Munipress.         Sfard, A. (1987). Two conceptions of mathematical notions: Operational and structural. In J. C.         Bergeron, Nicolas Herscovics \& Carolyn Kieran (Eds.), Proceedings of the Eleventh Inter-         national Conference for the Psychology of Mathematics Education. Vol. III, pp. 162–169.         Montréal: Université de Montréal.         Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and         objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 22, pp. 1–36.         Schacter, D. L. (1999). The seven sins of memory: Insights from psychology and cognitive         neuroscience. American Psychologist, 54, pp. 182–203.         Siegle, D. (2012). The underachieving gifted child: recognizing, understanding, and reversing         underachievement. Prufrock Press Inc.         Solso, R. L. (2001). Cognitive Psychology. Allyn \& Bacon.         Sowell, E. J., Zeigler, A. J., Bergwell, L. \& Cartwright, R. M. (1990). Identification and descrip-         tion of mathematically gifted students: A review of empirical research. Gifted Child Quarterly,         vol. 34, no. 4, pp. 147–154.         Sriraman, B. (2003). Mathematical giftedness, problem solving, and the ability to formulate         generalizations: The problem solving experiences of four gifted students. The Journal of         Secondary Gifted Education, vol. 14, no. 3, pp. 151–165.         Sriraman, B. (ed.) (2008). Creativity, Giftedness, and Talent Development in Mathematics. New         York City: IAP.         Stacey, K. \& MacGregor, M. (2000). Learning the Algebraic Method of Solving Problem.         Journal of Mathematics Behavior, 18(2), pp. 149–167.         Stehlíková, M. (2016). Život s vysokou inteligencí. Praha: Grada.         Sternberg, R. J. \& Detterman, D. K. (1979). Human Intelligence: Perspectives on its Theory         and Measurement. Norwood, NJ: Ablex.         Sternberg, R. J. (1981). The evolution of theories of intelligence. Intelligence, 5(3), pp. 209–230.          196             ┼","Sternberg, R. J. \& Williams, W., M. (2002). Educational Psychology. Boston: Allyn \& Bacon.                Straker, A. (1980). Identification of Mathematically Gifted Pupils. Mathematics in School. Vol. 9,                no. 4, pp. 4–8.                Subramaniam, K. \& Banerjee, R. (2011). The Arithmetic-Algebra Connection: A Historical-                -Pedagogical Perspective. In Cai, J., Knuth, E. (Eds.) Early algebraization, pp. 87–108. Berlin:                Springer-Verlag.                Štěpánek, P. (2009). Tvorba databáze otázek pro testování znalostí středoškolské biochemie.                Diplomová práce. Brno: PřF MU.                Thomson, M. (2006). Supporting gifted and talented pupils in the secondary school. London:                Sage.                Thorová, K. (2016). Poruchy autistického spektra. Praha: Portál.                Vergnaud, G. (1985). Understanding mathematics at the secondary-school level. In A. Bell,                B. Low \& J. Kilpatrick (Eds.): Theory, research and practice in mathematics education, pp.                27–45. Nottingham, UK: University of Nottingham, Shell Center for Mathematical Education.                Vergnaud, G. (2009). The theory of conceptual fields. Human development, 52(2), pp. 83–94.                Vybíral, Z. (2006). Psychologie jinak: Současná kritická psychologie. Praha: Academia.                Vyšín, J. (1962). Metodika řešení matematických úloh. Praha: SPN.                West, T. G. (2009). In the Mind’s Eye: Creative Visual Thinkers, Gifted Dyslexics, and the Rise                of Visual Technologies. Amherst, NY: Prometheus Books.                Wieczerkowski, W., Cropley, A. J. \& Prado, T. M. (2000). Nurturing talents/gifts in mathe-                matics. In Heller K. A., Monks F. J., Sternberg R. J. \& Subotnik R. F. (Eds.). International                handbook of giftedness and talent education. pp. 413–425. Oxford, United Kingdom: Pergamon.                Žalská, J. (2015). Počátky algebraické činnosti: algebraizace a algebraické úpravy v řešeních                žáků 2. stupně. In Vondrová, N. \& Rendl, M.: Kritická místa matematiky základní školy v ře-                šeních žáků, s. 319‒400. Praha: Karolinum.                    On-line zdroje                  Betts, G., Neihart, M. (2017). Profiles of Gifted, Talented, Creative Learners                Dostupné z http://www.uncw.edu/Ed/aig/documents/2017/Profiles%20of%20the%20Gifted%20                Talented%20and%20Creative.pdf (staženo 12. 10. 2017)                kolektiv autorů (2017). RVP ZV http://www.msmt.cz/file/41216/ (staženo 26. 11. 2017)                kolektiv autorů. https://clanky.rvp.cz/wp-content/upload/prilohy/17383/matematika_a_jeji_                aplikace.pdf (staženo 26. 11. 2017)                Příkryl, M. (1999). Autističtí géniové. Dostupné z www.talentovani.cz. (staženo 25. 7. 2017)                Standard komplexní diagnostiky mimořádného (intelektového) nadání:                http://www.nuv.cz/uploads/rovne_prilezitosti_ve_vzdelavani/nadani/diagnostika/standard_                diagnostiky_mn_2016_12_09.pdf (staženo 9. 12. 2017)                                                                                     197                                                                              ┼","","VĚCNÝ REJSTŘÍK                         A                                    I                Algebraická úloha  32, 33,37 42, 49, 51  Identifikace nadaných žáků  25, 26                Algebraické myšlení  9, 35, 41, 45, 185, 189  Implikační myšlení  35, 186                Algoritmická znalost  51             Individualizace  28                Antisignál  32, 37, 50, 54           Individualizovaná výuka  29                Aritmetická úloha  32, 37, 39, 49, 55, 56,   Inteligence  13, 14, 17, 18, 23–27, 90, 92                  60, 92                             Inteligenční kvocient  11, 14, 15                Aspergerův syndrom  20, 22, 98, 164  Interpersonální inteligence  17                Autismus  22, 98, 164, 165           Intrapersonální inteligence  17                Autonomní děti  19, 77, 81, 89                                                     J                B                                    Jazyková (verbální) inteligence  17, 18                Bystrý žák  27, 93                   Jednoduchá slovní úloha  50, 54, 186                 D                                    K                Defenzivní odpadlíci  19, 77         Klíčové slovo  31                Děti s dvojí výjimečností  2, 77, 89  Konzistentní slovní problém  54                Diferenciace  28, 29                 Kreativita  11, 18, 22, 24                Diferenciace vnější  28              Kvantita  12, 37, 40, 131                Diferenciace vnitřní  28, 29                Diferencovaná výuka  28              L                Distraktor  32                       Latentní nadání  26                Dvojí výjimečnost  8, 9, 20, 89      Logicko-matematická inteligence  17, 18,                Dynamická úloha  32, 49, 51, 53, 60, 75, 99,   23, 90                  149, 168                                                     M                E                                    Manifestované nadání  26                Experiment  41–43, 48, 62, 109, 116–120  Matematická úloha  31, 47                                                     Matematické nadání  23, 24, 60                G                                    Matematicky nadaný žák  24                Genově-environmentální interakce  17  Matematizace  31, 36, 50                Geometrická algebra Řeků  33         Metoda falešného předpokladu  34, 105, 142                Geometrická úloha  32                Metoda pokusu a omylu  30, 48, 70, 88, 104,                                                       109, 142                H                                    Metodické komentáře ke Standardům                Hejného metoda  44, 46                 základního vzdělávání  41                Heuristická strategie  48, 169, 186  Mimořádně nadané dítě  12, 85                                                                                  199                                                                              ┼","Multifaktorový model nadání  18      S         Muzikální inteligence  17            Schematická metoda  39, 185                                              Signální slovo  31, 50, 54         N                                    Skrývači nadání  19, 77         Nadané děti s ADHD  20, 23, 98, 163, 164, 173  Složená slovní úloha  32, 50         Nadané děti s Aspergerovým syndromem    Statická úloha  32           22, 23, 150, 157, 162, 163, 165, 169, 186  Strategie (řešení)  29, 30, 48         Nadané děti s dyslexií  21           Stupně nadání  14, 15         Nadané děti s extrémně vysokým IQ  27  Symbolická metoda  39, 185, 186         Nadané dítě  12                      Symbolické období  35         Nadaný žák  11, 13, 24               Synkopické období  33, 34         Nálepkování nadaných žáků  26        Šipkový diagram  37, 38, 63         Nekonzistentní slovní problém  54    Školní nadání  18         Nekonzistentní úloha  32                                              T         O                                    Teorie multiplikativní inteligence  17, 90         Operační schéma  37                  Tělesně-kinestetická inteligence  17         Operátor  37, 62                     Tříkruhový model nadání  18                                              Tvořivě-produktivní nadání  18         P                                    Typická slovní úloha  32, 51         Paměť  13, 14, 22, 23, 27         Podvýkonní žáci  19                  U         Podvýkonní nadaní žáci  20           Uchopování slovní úlohy  51         Podvýkonnost  20                     Úloha rovnicového charakteru  24, 30, 31,         Postup od konce  38, 49, 63, 65, 66, 75  32, 41, 48, 49, 54, 56, 58, 77, 93, 95, 96         Problémová úloha  23, 29, 30, 32, 40, 48,   Úsečkový model  41, 52           60, 62, 72, 75                     Úspěšné děti  19, 77, 81         Profily nadaných žáků  19, 20         Propedeutika algebraického myšlení  35, 41  V         Prostorová inteligence  17, 23, 90   Verbální vodítko  31         Provokatéři (kreativní rebelové)  19, 77  Verbalistické období  33         Přírodní inteligence  17                                              T         R                                    Talent  11, 12         Rámcový vzdělávací program           pro základní vzdělávání  41        Z         Řešení úlohy  12, 14, 16, 24, 33, 34  Zkouška správnosti  48, 56, 76, 105, 106,         Řízený experiment  42, 43, 48, 53      131                    200             ┼","","Vědecká redakce Masarykovy univerzity          prof. Ing. Petr Dvořák, CSc.; PhDr. Jan Cacek, Ph.D.; Mgr. Tereza Fojtová         Mgr. Michaela Hanousková; prof. MUDr. Lydie Izakovičová Hollá, Ph.D.         doc. RNDr. Petr Holub, Ph.D.; doc. Mgr. Jana Horáková, Ph.D.         doc. PhDr. Mgr. Tomáš Janík, Ph.D.; doc. JUDr. Josef Kotásek, Ph.D.         prof. PhDr. Tomáš Kubíček, Ph.D.; doc. RNDr. Jaromír Leichmann, Dr.         PhDr. Alena Mizerová; doc. Ing. Petr Pirožek, Ph.D.         doc. RNDr. Lubomír Popelínský, Ph.D.; Mgr. Kateřina Sedláčková, Ph.D.         doc. RNDr. Ondřej Slabý, Ph.D.; prof. PhDr. Jiří Trávníček, M.A.         doc. PhDr. Martin Vaculík, Ph.D.                    PŘÍSTUPY NADANÝCH ŽÁKŮ         1. A 2. STUPNĚ ZÁKLADNÍ ŠKOLY          K ŘEŠENÍ NĚKTERÝCH TYPŮ ÚLOH V MATEMATICE              Mgr. Irena Budínová, Ph.D.                  Ediční řada: Matematika a didaktika matematiky         Svazek 4         Vydala Masarykova univerzita, Žerotínovo nám. 617/9, 601 77 Brno         Jazykové korektury Mgr. Ondřej Pechník         Grafický návrh Mgr. Jana Nedomová         1., elektronické vydání, 2018            ISBN 978-80-210-9216-7",""];